Контрольная работа по "Эконометрике"

.

Оценим значимость модели с помощью критерия Стьюдента. t-критическое найдем с помощью Excel (=СТЬЮДРАСПОБР(0,1;40-3-1)), и так t_кр. = 1,688. Сравним по модулю t_кр. с t_стат., получается, что t_стат. Х₁и t_стат.  Х₂ меньше t_кр., следовательно, коэффициенты регрессии не значимы, исключаем из модели коэффициент Х₂ с наименьшей по модулю t-статистикой.

Построим новую модель с  Y,X₁,X₄ аналогично и получим:

Оценим значимость модели с помощью критерия Стьюдента. t-критическое найдем с помощью Excel (=СТЬЮДРАСПОБР(0,1;40-2-1)), и так t_кр. = 1,687. Сравним по модулю t_кр. с t_стат., получается, что t_стат. Х₁ меньше t_кр., следовательно, коэффициент регрессии не значим, и мы его исключаем из модели.

Построим новую модель с  Y,X₄ аналогично и получим:

Оценим значимость модели с помощью критерия Стьюдента. t-критическое найдем с помощью Excel (=СТЬЮДРАСПОБР(0,1;40-1-1)), и так t_кр. = 1,687. Сравним по модулю t_кр. с t_стат., получается, что t_стат. Х₄ больше t_кр., следовательно, коэффициент регрессии значим. И у нас получается однофакторная модель, зависимости цены квартиры от жилой площади с уравнением регрессии вида: y=-2,86+2,48*x.

7. Оценим качество построенной модели. Улучшилось ли качество качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β и ∆-коэффициентов.

Оценка модели была сделана в 4-м пункте данной задачи,  улучшилось ли качество качество модели ответить нельзя, т.к. у нас получилась та же однофакторная модель. 

Рассчитаем коэффициент  эластичности:

С помощью функции СРЗНАЧ в Excel рассчитаем Хср. =42,045 и Yср. = 101,2375; значение а возьмём из 3-й таблице «Регрессии» а = 2,476

Э = 2,476*(42,045/101,2375) = 1,028, что означает, что при увеличение жилой площади на 1% цена на квартиру изменится на 102,8% с вероятностью 0,95.

Рассчитаем β-коэффициент:                                  

                                                      , что бы рассчитать S_x  и S_y нужно                                     рассчитать суммы (х_i-x_ср.)² и (у_i-у_ср.)² подготовим их с помощью функции КВАДРОТКЛ в Excel. Итак ∑(х_i-x_ср.)² =15950,82 и ∑ (у_i-у_ср.)² = 128009; n = 40, следовательно S_x = 20,22 и S_y = 57,29. β=2,476*(20,22/57,29) = 0,874 

Данный коэффициент показывает, что при увеличение жилой площади квартиры на 1 свое среднеквадратическое отклонение, цена на квартиры в среднем изменится на 50,07%(0,874*57,29) с вероятностью 0,95.

Рассчитаем ∆-коэффициент:                         , коэффициент парной корреляции с помощью инструмента Excel «Корреляция»:

  

r(x_j,y) = 0,874, β=0,874, R² найдем из таблице регрессионная статистика «Регрессии» и R²=0,764. ∆ = 0,874*(0,874/0,764) = 1. Это значит, что доля влияния жилой площади квартиры на цену составляет 100%.

Задача 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного ряда

 

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (мил.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

Таблица 2.1

Требуется:

1.проверить наличие аномальных наблюдений;

2.построить линейную модель  , параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3.оценить адекватность  модели, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  и соответствия нормальному закону  распределения (при использовании  R/S критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7);

4.оценить точность на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации;

5.осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%;

6.фактическое значение  показателя, результаты моделирования  и прогнозирования предоставить  графически.

Вычисления провести с  одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений предоставить в таблицах (при  использовании компьютера предоставить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1.Проверим наличие аномальных  наблюдений.

Используем метод Ирвена, основанный на определении λ_t-статистик по формуле: λ_t=|(у_t-у_t-1)/S_y|, где S_y – выборочное среднее квадротическое (стандартное) отклонение признака Y. Подготовим: S_y = 7,42 (используем функцию СТАНДОТКЛОНА в Excel). Для каждого наблюдения рассчитаем λ_t-статистики и запишем в таблицу 2.2:

Таблица 2.2

 

 Критические значения λ_кр приведены в таблице критических значений критерия Ирвена λ. При n=9 и уровне значимости α=5% можно использовать λ_кр=1,5.

Схема проверки:  от 0 до λ_кр – не аномальный, от  λ_кр до λ – аномальный, так как у нас все значения λ_t меньше λ_кр, следовательно наш ряд является не аномальным.

2.Построим модель временного  ряда  . Для оценки параметров модели используем метод наименьших квадратов.

  ;  

где - средние значения, соответственно, моментов наблюдений и результатов наблюдений.

Коэффициенты а₀, а₁ найдем с помощью Excel: Данные/Анализ данных/РЕГРЕССИЯ. В качестве «входного интервала Х» покажем значения фактора времени t, а в качестве «входного интервалаY» - значения Y_t. Коэффициенты модели находятся в 3-й таблице «Регрессии»

  , таким образом       а₀=25,72, а₁=2,63.

Модель построена и  ее уравнение имеет вид:          

Коэффициент регрессии а₁=2,63 показывает, что с каждой неделей спрос на кредитные ресурсы увеличивается в среднем на 2,63 млн.рублей.

3.1 Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

Рассмотрим построенную  модель  . Проверка указанных свойств состоит в исследовании ряда остатков е_t, который содержится в таблице «Вывод остатка» итогов «Регрессии».

Таблица 2.3

Для проверки свойства независимости остаточной компоненты используем критерий Дарбина-Уотсона. Согласно этому критерию вычислим по формуле статистики: . Для вычисления подготовим:

1. ∑(ɛ_t - ɛ_t-1)² = 56,94 (в Еxcel функция СУММКВРАЗН);
2. ∑ɛ_t² =  24,82 (в Еxcel функция СУММКВ).

d = 56,94/24,82 = 2,29 По таблице d-статистик Дарбина-Уотсона определим критические уровни: нижний d₁ = 0,82 и верхний d₂ = 1,32. Сравним помученную фактическую величину d c критическими уровнями d₁ и d₂ и сделаем вывод. Так как 2<d=2,29<4, то d нужно заменить на d`, который будет равен d`=4-2,29=1,71. Таким образом, d2=1,32<d`=1,71<2, следовательно свойство случайности для ряда остатков выполняется.

3.2 Для проверки свойств  случайности остаточной компоненты  используем критерий поворотных  точек (пиков). С помощью «Мастера  Диаграмм»  в Excel построим график остатков ɛ_t:

 

Рис.2.1 График остатков

Поворотными точками считаются  max и min на данном графике это 2,5,7,8 точки, и всего их р=4. По формуле: , при n=9 вычислим критическое значение =[2,45]=2. Сравним значения р и р_кр и сделаем вывод. р=4 > р_кр=2, следовательно, свойство случайности ряда остатков выполняется.

3.3 Для проверки соответствия  ряда остатков нормальному закону  распределения используем R/S критерий,  при этом табулированные границы 2,7 – 3,7.

В соответствии с этим критерием  вычислим по формуле статистику:  . Подготовим для вычислений: ɛ_max= 2,2 - максимальный уровень ряда остатков (в Еxcel функция МАКС); ɛ_min= -3 - минимальны уровень ряда остатков (в Еxcel функция МИН); S_ɛ=1,9 – стандартная ошибка модели (таблица «Регрессионная статистика» вывода итогов «Регрессии»).

Получим =2,74, по таблице критических границ отношения R/S определим критический интервал. При n=9 можно использовать (2,7; 3,7). Сопоставим фактическую величину R/S с критическим интервалом и сделаем вывод: 2,74 ϵ (2,7; 3,7), значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Таблица 2.4

Проведенная проверка показывает, что для линейной модели выполняются все свойства. Таким образом, данная трендовая модель является адекватной реальному ряду наблюдений, ее можно использовать для построения прогнозных оценок.

3.Оценим точность на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации  модели рассмотрим ряд остатков ɛ_t. Дополним таблицу «Вывод остатка» «Регрессии» столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле Е_отн =|ɛ_t/Y_t|*100 с помощью функции Excel ABS.

Таблица 2.5

Найдем среднее значение по столбцу относительные погрешности  с помощью функции Excel СРЗНАЧ, и так Е_отн.ср.=3,7%. Так как E_отн.ср. меньше 5%, следовательно, модель имеет высокую точность.

5. Осуществим прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитаем при доверительной вероятности р=70%.

«Следующие 2 недели» соответствуют  периодам упреждения k₁= 1 и k₂=2, при этом t`<sub>1</sub> = n+k<sub>1</sub>=9+1=10 и  t`₂=n+k₂=9+2=11.

Согласно уравнению модели , получим точечные прогнозные оценки: 52,02 и 54,65. Таким образом, согласно модели ожидаемые спрос на кредитные ресурсы в следующие 2 недели будут составлять около 52,02 млн. рублей и 54,65 млн. рублей соответственно.

Для оценки точности прогнозирования  рассчитаем границы прогнозных интервалов для индивидуальных значений результирующего признака (доверительная вероятность р=70%). Для этого подготовим:

t_кр.=1,12 (функция СТЬЮДРАСПРОБР в Excel при α=0,3, k=9-2=7);

S_ст = 1,9 (строка «стандартная ошибка» итогов «Регрессии»);

t_ср. =5 (функция СРЗНАЧ в Excel); ∑(t - t_ср.)² = 60 (функция КВАДРОТКЛ).

Вычислим размах прогнозного  интервала для индивидуальных значений, используя формулу:

При t`₁= 10 получим = 2,63 и определим границы доверительного интервала: L_{ниж 10}= - L₁₀= 52,02-2,63=49,39; L_{верх 10}= + L₁₀= 52,02+2,63=54,65.

При t`₂= 11 получим = 2,78 и определим границы доверительного интервала: L_{ниж 11}= - L₁₁= 54,65-2,78=51,87; L_{верх 11}= + L₁₁= 54,65+2,63=57,43.

Таким образом, с надежностью 70% можно утверждать, что спрос  на кредитные ресурсы в следующем (10-ом) году будут составлять от 49,39 млн. рублей до 54,65 млн. рублей, а через  год (в 13-ом году) – от 51,87 млн. рублей до 57,43 млн. рублей.

6. Фактическое значение показателя, результаты моделирования и прогнозирования предоставим графически.

Для графического отображения  результатов моделирования и  прогнозирования с помощью линейной модели используя Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные. Затем с помощью опции Добавить линию тренда построим линию модели и отобразим ее на графике. Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данные добавим ряды:

Имя – прогноз, значения Х – t`<sub>1</sub>  t`₂; значения Y - и ;

Имя – нижние границы, значения Х – t`<sub>1</sub>  t`₂; значения Y– L_ниж10 и L_ниж11;

Имя –верхние границы, значения Х– t`<sub>1</sub>  t`₂; значения Y– L_верх10 и L_верх11;

Рис. 2.2 Результаты моделирования  и прогнозирования

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Эконометрика: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика,2002. – 344с.
2. Практикум по эконометрики: Учеб.пособие/ И.И. Елисеева, С.В. Курешева, Н.М. Гордеенко и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 202. – 192с.