Контрольная работа по "Эконометрике"

При проведении экономических  расчетов модель считается достаточно точной, если средняя ошибка аппроксимации  меньше 5%, модель считается приемлемой, если средняя ошибка аппроксимации  меньше 10%, и грубой свыше 20%.

По данному критерию, модель является приемлемой.

в)  Для проверки значимости модели регрессии используется F-тест. Для этого выполняется сравнение F_факт. и критического (табличного)  F_табл. Значений критерия Фишера.

Расчетные значения приведены в таблице 6 (обозначены буквой F).

Табличное значение F-критерий Фишера рассчитываем в Excel  с помощью функции FРАСПОБР.  Вероятность ,  число степеней свободы:  f₁ =k-1=2-1=1,    f₂ =N-k=40-2=38.

Получили:    F_табл. = 4,098

Расчетные значения критерий Фишера для фактора сравним с табличным  значением:

F_х4 = 81,84 > F_табл. = 4,098, следовательно уравнение регрессии статистически значимо.

Проанализировав данные по всем трем критериям, можно сделать вывод, что модель, построенная для фактора жилая площадь квартиры, которая описана уравнением , адекватна.

5. По модели зависимости цены квартиры от жилой площади квартиры осуществим  прогнозирование среднего значения показателя    Y       при уровне значимости     ,     если прогнозное значение фактора   Х   составит 80% от его максимального значения.

Рассчитаем точечное прогнозное значение  Х, по условию оно составит 80% от максимального значения.

       Х_4max = 84 кв.м

       Х_4.0 = 0,8 * 84 = 67,2 кв.м

Для получения прогнозных оценок зависимой переменной подставим  полученное значение независимой переменной в линейное уравнение:

        Y_4.0 = -1,3+2,4* 67,2= 159,98тыс.долл.

Для вычисления доверительного интервала для прогнозного значения,  рассчитываем величину отклонения от линии регрессии. Для модели парной регрессии величина отклонения рассчитывается:

- СКО для , т.е. значение стандартной ошибки из таблицы 6,

Определим доверительный  интервал прогноза, который будет иметь следующие границы:

        y_p (N + l) + U(l)

         y_p (N + l) – U(l)

Определим верхнюю и  нижнюю границы интервала:

159,98 + 49,52= 209,5

159,98 – 49,52 = 110,46

Таким образом, прогнозное значение  = 159,98 тыс.долл., будет находиться между нижней границей, равной 110,46 тыс.долл. и верхней границей, равной  209,5 тыс.долл.

Фактические и модельные значения, точки прогноза представлены графически на рисунке 2.

Рисунок 2

6. Используя  пошаговую множественную регрессию (метод исключения), построим модель формирования цены квартиры на основе только значимых факторов.

Так как при оценке значимости коэффициентов корреляции по критерию Стьюдента (задание1) статистически  значимым оказался только Х4, следовательно построения множественной регрессии не понадобится.

7. Оценка качества  построенной модели.

Для оценки значимого  фактора полученной математической модели, рассчитаем коэффициенты эластичности,  и - коэффициенты.

Наибольшее воздействие  на цену квартиры оказывает величина жилой площади (Х4).

Для данного уравнения  регрессии средний коэффициент  эластичности показывает что при  изменении х4 на 1% в долях от его среднего значения, стоимость квартиры у возрастет на 1,02% в долях от его среднего значения.

- коэффициент показывает, на  какую часть величины среднего  квадратического отклонения меняется  среднее значение зависимой переменной  с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение.

   ,

Значение и рассчитываем в Excel  с помощью функции СТАНДОТКЛОН. и

- коэффициент определяет долю  влияния фактора в суммарном  влиянии всех факторов (таб.6):

 

Здесь – коэффициент парной корреляции между j-м фактором и зависимой переменой Y; – коэффициент детерминации.

 

Задача 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

     В течение  девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд этого показателя приведен ниже в таблице

Номер наблюдения
1	2	3	4	5	6	7	8	9
45	43	40	36	38	34	31	28	25

 

     Требуется:

     1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

     2) Построить  линейную модель    , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

      3) Оценить адекватность построенных модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S – критерия взять табулированные 2,7 – 3,7).

     4) Оценить  точность моделей на основе  использования средней относительной ошибки аппроксимации.

     5) Осуществить  прогноз спроса на следующие  две недели (доверительный интервал  прогноза рассчитать при доверительной  вероятности  р = 70%).

     6) Фактические  значения показателя, результаты  моделирования и прогнозирования представить графически.

   

     Решение:

     1) Проверим наличие аномальных  наблюдений

      Результаты  расчетов приведены в таблице  2.1.

                                                                                                                 Таблица 2.1

t	y
1	45				9,444444	89,19753
2	43	-2	2	-0,29718	7,444444	55,41975
3	40	-3	3	-0,44577	4,444444	19,75309
4	36	-4	4	-0,59435	0,444444	0,197531
5	38	2	2	0,297177	2,444444	5,975309
6	34	-4	4	-0,59435	-1,55556	2,419753
7	31	-3	3	-0,44577	-4,55556	20,75309
8	28	-3	3	-0,44577	-7,55556	57,08642
9	25	-3	3	-0,44577	-10,5556	111,4198
Сумма	320					362,2222

     Сравним  расчетное значение  с табличным значением ( _табл.= 1,5).

Все расчетные значения <  _табл., следовательно, аномальных значений во временном ряду нет.

     2)  Построим линейную модель 

    

- вектор, искомых коэффициентов  (b0,b1,b2,…,bn).

- матрица планирования опытов,

- элементы матрицы.

Используем матричную  форму МНК. Матричные операции выполним с помощью Excel, для расчета параметров линейной парной регрессии воспользуемся инструментом Регрессия, входящим в настройку Анализ данных.  В качестве входного интервала Y берем значения спроса на кредитные ресурсы финансовой компании, в качестве входного интервала Х – номера наблюдений.

      Результаты  приведены в таблицах:

                                                                                    Таблица 2.2а

Таблица 2.2б

Уравнение линейной модели будет иметь вид:   

     3) Оценим адекватность построенных  моделей, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

     Модель  является адекватной, если математическое  ожидание значений остаточного  ряда близко или равно нулю, и если значения остаточного  ряда случайны, независимы и подчинены  нормальному закону распределения.

    а)  При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей 

(с помощью d – критерия  Дарбина-Уотсона).

                                                                                                                Таблица  2.3

Таблица для вычисления d-критерия

Наблюдение	Y расчетное	Отклонение Е(t)	Е(t) – Е(t-1)	(E(t) – E(t-1))2	E(t)2
1	45,22222	-0,222222222			0,049383
2	42,80556	0,194444444	0,416667	0,173611	0,037809
3	40,38889	-0,388888889	-0,58333	0,340278	0,151235
4	37,97222	-1,972222222	-1,58333	2,506944	3,88966
5	35,55556	2,444444444	4,416667	19,50694	5,975309
6	33,13889	0,861111111	-1,58333	2,506944	0,741512
7	30,72222	0,277777778	-0,58333	0,340278	0,07716
8	28,30556	-0,305555556	-0,58333	0,340278	0,093364
9	25,88889	-0,888888889	-0,58333	0,340278	0,790123
СУММА	320	-1,77636E-14		26,05556	11,80556

(Значения остатков взяты из таблицы 2.2б).

Зададим уровень значимости равной 0,05. По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона  для числа n = 9 и числа независимых переменных модели k = 1 критическое значение d₁ = 0,82 и  d₂ = 1,32

     Так как d попало в интервал от 2 до 4, то вычисляем :

    = 4 – 2,21 = 1,79

     Так как    попало в интервал d₂ = 1,32< d’ = 1,79 < 4 – d₂ =2,68 , значит автокорреляция остатков отсутствует.

      б)  Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек.

     В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

     p >

     p > =

Количество поворотных точек равно 4 (рисунок 2.1). Первая часть неравенства равна 2,45. Неравенство выполняется: 4 > 2,45, следовательно, свойство случайности выполняется.

Модель по этому критерию адекватна.

                                              Рисунок 2.1

     в)  Соответствие  ряда остатков нормальному закону  распределения определим при  помощи RS-критерия.

                 RS = [ E_max - E_min] / S_E

     E_max – максимальный уровень ряда остатков = 2,44

     E_min – минимальный уровень ряда остатков = -1,97

     S_E - среднее квадратичное отклонение

RS = [2,44– (-1,97)] / 4,174 = 1,056

     Расчетное  значение не попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, свойство нормальности распределения остатков не выполняется. 

     4) Оценим точность модели на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации. 

     Среднюю относительную ошибку аппроксимации рассчитаем по формуле:

     Построим  расчетную таблицу:

                                                                                                   Таблица 2.4

t	y	E(t)	|E(t)|
1	45	-0,222222222	0,222222	0,004938
2	43	0,194444444	0,194444	0,004522
3	40	-0,388888889	0,388889	0,009722
4	36	-1,972222222	1,972222	0,054784
5	38	2,444444444	2,444444	0,064327
6	34	0,861111111	0,861111	0,025327
7	31	0,277777778	0,277778	0,008961
8	28	-0,305555556	0,305556	0,010913
9	25	-0,888888889	0,888889	0,035556
Итого	320	-1,77636E-14		0,21905