Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Задание 1. Оценка параметров уравнения парной регрессии и качества эконометрической модели. Выполнение задания состоит из следующих этапов: определение формы связи, оценка параметров уравнений и показателей тесноты связи, качество уравнений по средней ошибке аппроксимации, статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции по F – критерию Фишера, прогнозирование результативного признака в виде доверительного интервала при увеличении факторного признака на 10 %.

Решение.

Для построения экономической модели используются данные по субъектам Приволжского федерального округа об уровне денежных доходов и оборотов розничной торговли.

	Оборот розничной торговли на душу населения, тыс.руб., у (1988)	Среднедушевые денежные доходы в год, тыс.руб., х (1988)
Башкортостан	5,2	8,3
Марий Эл	2,9	5,1
Мордовия	3,2	6,2
Татарстан	5,1	9,1
Удмуртия	4,7	7,9
Чувашия	3,3	5,6
Кировская область	4,6	7,3
Нижегородская область	4,6	8,3
Оренбургская область	3,7	7,6
Пензенская область	3,7	5,5
Пермская область	6,9	11,9
Самарская область	11,6	14,4
Саратовская область	4,3	7,3
Ульяновская область	5,2	7,5

 

Поле корреляции

Для расчёта параметров « » и « » линейной регрессии необходимо решить систему нормальных уравнений относительно « » и « »

По исходным данным определяем , , , , , .

Для этого составим вспомогательную таблицу.

 

№
1	8,3	5,2	43,16	68,89	27,04	5,186	0,014	0,000	0,073	0,066	0,090	0,269
2	5,1	2,9	14,79	26,01	8,41	2,562	0,338	0,114	4,121	5,607	8,410	11,655
3	6,2	3,2	19,84	38,44	10,24	3,464	0,264	0,070	2,993	2,149	3,240	8,250
4	9,1	5,1	46,41	82,81	26,01	5,842	0,742	0,551	0,029	0,832	1,210	14,549
5	7,9	4,7	37,13	62,41	22,09	4,858	0,158	0,025	0,053	0,005	0,010	3,362
6	5,6	3,3	18,48	31,36	10,89	2,972	0,328	0,108	2,657	3,834	5,760	9,939
7	7,3	4,6	33,58	53,29	21,16	4,366	0,234	0,055	0,109	0,318	0,490	5,087
8	8,3	4,6	38,18	68,89	21,16	5,186	0,586	0,343	0,109	0,066	0,090	12,739
9	7,6	3,7	28,12	57,76	13,69	4,612	0,912	0,832	1,513	0,101	0,160	24,649
10	5,5	3,7	20,35	30,25	13,69	2,89	0,81	0,656	1,513	4,162	6,250	21,892
11	11,9	6,9	82,11	141,61	47,61	8,138	1,238	1,533	3,881	10,291	15,210	17,942
12	14,4	11,6	167,04	207,36	134,56	10,188	1,412	1,994	44,489	27,647	40,960	12,172
13	7,3	4,3	31,39	53,29	18,49	4,366	0,066	0,004	0,397	0,318	0,490	1,535
14	7,5	5,2	39	56,25	27,04	4,53	0,67	0,449	0,073	0,160	0,250	12,885
∑	112	69	619,58	978,62	402,08	69,16	7,772	6,733	62,009	55,555	82,620	156,925
Ср.	8	4,93	44,26	69,90	28,72	4,94	0,555	0,481	4,429	3,968	5,901	11,209
	5,90	4,43
	2,43	2,10

 

.

Решая систему найдём: , .

Следовательно, уравнение линейной регрессии имеет вид: .

Таким образом, при увеличении среднедушевого денежного дохода на 1 тысячу рублей оборот розничной торговли увеличится на 0,82 тысяч рублей.

Тесноту связи для линейного уравнения регрессии определим по линейному коэффициенту парной корреляции:

.

Связь между факторами очень тесная.

Коэффициент детерминации, объясняющий долю дисперсии, вызванной факторным признаком, определяется по формуле:

   или   90,1%

Так как , то 90,1% изменения оборота розничной торговли обусловлено изменением среднедушевого денежного дохода и 9,9% другими факторами.

Величина средней ошибки аппроксимации определяется как среднее отклонение расчётных значений от фактических:

%.

Величина средней ошибки аппроксимации находится за пределами 8 – 12%, следовательно, модель задана  корректно.

Проводим сравнение фактического и критического значений критерия Фишера. определяется по формуле:

 находим с помощью  статистических таблиц на уровне  значимости 

.

Т.к. , то уравнение статистически значимо, то есть, его можно использовать для описания зависимости между доходами и оборотом розничной торговли.

Прогнозное значение « » определяется путём подстановки в уравнение регрессии прогнозного значения « » тыс.руб.

Вычисляем стандартную ошибку прогноза:

, где 

 тыс.руб.

 при вероятности  и

.

То есть, используя линейную модель регрессии с вероятностью 0,95 можно утверждать, что при увеличении денежного дохода населения на 10% от своего среднего значения, оборот розничной торговли будет находиться в интервале от 3,88 тысяч рублей до 7,312 тысяч рублей.

 

Задание 2. Моделирование тенденции временного ряда. Задание предусматривает решение комплекса вопросов в определенной последовательности для аддитивной модели: выявление структуры ряда; выравнивание исходного ряда методом скользящей средней; определение сезонной компоненты; устранение сезонной компоненты из исходных уравнений; аналитическое выравнивание уровней и расчет значений трендовой составляющей (для выполнения задания использовать линейную форму тренда и расчет параметров уравнения способом от условного нуля); оценка качества модели при помощи абсолютных и относительных ошибок; прогнозирование значений уровня ряда на ближайшую перспективу; комментарии экономического содержания расчетов.

	Год	Ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет
1	1995	63
2	1996	64
3	1997	65
4	1998	66
5	1999	65
6	2000	64
7	2001	64
8	2002	63
9	2003	62
10	2004	63
11	2005	63
12	2006	63
13	2007	64

 

Решение.

 

Для выявления структуры ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию.

Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х1, Х2, ... Хn-L и рядом Х1+L, Х2+L, ... Хn, где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка rt,t-1. Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка rt,t-2 и т.д.

Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (rt,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда.

Если наиболее высоким оказывается значение rt,t-1, то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался rt,t-L, то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L.

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровень. Получаем следующую таблицу:

yt	yt - 1
63	64
64	65
65	66
66	65
65	64
64	64
64	63
63	62
62	63
63	63
63	63
63	64

 

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка.

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Линейный коэффициент автокорреляции rt,t-1:

 

В нашем примере связь между рядами - заметная и прямая.

x	y	x2	y2	x • y
63	64	3969	4096	4032
64	65	4096	4225	4160
65	66	4225	4356	4290
66	65	4356	4225	4290
65	64	4225	4096	4160
64	64	4096	4096	4096
64	63	4096	3969	4032
63	62	3969	3844	3906
62	63	3844	3969	3906
63	63	3969	3969	3969
63	63	3969	3969	3969
63	64	3969	4096	4032