Контрольная работа по «Экономическо-математическому моделированию»

Разделим элементы строки 1 на 25/26

Базисные переменные	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Свободные члены	Отношение
Х3	0	-7/26	1	5/26	-3/26	0	1/13	-
Х1	1	[25/26]	0	-3/26	7/26	0	2/13	4/25
Х6	0	53/13	0	3/13	-7/13	1	9/13	9/53
L	0	-4/13	0	1/13	2/13	0	3/13	-

 

 

От элементов строки 1 отнимает соответствующие элементы строки 2 умноженные на -7/26.

От элементов строки 3 отнимает соответствующие элементы строки 2 умноженные на 53/13.

От элементов строки L отнимает соответствующие элементы строки 2 умноженные на -4/13

Базисные переменные	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Свободные члены	Отношение
Х3	7/25	0	1	4/25	-1/25	0	3/25	-
Х2	26/25	1	0	-3/25	7/25	0	4/25	-
Х6	-106/25	0	0	18/25	-42/25	1	1/25	-
L	8/25	0	0	1/25	6/25	0	7/25	-

 

. Значение функции L для данного решения:

L =    7/25, х₁ = 8/25; х₄ = 1/25; х₅ = 6/25.

Учитывая, что все x_i ≥ 0 по условию задачи, наибольшее значение функции равно свободному члену 7/25.

 х₁ = 0

x₂ = 4/25.

x₃ = 3/25

Учитывая правило формирования ответа симметричной двойственной задачи, запишем ее решение, на основании  все той же последней симплекс таблицы.

 у₁ = 1/25

y₂ = 6/25

y₃ = 0

Максимальное значение функции  прямой задачи равно минимальному значению функции двойственной задачи.

Lmax =7/25 , Fmin = 7/25

Найдем цену игры v1 .

v₁ = 1 / Fmax = 1 / Lmin = 25/7

Как вы помните, к каждому  элементу матрицы мы прибавили 4, следовательно, цена исходной игры равна :

v = v₁ - 4 = 25/7 - 4 = -3/7.

Теперь, мы можем найти  оптимальное решение нашей игры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ :

P* = ( 1/7 , 0 , 6/7 , 0 )

Q* = ( 0 , 4/7 , 0 , 3/7 )

Цена игры v = -3/7.

Дадим объяснение полученному  ответу.

Проигрыш игрока А составит 3/7 ден.ед.

Выигрыш игрока В составит 3/7 ден.ед.

Игрок А :

 использует стратегию  A₁ на 14.286 %

 использует стратегию  A₂ на 0 %

 использует стратегию  A₃ на 85.714 %

 использует стратегию  A₄ на 0 %

Игрок B :

 использует стратегию  B1 на 0 %

 использует стратегию  B2 на 57.143 %

 использует стратегию  B3 на 0 %

 использует стратегию  B4 на 42.857 %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3.

Партия изделий может  изготавливаться по одному из четырех  технологических способов . Сырье , необходимое для изготовления этих изделий, может поступать двух видов. Известны затраты на изготовление одного изделия по i-му технологическому способу из сырья m-го вида ( ; ). Рынок сбыта изделий может находиться в одном из двух состояний . Известно, что при состоянии рынка изделие будет продаваться по цене . Требуется определить, по какому из четырех технологических способов следует изготавливать изделия, чтобы получить возможно большую прибыль, если:

а)известны вероятности  и поступления сырья первого и второго видов соответственно и известны вероятности и состояний рынка и ;

б) о вероятностях поступления  сырья и состояний рынка сбыта  ничего определенного сказать нельзя.

Исходные данные:

№	а11	а12	а21	а22	а31	а32	а41	а42	Z1	Z2	q1	q2	p1	p2	Λ
6	7	13	7	6	8	10	7	11	20	18	0,3	0,7	0,6	0,4	0,8

Решение:

В игре есть два участника: первый игрок Т – это предприятие, второй игрок П – природа. Так  как второй игрок (природа) безразличен  к выигрышу первого игрока, то рассматриваемая  игра статистическая. Чистые стратегии  предприятия Т_i – это способы изготовления  деталей на предприятии. Укажем четыре возможных способа:

Т₁ – изготавливать изделия по 1-му технологическому процессу;

Т₂ – изготавливать изделия по 2-му технологическому процессу;

Т₃ – изготавливать изделия по 3-му технологическому процессу;

Т₄ – изготавливать детали по 4-му технологическому процессу.

Чистые стратегии природы:

П₁ – имеется сырье 1-го типа при состоянии рынка 1;

П₂ – имеется сырье 1-го типа при состоянии рынка 2;

П₃ – имеется сырье 2-го типа при состоянии рынка 1;

П₄ – имеется сырье 2-го типа при состоянии рынка 2.     

Для составления платежной  матрицы сначала подсчитаем прибыли  h_ij предприятия при состоянии рынка R_j(i=1,2,3,4; j=1,2) по формуле :

                           Платежная матрица 

Природа Предприятие	П1	П2	П3	П4
Т1	13	11	7	5
Т2	13	11	14	12
Т3	12	10	10	8
Т4	13	11	9	7

Для выбора оптимальных стратегий  по критериям Байеса, Лапласа, Вальда и Гурвица составляем таблицу. Первые пять столбцов таблицы -  платежная  матрица. В последующих столбцах выписаны расчетные значения для  применения указанных выше четырех  критериев.

а) критерий Байеса применяется  следующим образом. Для каждой из стратегий вычисляется среднее  значение (математическое ожидание) выигрыша по формуле 

 Оптимальной по Байесу считается  та стратегия, при которой достигается  максимум из чисел b_i. В рассматриваемом случае: р₁=0,6; р₂=0,4; q₁=0.3; q₂=0.7:

Из полученных чисел наибольшим является b₂, т.е. оптимальной по Байесу является вторая стратегия Т₂: изготавливать детали по 2-му технологическому процессу.

Рынок Банк	П1	П2	П3	П4	bi для крит. Байеса	li для крит. Лапласа	vi для крит. Вальда	gi  для крит. Гурвица
Т1	13	11	7	5	8	9	5	6,6
Т2	13	11	14	12	12,9	12,5	11	11,6
Т3	12	10	10	8	9,8	10	8	8,8
Т4	13	11	9	7	9,4	10	7	8,2

б) критерий Лапласа применяется  таким же образом, как и критерий Байеса, с той лишь разницей, что  вместо чисел b_i вычисляются числа среднее арифметическое выигрышей для каждой стратегии (т.е. состояния рынка считаются равновероятными).

 В нашем случае: 

Наибольшим из этих чисел  является l₂, т.е. по критерию Лапласа предприятие должно придерживаться стратегии Т₂.

Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма) применяется следующим  образом. Для каждой стратегии выбираем минимальный выигрыш  и определяем максимум из чисел . Стратегия, на которой достигается этот максимум, считается оптимальной по Вальду. Можно сказать, что критерий Вальда определяет максимальный выигрыш в наихудших условиях. Имеем:

                                        

Так как максимальным является число  , то по критерию Вальда оптимальной является стратегия Т₂.

        Для  применения критерия Гурвица  вычисляем при каждой стратегии  числа

 и среди чисел g_i выбираем максимальное.

Стратегия, при которой  достигается максимум g_i, считается оптимальной по Гурвицу.

В данном случае:

Так как g₂ максимально, то по критерию Гурвица оптимальной является стратегия Т₂.

При исследовании по критерию Сэвиджа надо составлять матрицу  рисков. Для этого в каждом столбце  платежной матрицы определяем максимальный элемент и вычитаем из него все  элементы столбца. В первом столбце  это будет элемент  - 13, во втором – 11; в третьем – 14; в четвертом - 12.

Определяем риски:

 

И составляем матрицу рисков:

Рынок Банк	П1	П2	П3	П4	ri=max j r ij
Т1	0	0	7	7	7
Т2	0	0	0	0	0
Т3	1	1	4	4	4
Т4	0	0	5	5	5

Оптимальной по критерию Сэвиджа  считается та стратегия, для которой  r_i минимально. В данном случае это будет стратегия Т₂ , .

 

Вывод. Проведенное по совокупности статистических критериев исследование возможных вариантов применения технологических процессов позволяет сделать следующее заключение: