Контрольная работа по «Экономическо-математическому моделированию»

-при наличии достоверной  информации о состоянии рынка  и вероятностях поступления сырья  следует применить 2-й технологический  процесс  (стратегия  ), при этом ожидаемое значение прибыли составит 12,9 ден. ед.; если все состояния рынка представляются равновозможными, то, для обеспечения средней ожидаемой прибыли в 12,5 ден. ед.,  следует придерживаться  стратегии (применить 2-й технологический процесс);

-при отсутствии информации  о состоянии рынка и вероятностях  поступления сырья следует   применить  2-й,  технологический  процесс (стратегия  ), что при наихудших условиях гарантирует иметь максимальную прибыль в размере 11 ден. ед.; если  при выборе решения не руководствовался ни крайним оптимизмом, ни крайним пессимизмом, то следует применить 2-й технологический процесс, причем при этом ожидаемое значение прибыли составит 11,6 ден. ед.;.

-Критерий минимаксного  риска Сэвиджа  рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. в данном случае  следует придерживаться стратегии (применить 2-й технологический процесс).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4.

В магазин оптовой торговли поступают заявки покупателей. С  целью 

установления необходимого числа обслуживающих устройств (продавцов) было проведено обследование входящего  потока заявок и времени их обслуживания. В таблице представлены сведения о входящем потоке требований и времени  их обслуживания: входящее число требований , в течение часа встречающееся в выборочном обследовании; частота появления соответствующего числа требований ; интервалы ряда распределения времени обслуживания , мин.; количество обслуженных заявок, когда время обслуживания заявки попадает в соответствующий интервал.

ТРЕБУЕТСЯ:

1. Предполагая, что поток  заявок пуассоновский, а время  обслуживания является случайной  величиной, распределенной по  показательному закону, определить  основные показатели работы системы  с n обслуживающими устройствами для систем с неограниченной очередью:

а) среднее число заявок поступающих за 1 час;

б) среднее время обслуживания одной заявки и среднее число заявок , обслуживаемых за 1 час;

в) среднюю длину очереди  ;

г) среднее время ожидания в очереди  .

 

2. Рассчитать число обслуживающих  устройств, если время пребывания  покупателя в очереди не должно  превышать T мин.

Исходные данные задачи представлены в таблице.

 

Решение.

1. Определим основные  показатели работы СМО:

а) среднее число заявок , поступающих за 1 час:

 
                                            Исходные данные (Вариант 6)

T n	Показа- тели рядов	Ряды распределения входящего  потока событий и времени  обслуживания
		2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
		4	19	7	6	6	3	2	1	1	1
		0 – 20		20 – 40		40 – 60		60 – 80		80–100
		60		40		10		8		8

 

         б) среднее время обслуживания  одной заявки и среднее число  заявок,

обслуживаемых за 1 час:

 

1. среднее число требований, обслуживаемых в единицу времени (час), находим по формуле 

По вычисленным значениям  и определяем:

 
Так как в данном случае уровень загрузки СМО  то СМО не справляется с обслуживанием. Минимально необходимое число обслуживающих устройств  находится из условия Очевидно, этим числом является _.

в), г) вычислим при  вероятность , через которую выражаются средняя длина очереди и среднее время ожидания в очереди. По формуле

Далее, по формулам (5.3.8) 

 

 

2. Подберем число обслуживающих  устройств n так, чтобы среднее время ожидания в очереди не превосходило 6 мин. = 0,1 часа. При , При

 

 

Таким образом, для того, чтобы время ожидания в очереди  не превосходило 6 мин, количество обслуживающих устройств (продавцов) должно быть не менее четырех.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 5.

Предприятие осваивает производство нового изделия. С этой целью создана  группа из специалистов и составлен сетевой график выполнения работ (рис 1). Известны продолжительность t_ij (в днях) каждой работы (первое число, указанное на ребре) и интенсивность потребления ресурса r_ij (количество специалистов, необходимое для выполнения работы в единицу времени - число в скобках, указанное на ребре).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

Требуется:

построить линейный график и диаграмму использования ресурса, найти критический путь и критическое  время t_кр;

найти полные резервы времени  для некритических работ  ;

установить сроки начала и окончания работ так, чтобы  в любой момент реализации проекта  потребность в специалистах не превосходила , а время осуществления проекта было минимальным.

       Решение.

 

  

 

 

 

 

Рис. 1

Очевидно, что    Критический путь выделен жирной линией и определяется работами:(1,2), (2,4), (4,5).

      Для построения  шкалы потребления ресурса спроецируем  на ось Ot начальные и конечные точки всех работ. Получим промежутки (0,3), (3,4), (4,7), (7,8), (8,11), (11,13), (13,14). В этих промежутках суммируем интенсивности r_ij работ, расположенных над ними. Так, например, на промежутке (4,7) суммарная интенсивность составляет ; на промежутке (7,8): .

По линейному графику  определяем полные резервы  некритических работ (для критических работ ).

Отдельная работа может начаться (и окончиться) в ранние, поздние  и другие промежуточные сроки. При  оптимизации графика возможно любое  размещение работы в заданном интервале.

Очевидно, что ранний срок tрн(i,j) начала работы (i,j) совпадает с  ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i, то есть:

tрн(i,j)= tр(i).                                                                  (1)

Тогда ранний срок tро(i,j) окончания  работы (i,j) определяется по формуле

  tро(i,j)= tр(i)+ t(i,j).                                                  (2)

Ни одна работа не может  окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события j. Поэтому поздний срок tпо(i,j) окончания  работы (i,j) определяется соотношением:

  tпо(i,j)= tп(j),                                                        (3)

 а поздний срок tпн(i,j) начала этой работы – соотношением

  tпн(i,j)= tп(j)- t(i,j).                                                            (4)

Полный резерв времени Rп(i,j) работы (i,j) показывает, на сколько можно  увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменится. Полный резерв Rп(i,j) определяется по формуле:

  Rп(i,j)= tп(j)- tр(i)- t(i,j).                                              (5) 

Полный резерв времени  работы равен резерву максимального  из путей, проходящего через данную работу. Этим резервом можно располагать  при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится  в самый ранний срок, и можно  допустить свершение ее конечного  события в самый поздний срок. Важным свойством полного резерва  времени работы является то, что  он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее.

Работы, лежащие на критическом  пути, так же, как и критические  события резервов времени не имеют.

Составляем таблицу для  определения полных резервов времени.

Таблица 1

(i,j)	tрн(i,j)	tро(i,j)	tпн(i,j)	tпо(i,j)	Rп(i,j)
(1,2)	0	0+4=4	4-4=0	4	4-0-4=0
(1,3)	0	0+3=3	8-3=5	8	8-0-3=5
(2,3)	4	4+3=7	8-3=5	8	8-4-3=1
(2,4)	4	4+4=8	8-4=4	8	8-4-4=0
(2,5)	4	4+7=11	14-7=7	14	14-4-7=3
(3,5)	7	7+6=13	14-6=8	14	14-7-6=1
(4,5)	8	8+6=14	14-6=8	14	14-8-6=0

 

Время, необходимое для  выполнения всего проекта при  использовании 18 специалистов, составит 14 дней. (так как количество работающих специалистов на всех промежутках не превышает требуемого количества, поэтому нет смысла сдвигать какие-либо работы)

Составим таблицу  сроков начала (t_н) и окончания (t_о) работ.

Таблица 2 

Работа Сроки	(1,2)	(1,3)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(3,5)	(4,5)
tн tо	0 4	0 3	4 7	4 8	4 11	7 13	8 14

 

 

 

 

Литература:

1. Кузнецов А.В. Сакович В.А. Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. – Мн: Высш. шк., 1994
2. Экономико-математические методы и модели / под общ. Ред. А.В.Кузнецова/ - Мн. БГЭУ, 1999
3. Кузнецов А.В. Холод Н.И. Костевич Л.С. Руководство к решению задач по математическому программированию. – Мн.: Высш. Шк., 1978
4. Сороговец И.Б. Дробинина О.А. Экономико-математические методы и модели. – Новополоцк. ПГУ,2008