Контрольная работа по "Экономико-математическая модель"

Содержание

 

 

1. Вопрос №13……………………………………………………………...3
2. Вопрос №47………………………………………………………….…..4
3. Вопрос №81……………………………………………………………...5
4. Задача №13 линейного программирования графическим методом…………………………………………………………………..6
5. Составить и решить экономико-математическую модель по оптимальному суточному рациону кормления дойных коров стойловый период при содержании жира в молоке 3,8 (вариант №13)……………………………………………………………………...9
6. Транспортная задача №13……………………………………………..17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос №13 Открытая и закрытая модели транспортной задачи

Модель транспортной задачи с ограничениями неравенствами  называется открытой моделью. Модель с  ограничениями равенствами носит  название закрытой модели.

Транспортная задача называется закрытой, если выполняется условие баланса: суммарный объем производства равен суммарному объему потребления:

.

Следует обратить внимание на то, что математическая модель задает закрытую транспортную задачу.

Открытая ТЗ имеет  место в двух случаях.

Первый случай. Суммарный  объем производства меньше суммарного объема потребления:

.

Известно, что для существования допустимого решения транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы задача была закрытой. Поэтому транспортную задачу открытого типа предварительно необходимо свести к закрытой, для чего вводится фиктивный пункт производства с номером m+1 с объемом производства:

, при этом полагают .

Второй случай. Суммарный объем производства больше суммарного объема потребления:

.

Для сведения ТЗ к закрытому  типу вводят фиктивный пункт потребления  с номером n+1 с объемом потребления:

, при этом полагают  .

Методы решения:

1. Как задача линейного программирования ТЗ может быть решена симплекс методом;
2. Также разработаны специальные (более эффективные) методы решения транспортной задачи: обобщенный венгерский метод; метод северо-западного угла, метод минимального элемента для нахождения опорного плана; метод потенциалов для нахождения оптимального плана.

Вопрос №47 Алгоритм симплексного метода для линейного  программирования с ограничениями  «=»

Для того чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее:

1. Привести задачу к каноническому виду;
2. Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений);
3. Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода;
4. Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается;
5. Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения.

Все ограничения задачи модифицируются согласно следующим  правилам:

• Ограничения типа «≤» переводятся на равенства созданием дополнительной переменной с коэффициентом «+1». Эта модификация проводится и в однофазном симплекс-методе, дополнительные переменные в дальнейшем используются как исходный базис;
• Ограничения типа «≥» дополняются одной переменной с коэффициентом «−1». Поскольку такая переменная из-за отрицательного коэффициента не может быть использована в исходном базисе, необходимо создать ещё одну, вспомогательную, переменную. Вспомогательные переменные всегда создаются с коэффициентом «+1»;
• Ограничения типа «=» дополняются одной вспомогательной переменной.

Соответственно, будет  создано некоторое количество дополнительных и вспомогательных переменных. В исходный базис выбираются дополнительные переменные с коэффициентом «+1» и все вспомогательные. Осторожно: решение, которому соответствует этот базис, не является допустимым.

 

Вопрос №81 В чем заключается содержание симплексной таблицы

Симплекс-таблица представляет собой расширенную матрицу системы ограничений с некоторыми дополнительными столбцами и строками. В ней строк столько, сколько ограничений в задаче ЛП плюс строка для функции Z (индексная строка). Симплексные таблицы отображают конкретный вариант решения задачи ЛП при условии, когда базисные неизвестные равны значениям элементов столбца свободных членов, а значения небазисных неизвестных равны нулю. Соответствующее этому решению целевой функции представляет элемент таблицы, стоящей в столбце членов по строке Z.

Задача №13. Решить задачу линейного программирования графическим методом.

1. Постановка задачи.

Найти максимальное значение целевой функции max Z = 2x₁+x₂, при системе ограничений:

x1 + x2 ≤ 20	(1)
x1 ≤ 10	(2)
x2 ≤ 30	(3)
x1 + x2 ≥ 10	(4)
x1 ≥ 0	(5)
x2 ≥ 0	(6)

 

2. Уравнения граничных прямых:

x1 + x2 = 20

x1 = 10

x2 = 30

x1 + x2 ≥ 10

 

3. Строим графики граничных прямых:

x1 + x2 = 20	граничная (1)
x1 = 10	граничная (2)
x2 = 30	граничная (3)
x1 + x2 = 10	граничная (4)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

или

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет  являться область, координаты точек  которого удовлетворяют условию  неравенствам системы ограничений  задачи. 
Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи max Z=2x₁+x₂.  
Построим прямую, отвечающую значению функции Z = 0: Z = 2x₁+x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Равный масштаб

Область допустимых решений  представляет собой многоугольник.

Прямая Z(x) = const пересекает область в точке F. Так как точка F получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: x₁+x₂≤20; x₁≤10

Решив систему уравнений, получим: x₁=10, x₂=10, откуда найдем максимальное значение целевой функции: Z(х) = 2*10 + 1*10 = 30

Решение двойственной задачи позволяет определить существенные и несущественные ресурсы и их избытки, а также вычислить объективно обусловленные оценки и составить соотношение устойчивости.

 

Задача №13. Составить и решить экономико-математическую модель по оптимальному суточному рациону кормления дойных коров на стойловый период. Критерий оптимальности - минимальная стоимость рациона. Провести анализ оптимального решения.

 

1 Постановка задачи

 

Живая масса 500 кг, удой 16 кг. Корма: мука виковая, отходы ячменя, комбикорм, шрот льняной, сено луговое, сено люцерново-житняковое, солома просяная, силос люцерновый, силос кукурузный, силос травы луговой, сахарная свекла, кормовая морковь, барда. В общем балансе кормовых единиц концентрированные корма могут составлять не менее 15, но не более 35%, грубые от 13 до 30%, силос от 20 до 40%, корнеклубнеплоды от 10 до 22%.

Удельный вес шрота  льняного в концентрированных кормах должен быть не более 20%, соломы в грубых не более 25%, силоса кукурузного не менее 40% всего силоса, сахарной свеклы не менее 30% корнеклубнеплодов. В общем балансе кормовых единиц барда может составлять не более 10%.

Количества питательных  веществ будут служить ограничениями, меньше которых брать не допускается (ограничение типа неравенства «>»). Эту информацию удобно представлять в табличной форме (табл. 1.1).

                      Таблица 1.1.

№ п/п	Живая масса, кг	Суточный удой, кг	Рацион должен содержать  не менее
			кормов единиц, кг	периваримого протеина, г	каротина, мг
1	2	3	4	5	6
1	600	16	12,6	1400	550

 

Занесем в таблицу  виды кормов, имеющихся в хозяйстве, содержание в каждом виде корма кормовых единиц, переваримого протеина и каротина, стоимость 1 кг корма каждого вида. Данные взяты из условия задачи и таблицы 1.11. методических указаний.

Количество каждого  вида корма, входящего в рацион неизвестно. Обозначим его через . – основные переменные математической модели задачи. По смыслу задачи все .

                                                                                                 Таблица 1.2

% п/п	Наименование кормов	Количество необходимого корма (кг)	Содержится в 1 кг корма			Стоимость 1 кг корма (руб)
			кормов единиц,  кг	периваримого протеина, г	каротина, мг
Концентрированные корма
1 2 3 4	мука виковая  отходы ячменя комбикорм шрот льняной		1,16 0,9 0,9 1,02	209 90 160 286	2 1 2 0	120 9 5,2 6,15
Грубые корма
1 2 3	сено луговое  сено люц-житняковое солома просяная		0,42 0,52 0,41	46 107 24	15 45 10	0,37 0,42 0,2
Силос
1 2 3	силос люцерновый силос кукурузный силос травы луговой		0,18 0,2 0,19	29 14 18	25 15 15	2,33 1,91 1,9
Корнеклубнеплоды
1 2	сахарная свекла кормовая морковь		0,26 0,14	12 7	0 30	3,2 3,0
Прочие корма
1	барда		0,08	12	0	1,95