Контрольная работа по "Экономико-математическая модель"

 

Выпишем из условия задачи допустимые пределы скармливания различных групп и видов кормов, кормовых добавок (табл. 1.3).

 

 

Таблица 1.3

%п/п	Группы и виды кормов	Не менее	Не более
1	Концентрированные корма	15%	35%
2	Грубые корма	13%	30%
3	Силос	20%	40%
4	Корнеклубнеплоды	10%	22%
5	Удельный вес шрота  льняного в концентрированных кормах может составлять не более 20%
7	Соломы в грубых не более 25%
8	Силос кукурузный не менее 40% всего силоса
9	Сахарная свекла не менее 30% корнеклубнеплодов
10	Барда не более 10% общей  потребности в кормовых единицах

 

Состав переменных

– мука виковая,

– отходы ячменя,

– комбикорм,

– шрот льняной,

– сено луговое,

– сено люцерново-житняковое,

– солома просяная,

– силос люцерновый,

– силос кукурузный,

– силос травы луговой,

– сахарная свекла,

– кормовая морковь,

– барда.

Математическая запись модели

Первая группа ограничений (баланс питательных веществ):

, где

Вторая группа ограничений. Содержание в рационе кормов -й группы не менее или не более допустимого количества

; ,

где множество видов кормов входящих в группу ;

, – минимально и максимально допустимые пределы введения в рацион кормой данной -й группы, заданные в процентах (%) к общей питательности рациона;

– общее множество кормов, переменных в рационе.

Третья группа ограничений. Удельный вес отдельных видов  кормов внутри соответствующих групп кормов:

; ,

Условие неотрицательности  переменных .

Целевая функция

Так как цель минимизировать стоимость рациона, то

,

где – стоимость единицы корма го вида.

Построение развернутой  числовой модели для оптимизации  рациона

Основные ограничения  по балансам питательных веществ  в рационе

По кормовым единицам:

По переваримому протеину:

По каротину:

Дополнительные ограничения  по зоотехнически допустимым границам содержания групп кормов в рационе

По концентрированным  кормам:

 

 По грубым кормам:

 

.

По силосу:

 

По корнеклубнеплодам:

.

По шроту льняному в концентрированных кормах:

 или 

По соломе в грубых кормах:

 или 

По силосу кукурузному  от всего силоса:

 или 

По сахарной свекле в  корнеклубнеплодах:

 или 

По барде в общей  потребности в кормовых единицах:

 

.

Минимизацию стоимости  рациона выражает целевая функция :

 

Запишем систему ограничений  в матричной форме.

 

Матричная запись математической модели ограничений для расчета  оптимального рациона кормления  коров (масса 500 кг, удой 16 кг)

№ п/п	Ограничения	Единицы измерения	Концентрированные корма				Грубые корма			Силос			Корнеклубнеплоды		Прочие корма	Кормовые единицы	Объем и тип ограничения
			мука виковая я	отходы ячменя	комбикорм	шрот льняной	сено луговое	сено люцерново-житняковое	солома просяная	силос люцерновый	силос кукурузный	силос травы луговой	сахарная свекла	кормовая морковь	барда
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
1	По кормовым единицам	кг	1,16	0,9	0,9	1,02	0,42	0,52	0,41	0,18	0,2	0,19	0,26	0,14	0,08	-1	=0
2	По кормовым единицам															1	12,6
3	По переваримому протеину:	г	209	90	160	286	46	107	24	29	14	18	12	7	12		1400
4	По каротину:	мг	2	1	2	0	15	45	10	25	15	15	0	30	0		550
5	По концентрированным  кормам:	%	1,16	0,9	0,9	1,02										-0,15	0
6	По концентрированным  кормам:	%	1,16	0,9	0,9	1,02										-0,35	0
7	По грубым кормам:	%					0,42	0,52	0,41							-0,13	0
8	По грубым кормам:	%					0,42	0,52	0,41							-0,3	0
9	По силосу:	%								0,18	0,2	0,19				-0,2	0
10	По силосу:	%								0,18	0,2	0,19				-0,4	0
11	По корнеклубнеплодам:	%											0,26	0,14		-0,1	0
12	По корнеклубнеплодам:	%											0,26	0,14		-0,22	0
13	По шроту льняному в концентр. кормах	%	1	1	1	-4											0
14	По соломе в грубых кормах:	%					1	1	-3								0
15	По силосу кукурузному	%								1	-1,5	1					0
16	По сахарной свекле в  корнеклубнеплодах:	%											-2,333	1			0
17	По пивной дробине в общей потребности в кормовых единицах	кг													0,08	-0,1	0
18	Стоимость рациона	Руб.	12	9	5,2	6,15	0,37	0,42	0,2	2,33	1,91	1,9	3,2	3,0	1,95

 

Запишем математическую модель в каноническом виде:

Целевая функция:

Неравенства – ограничения  записываются в виде равенств. В  левые части неравенств добавляются  дополнительные переменные .

В неравенства вида « » дополнительная переменная вводится со знаком «–», в неравенствах вида « »– со знаком «+».

Задача подготовлена к решению на компьютере.

 

 

 

 

Транспортная задача линейного программирования

 

Решение:

Представим математическую запись задачи в развернутой структурной форме.

Задача является открытой, так как  .

Ограничения по ресурсам:

Ограничения по потребителям:

 

Для решения задачи введем фиктивного потребителя мощностью: 26-21=5

Тогда модель примет вид:

Ограничения по ресурсам:

Ограничения по потребителям:

Условия неотрицательности:

Целевая функция:

 

Построим опорный план методом «северо-западного угла».

Число занятых клеток в таблице должно быть m+n-1=4+4-1=7.

План 

Рассчитаем затраты на перевозку:

.

Транспортная задача решается методом потенциалов. Каждой строке таблицы и каждому столбцу ставится в соответствие число, называемое потенциалом.

1. Потенциалы строк - и столбцов - удовлетворяют следующему условию: для базисных переменных. Так как система для определения потенциалов содержит на одно уравнение меньше, чем число потенциалов, то, чтобы найти решение системы потенциалов, один потенциал задаем произвольно, например,

Остальные потенциалы найдем, решая систему уравнений:

 

                

2. Определяем характеристики  для свободных неизвестных (пустых  клеток): и записываем их в левом нижнем углу свободных клеток. показывают, на сколько изменится значение целевой функции , если в клетку (i, j) переместить единицу груза.

План будет оптимален, если для  всех свободных неизвестных 

и т.д.

План  не является оптимальным, так как содержит

3. Выбираем клетку (3,2) с наименьшей отрицательной характеристикой и строим контур (цикл). Контур удовлетворяет следующим условиям: а) для каждой клетки можно построить один, и только один контур; б) все вершины контура находятся в заполненной клетке, за исключением клетки, для которой контур строится; в) число вершин – четно.

Для клетки построим контур:

.

Вершинам присваиваем чередующиеся знаки плюс-минус, начиная с клетки, для которой контур строится. Выбираем наименьшую поставку, в вершинах, отмеченных знаком минус – это количество груза необходимо распределить по контуру

Количество груза в «положительных»  вершинах увеличивается на 5, а в  «отрицательных» уменьшается на 5. При этом одна и только одна вершина в контуре становится свободной, а клетка, для которой контур строится, заполняется. Получим план .

Рассчитаем затраты на перевозку: .

                

2. Определяем характеристики  для свободных неизвестных (пустых  клеток): и записываем их в левом нижнем углу свободных клеток. показывают, на сколько изменится значение целевой функции , если в клетку (i, j) переместить единицу груза.

План будет оптимален, если для  всех свободных неизвестных 

и т.д.

План  не является оптимальным, так как содержит

Выбираем клетку с наименьшей отрицательной характеристикой и строим контур (цикл):

.

Вершинам присваиваем чередующиеся знаки плюс-минус, начиная с клетки, для которой контур строится. Выбираем наименьшую поставку, в вершинах, отмеченных знаком минус – это количество груза необходимо распределить по контуру:

Количество груза в «положительных»  вершинах увеличивается на 0, а в  «отрицательных» уменьшается на 0. Получим план .

Рассчитаем затраты на перевозку: .

                

2. Определяем характеристики  для свободных неизвестных (пустых  клеток): и записываем их в левом нижнем углу свободных клеток. показывают, на сколько изменится значение целевой функции , если в клетку (i, j) переместить единицу груза.

План будет оптимален, если для  всех свободных неизвестных 

и т.д.

План  не является оптимальным, так как содержит

Выбираем клетку с наименьшей отрицательной характеристикой и строим контур (цикл):

.

Вершинам присваиваем чередующиеся знаки плюс-минус, начиная с клетки, для которой контур строится. Выбираем наименьшую поставку, в вершинах, отмеченных знаком минус – это количество груза необходимо распределить по контуру

Количество груза в «положительных»  вершинах увеличивается на 1, а в  «отрицательных» уменьшается на 1. Получим план .

Рассчитаем затраты на перевозку: .

                

2. Определяем характеристики  для свободных неизвестных (пустых  клеток): и записываем их в левом нижнем углу свободных клеток. показывают, на сколько изменится значение целевой функции , если в клетку (i, j) переместить единицу груза.

План будет оптимален, если для  всех свободных неизвестных 

и т.д.

Все характеристики свободных  клеток в плане  неотрицательны, поэтому план оптимальный.

Итак, первый поставщик везет продукцию 1-му потребителю в объеме 8 ед. груза. Второй поставщик везет продукцию 3-му потребителю в объеме 7 ед. груза. Третий поставщик везет продукцию 2-му потребителю в объеме 5 ед. груза. Четвертый поставщик везет продукцию 1-му потребителю в объеме 1 ед. груза. Неиспользованные мощности 4-го поставщика равны 6-1=5 ед.груза. При этом минимальные затраты равны 455ден. ед.