Контрольная работа по «Экономико-математическим методам и прикладным моделям»

Проверяем выполнение первой теоремы двойственности

           Это означает, что оптимальный  план двойственной задачи определен, верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду  Поиск решений – Отчет по устойчивости (рис.2.4).

 

 

 

 

 

 

Microsoft Excel 10.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [Контр.раб 2.5.xls]кр 2.5
Отчет создан: 06.12.2007 19:04:27
Изменяемые  ячейки
			Результ.	Нормир.	Целевой	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэффициент	Увеличение	Уменьшение
	$A$2	х1	40	0	40	20	4.000000003
	$B$2	х2	40	0	60	100	20
	$C$2	х3	0	-6.666666672	80	6.666666672	1E+30
Ограничения
			Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
	Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
	$D$4		200	6.666666667	200	120	120
	$D$5		80	33.33333333	80	60	30
	$D$6		80	0	140	1E+30	60

 

Рис 2.4

 

 

 

3)  Пояснить нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

Подставим в  ограничения двойственной задачи оптимальные  значения вектора :              

        

     

    

   

Затраты на 3 изделия превышают цену ( ). Это же видно и в отчете по устойчивости (рис. 2.4) значения (нормир. стоимость) равно -6.67. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу изделия больше чем цена изделия. Эти изделия не войдут в оптимальный план из-за их убыточности.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц; 
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

 

Проанализировать  использование ресурсов в оптимальном  плане исходной задачи;

Запасы сырья  по первому и второму виду были использованы полностью, а по третьему виду – оборудование - было недоиспользовано 60.

Определить, как  изменятся выручка и план выпуска  продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц 

Из теоремы  об оценках известно, что колебание  величины приводит к увеличению или уменьшению .  Оно определяется:

Из расчетов видно, если мы увеличим запасы сырья на 18 единицы, то выручка возрастет на 600 единиц, т. е общая выручка составит после изменения запасов 4600 единиц.

При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на них не изменились.

Решим систему уравнений:    

И получим           

                

                      

Новый оптимальный  план

Изменение общей  стоимости продукции на 600 ед. получено за счет увеличения плана выпуска 1 вида продукции на 24 ед по цене 40 ед (40*(64-40)=960 ед.) и уменьшения на 6 ед. плана выпуска продукции 2 вида  по цене 60 (60*(34-40)=-360 ед.)

Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Для оценки целесообразности включения в план изделия четвертого вида воспользуемся вторым свойством двойственной оценки.

, подставим  ,  ,

 т.к. 80>70, то включение в план изделия четвертого вида невыгодно.

 

Задача 3

Используя балансовый метод планирования и  модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске одного вида: первое предприятие  специализируется на выпуске продукции первого вида; второе предприятие – продукции второго вида; третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутренне потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).  Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=( a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Предприятие (виды продукции)	Коэффициенты  прямых затрат aij			Конечный продукт Y
	1	2	3
1	0,2	0,3	0	120
2	0,3	0,1	0,2	250
3	0,1	0	0,3	180

 

 

 

 

 

 

Решение

1) Проверить продуктивность технологической  матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

1.1. Для решения данной экономической задачи будет выбрана среда табличного процессора MS Excel. (рис. 3.1)

Рис. 3.1

Исходные данные

 

1.2. Найдем разность между единичной матрицей Е и матрицей А.

Для этого воспользуемся  правилом вычитания матриц одинаковой размерности. (рис. 3.2)

	0,8	-0,3	-0,1
E-A	-0,3	0,9	-0,2
	-0,1	0	0,7

 

1.3. Найдем обратную матрицу . Воспользуемся встроенными функциями MS Excel (математические, обратная матрица) (рис. 3.2).

 

 

 

Рис 3.2

 

1.4. Чтобы определить Валовую продукцию  (матрицу ), надо матрицу = умножить на Конечный продукт (матрицу ). Воспользуемся опять встроенными функциями MS Excel (математические, умножение матриц) (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Определение валовой продукции (матрица )

1.5. Матрица (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор .

2) Построить  баланс (заполнить таблицу)  производства  и распределения продукции предприятий холдинга.

2.1. Для распределения продукции предприятий холдинга необходимо найти     (рис. 3.4)

Рис. 3.4

Распределение продукции предприятий холдинга

2.2. Построим  межотраслевой баланс  производства (рис. 3.5)

Рис 3.5

Условно чистая продукция – это разность между валовым продуктом и суммой продуктов, которые потребляет каждая отрасль.

Ответ:

1) Матрица (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор .

2)

 

 

 

 

 

Межотраслевой баланс
Предприятие (виды продукции)	Коэффициенты  прямых затрат aij			Конечный продукт Y	Валовой продукт
	1	2	3
1	72,82	140,35	0,00	120	364,08
2	109,23	46,78	61,83	250	467,84
3	36,41	0,00	92,75	180	309,15
Условно чистая продукция	145,63	280,70	154,57
Валовой продукт	364,08	467,84	309,15		1141,07

 

 

 

Задача 4

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя  приведен в таблице.

Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
5	7	10	12	15	18	20	23	26

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Y(t) = a₀ + a₁t, параметры которой оценить МНК (Y(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S–критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%)
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

 

Решение

1). Наличие  аномальных наблюдений приводит  к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число ( ) (таблица 4.1).

  ;     ,    

Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.

 

Таблица 4.1

	t	Y
	1	5	-4	16	-10,11	102,23	-	-
	2	7	-3	9	-8,11	65,79	2	0,28
	3	10	-2	4	-5,11	26,12	3	0,42
	4	12	-1	1	-3,11	9,68	2	0,28
	5	15	0	0	-0,11	0,01	3	0,42
	6	18	1	1	2,89	8,35	3	0,42
	7	20	2	4	4,89	23,90	2	0,28
	8	23	3	9	7,89	62,23	3	0,42
	9	26	4	16	10,89	118,57	3	0,42
Сумма	45	136	0	60	0	416,89
Среднее	5	15,11