Контрольная работа по «Экономико-математическим методам и прикладным моделям»

    Все полученные значения сравнили с табличными значениями, не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.

2) Построить  линейную модель   , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Для этого воспользуемся  Анализом данных в Excel (рис. 4.2).

Рис 4.1

 

 

Результат регрессионного анализа содержится в таблице 4.2 и 4.3.

Таблица 4.2

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение       а0	1,944	0,249	7,810
t                               a1	2,633	0,044	59,516

 

Во втором столбце  табл. 4.3 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а₀, а₁, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t – статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии  зависимости  (спрос на кредитные ресурсы) от (время) имеет вид (рис. 4.5).

Таблица 4.3

Вывод остатков

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	4,58	0,42
2	7,21	-0,21
3	9,84	0,16
4	12,48	-0,48
5	15,11	-0,11
6	17,74	0,26
7	20,38	-0,38
8	23,01	-0,01
9	25,64	0,36

 

 

 

Рис. 4.4

 

3) Оценить  адекватность построенных моделей,  используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

Модель  является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

3.1. Проверим  независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

Таблица 4.2

Наблюдение
1	0,42	0,18	-	-	-
2	-0,21	0,04	-0,63	0,42	0,18
3	0,16	0,02	0,37	-0,21	0,04
4	-0,48	0,23	-0,63	0,16	0,02
5	-0,11	0,01	0,37	-0,48	0,23
6	0,26	0,07	0,37	-0,11	0,01
7	-0,38	0,14	-0,63	0,26	0,07
8	-0,01	0,00	0,37	-0,38	0,14
9	0,36	0,13	0,37	-0,01	0,00
Сумма	0,00	0,82			0,70

 

,       

Т.к. расчетное  значение d попадает в интервал от 0 до d₁, т.е. в интервал от 0 до 1,08, то свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.

3.2. Проверку  случайности уровней ряда остатков  проведем на основе критерия  поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 √ (16n-29)/90]

Количество поворотных точек равно 6 (рис.4.5).

                                            Рис. 4.5

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности  выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

3.3. Соответствие  ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:

, где

- максимальный уровень ряда остатков,

  - минимальный уровень ряда  остатков,

     - среднеквадратическое  отклонение,

,  

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

3.4. Проверка  равенства нулю математического  ожидания уровней ряда остатков.

В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

В таблице 4.3 собраны данные анализа ряда остатков.

Таблица 4.3

Проверяемое свойство	Используемые  статистики		Граница		Вывод
	наименование	значение	нижняя	верхняя
Независимость	d-критерий	0,85	1,08	1,36	неадекватна
Случайность	Критерий поворотных точек	6>2	2		адекватна
Нормальность	RS-критерий	2,81	2,7	3,7	адекватна
Среднее=0?	t-статистика  Стьюдента	0	-2,179	2,179	адекватна
Вывод: модель статистики неадекватна

 

4) Оценить  точность модели на основе  использования средней относительной  ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:

, где 

Расчет  относительной ошибки аппроксимации

Таблица 4.4

	t	Y	Предсказанное Y
	1	5	4,58	0,42	0,08
	2	7	7,21	-0,21	0,03
	3	10	9,84	0,16	0,02
	4	12	12,48	-0,48	0,04
	5	15	15,11	-0,11	0,01
	6	18	17,74	0,26	0,01
	7	20	20,38	-0,38	0,02
	8	23	23,01	-0,01	0,00
	9	26	25,64	0,36	0,01
Сумма	45	136		0,00	0,23
Среднее	5	15,11

 

Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.

5) По  построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.10)

 t = 1,12    

Рис. 4.6

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при равен 1,12.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

, где

  (находим из таблицы 4.1)

 

,

 

.

Вычисляем верхнюю  и нижнюю границы прогноза (таб. 4.11).

Таблица 4.5

 

 

Таблица прогноза

n +k	U (k)	Прогноз	Формула	Верхняя граница	Нижняя граница
10	U(1) =0.84	28.24	Прогноз + U(1)	29.сен	27.40
11	U(2) =1.02	30.87	Прогноз - U(2)	31.89	29.85

 

6) Фактические  значения показателя, результаты  моделирования и прогнозирования представить графически.

Преобразуем график подбора (рис. 4.5), дополнив его данными  прогноза.

Рис. 4.7