Контрольная работа по курсу «Экономико-математическое моделирование»

 

 

Решение

Решение:

Имеются следующие данные (источник: сайт Федеральной службы государственной статистики)

http://bashstat.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat_ts/bashstat/resources/e02bcb804d04e448b21ffa5b3577459f/%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2_%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6.htm [дата обращения: 26.03.2013]), характеризующие показатель роста населения (x, тыс.) по Республике Башкортостан за период 2003-2012гг.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
42	46	49	47	53	56	60	62	64	67

 

1) сгладить Y(t) с помощью простой скользящей средней.

Для вычисления сглаженных уровней ряда Yt  принимается формула:

 (при нечётном m)

Учитывая, что у нас временной ряд небольшой (n=10), значения m берём m=3, т.к. 3 наименьшее нечётное число, больше чем 1. В результате такой процедуры получается 8 (n-m+1=10-3+1=8) сглаженных значений уровня ряда, при этом первый и последний уровни ряда теряются (не сглаживаются).

График временного ряда сглаженного простой скользящей средней при m=3 с фактическими и расчётными значениями показан на рисунке 2.

 

Рисунок 2 – График временного ряда сглаженного простой

скользящей средней при m=3

 

2) Определим наличие  тренда Y(t) методом проверки разностей средних уровней.

Исходный временной ряд разобьём на 2 части, состоящие из 2-х уровней

.

 

Таблица 1– временной ряд задачи, разбитый на 2 ряда

	n	Y(t)
Первый ряд временного ряда	1	42
	2	46
	3	49
	4	47
	5	53
Второй ряд временного ряда	1	56
	2	60
	3	62
	4	64
	5	67

 

Для каждой из этих частей вычисляется средние значения и дисперсии:

Проверяем равенство (однородность) дисперсии обеих частей ряда с помощью F- критерия Фишера, которая основана на сравнении расчётного значения этого критерия:

   ( со степенью свободы )

Так как расчётное значение   меньше табличного  , то гипотеза о равенстве дисперсии обеих частей ряда принимается с вероятностью 95 %.

Проверяем гипотезу об отсутствии тренда с использованием t – критерия Стьюдента. Для этого определяется расчётное значение критерия Стьюдента по формуле:

 

где - среднеквадратическое отклонение разности средних, вычисляемое по формуле:

.

Так как расчётное значение больше табличного значения статистики Стьюдента ( со степенью свободы (n-2=10-2=8) , то гипотеза отвергается с вероятностью 95%, то есть тренд есть.

3) Построить линейную  модель  , параметры которой оценить МНК.

Линейная модель имеет вид: , где и - параметры модели, которые вычисляются по формуле:

 

 

Итак, линейная модель имеет вид

Временной ряд задачи и линейная модель показаны в таблице 15.

Таблица 2 – Временной ряд задачи и линейная модель

 

t	Y(t)	Ŷ(t)	Ɛt=Y(t)-Ŷ(t)
1	42	42,11	-0,11
2	46	44,89	1,11
3	49	47,67	1,33
4	47	50,45	-3,45
5	53	53,23	-0,23
6	56	56,01	-0,01
7	60	58,79	1,21
8	62	61,57	0,43
9	64	64,35	-0,35
10	67	67,13	-0,13

4) Построить адаптивную  модель Брауна.

, с параметром сглаживания =0,4.

По первым пяти точкам временного ряда оцениваем полученные значения и параметров модели с помощью МНК для линейной аппроксимации по формуле:

 , (t=1,2,3,4,5)

  =40,50;

=2,30.

 

Рисунок 3 – Линейная модель по первым пяти точкам

 

Возьмём 

=0,4   ,     и  , подставим в формулы:

В таблицах приведены расчёты параметров модели Брауна на каждом шаге. На последнем шаге получена модель

.

 

Таблица 3 – оценка параметров модели Брауна с параметром сглаживания

=0,4  и =0,7

 

t	Y(t)	A0	A1	Yрасч	Ɛt=Y(t)-Ŷ(t)
		40,50	2,30
1	42	42,67	2,17	42,80	-0,80
2	45	45,03	2,36	44,84	1,16
3	46	47,64	2,62	47,39	1,61
4	47	49,74	2,09	50,26	-3,26
5	53	52,02	2,28	51,83	1,17
6	56	54,57	2,55	54,30	1,70
7	60	57,58	3,01	57,12	2,88
8	62	60,82	3,24	60,60	1,40
9	64	64,05	3,23	64,06	-0,06
10	67	67,23	3,18	67,28	-0,28
t	Y(t)	A0	A1	Yрасч	Ɛt=Y(t)-Ŷ(t)
		40,50	2,30
1	42	42,41	1,91	42,80	-0,80
2	46	45,14	2,73	44,32	1,68
3	49	48,43	3,28	47,87	1,13
4	47	49,40	0,98	51,71	-4,71
5	53	51,66	2,26	50,38	2,62
6	56	54,94	3,28	53,92	2,08
7	60	59,09	4,15	58,22	1,78
8	62	62,63	3,54	63,24	-1,24
9	64	65,11	2,48	66,18	-2,18
10	67	67,30	2,19	67,59	-0,59

 

5)Оценить адекватность  построенных моделей на основе  исследования.

-   случайность остаточной компоненты по критерию пиков.

Точки пиков линейной модели и модели Брауна с параметром сглаживания =0,4   показаны в таблице 17.

Таблица 17 – точки пиков линейной модели и модели Брауна с параметром сглаживания =0,4  

Линейная модель		Модель Брауна α=0,4
Ɛt=Y(t)-Ŷ(t)	Точки пиков	Ɛt=Y(t)-Yрасч(t)	Точки пиков
-0,11		-0,80
1,11	0	1,16	0
1,33	1	1,61	1
-3,45	1	-3,26	1
-0,23	0	1,17	0
-0,01	0	1,70	0
1,21	1	2,88	1
0,43	0	1,40	0
-0,35	1	-0,06	0
-0,13		-0,28
	Итого:		Итого:
	4		3

 

Линейная модель		Модель Брауна α=0,7
Ɛt=Y(t)-Ŷ(t)	Точки пиков	Ɛt=Y(t)-Yрасч(t)	Точки пиков
-0,11		-0,80
1,11	0	1,68	1
1,33	1	1,13	0
-3,45	1	-4,71	1
-0,23	0	2,62	1
-0,01	0	2,08	0
1,21	1	1,78	0
0,43	0	-1,24	0
-0,35	1	-2,18	1
-0,13		-0,59
	Итого:		Итого:
	4		4

 

В случайной выборке средняя арифметическая (математическое ожидание) числа поворотных точек при n=10 вычисляется по формуле:

,

А их дисперсия вычисляется по формуле:

 

Критерий случайности отклонений  от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как целое 

 , где  1,96 – квантиль нормального распределения для 5% уровня значимости.

В линейной модели и модели Брауна α=0,4 соответственно по 4 и 3 поворотных точек, то есть В модели Брауна α=0,7

Рассмотрим неравенство:

, 4>2, 3>2  для обоих случаев.

Так как неравенство выполняется, то в линейной модели и в модели Брауна ряды остатков случайны, то есть они не содержат регулярную компоненту.

 

-независимости уровней  ряда остатков по d- критерию.

(в качестве критических  используются уровни  ) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого .

С этой целью строится статистика Дарбина Уотсона (d - статистика), в основе которой лежит расчётная формула:

Расчётные значения статистики Дарбина – Уотсона и первого коэффициента автокорреляции для линейной модели и модели Брауна с параметром сглаживания =0,4 показаны в таблице 18.

 

Таблица 4 – Расчётные значения статистики Дарбина – Уотсона и первого коэффициента автокорреляции для линейной модели и модели Брауна с параметром сглаживания

=0,4

 

	Линейная модель	Модель Брауна α=0,4	Модель Брауна α=0,7
d расч	1,76	1,79	1,76
r 1 расч	-0,12	0,09	-0,13

 

Для линейной модели , в модели Брауна и , то есть , и в обеих моделях ряд остатков не коррелирован.

Для линейной модели и гипотеза об отсутствии автокорреляции может быть принята. Всё это свидетельствует об адекватности линейной модели.

Для модели Брауна и гипотеза об отсутствии автокорреляции может быть принята. Всё это свидетельствует об адекватности данной модели Брауна.

 

- нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S критерию с критическим уровнем 2,7-3,7.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S критерия по формулам: