Контрольная работа по "Методам оптимальных решений"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИИ И ДИЗАЙНА"
				Кафедра                           Математики
					(наименование)
Контрольная работа по дисциплине Методы оптимальных решений Контрольная работа в-т 9
					Выполнил(а) : Петрова Виктория Владимировна
					Студент (ка) группы ВЗ-46с
					Специальность Экономика(сокр.прогр.)
					Шифр зачетной книжки 1123439
					Петрова Виктория Владимировна
					(Фамилия, имя, отчество  студента)
					Проверил____________________________
					(Фамилия, имя, отчество  преподавателя)
Санкт-Петербург
2013   г

1. Решить задачу графическим методом:

 

 

 

Решим задачу графическим методом:

Строим область  допустимых решений задачи. Строим прямые , , и . Для каждой прямой находим какая из двух полуплоскостей является областью решения неравенств.

Находим общую часть полуплоскостей, учитывая при этом условие неотрицательности переменных. Строим нормаль линий уровня n=(6,5). Так как решается задача на отыскание минимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении противоположном направлению нормали до самой дальней точки.

Решение достигается  в точке А пересечения двух прямых: и . Решая систему уравнений получаем решение: X(10, 18). Подставим значение в целевую функцию: F(10, 18)=150.

Строим нормаль линий уровня n=(9,-10). Так как решается задача на отыскание максимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали до самой дальней точки.

Решение достигается  в точке D пересечения двух прямых:, . Решая систему уравнений получаем решение: X(46 2/3, 7). Подставим значение в целевую функцию: F(46 2/3, 7)=350.

 

 
2.Решить задачу графическим методом:

 

 

 

Решим задачу графическим методом:

Строим область  допустимых решений задачи. Строим прямые , , . Для каждой прямой находим, какая из двух полуплоскостей является областью решения неравенств.

Находим общую часть полуплоскостей, учитывая при этом условие неотрицательности переменных. Строим нормаль линий уровня n=(3,5). При решении задачи на отыскание минимума целевой функции, линию уровня перемещаем в направлении противоположном направлению нормали до самой дальней точки, а при решении задачи на отыскание максимума целевой функции, линию уровня перемещаем в направлении нормали до самой дальней точки.

Решение задачи на минимум достигается в точке В пересечения двух прямых: и . Решая систему уравнений получаем решение: X(5, 9). Подставим значение в целевую функцию: F(5, 9)=60.

При решении задачи на отыскание максимума целевой функции, линию уровня перемещаем в направлении нормали до самой дальней точки. Область допустимых значений не ограничена, значит целевая функция на множестве допустимых решений не ограничена сверху. 

 
3. Решить симплексным методом, используя метод искусственного базиса и симплексные таблицы.

 

 

Перейдем  к канонической форме путем ввода  дополнительных переменных:

 

В первое неравенство  вводим искусственную переменную x₆:

 

 

Выражаем  x₆ из первого уравнения и подставляем значение в целевую функцию:

 

 

Строим первый опорный план:

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x6	3	5	-1	0	0	1	30
x4	-6	25	0	1	0	0	225
x5	15	-10	0	0	1	0	225
z	-6+3M	-5+5M	-M	0	0	0	30M

В индексной  строке есть положительные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x₂, ведущая строка – первая.

Новая симплекс-таблица:

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	3/5	1	-1/5	0	0	1/5	6
x4	-21	0	5	1	0	-5	75
x5	21	0	-2	0	1	2	285
z	-3	0	-1	0	0	1-M	30

B индексной строке нет положительных коэффициентов, значит оптимальный план найден.

x₁=0,

x₂=6,

z=5*6=30.

 

4. Решить примеры симплексным методом, используя метод искусственного базиса и симплексные таблицы.

 

 

Перейдем  к канонической форме путем ввода  дополнительных переменных: 

В первое и второе неравенства вводим искусственные переменные x₆ и x₇:

 

 

Выражаем  x₆ и x₇ из первого и второго уравнений и подставляем значения в целевую функцию:

 

 

 

Строим первый опорный план:

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	12	5	-1	0	0	1	0	135
x7	6	-5	0	-1	0	0	1	45
x5	3	5	0	0	1	0	0	90
z	-3-18M	-10	M	M	0	0	0	-180M

В индексной  строке есть отрицательные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x₁, ведущая строка – вторая.

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	0	15	-1	2	0	1	-2	45
x1	1	-5/6	0	-1/6	0	0	1/6	7 ½
x5	0	7 1/2	0	1/2	1	0	-1/2	67 1/2
z	0	-12 ½-15M	M	-1/2-2M	0	0	½+3M	22 ½-45M

В индексной  строке есть отрицательные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x₂, ведущая строка – первая.

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	0	1	-1/15	2/15	0	1/15	-2/15	3
x1	1	0	-1/18	-1/18	0	1/18	1/18	10
x5	0	0	1/2	-1/2	1	-1/2	1/2	45
z	0	0	-5/6	1 1/6	0	5/6+M	-1 1/6+M	60

В индексной  строке есть отрицательные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x₃, ведущая строка – третья.

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	0	1	0	1/15	2/15	0	-1/15	9
x1	1	0	0	-1/9	1/9	0	1/9	15
x3	0	0	1	-1	2	-1	1	90
z	0	0	0	1/3	1 2/3	M	-1/3+M	135