Контрольная работа по «Методы моделирования производственных систем»

 

 

1. По матрице  смежности определим ранг каждого  элемента

Чем выше ранг элемента, тем более сильно он связан с другими элементами и тем более тяжёлыми будут последствия при потере качества его функционирования. В рассматриваемом случае наиболее высокий ранг (0,136) имеют 3 элемента структуры.

2. Проверим связность структуры. Для связных структур (не имеющих обрывов и висячих элементов) должно выполняться условие

 

Для нашего случая n (количество структурных элементов) равно 12 и условие (½)·22 = 12–1 выполняется, т.е. структура является связной.

3. Проведем оценку структурной избыточности R, отражающей превышение общего числа связей над минимально необходимым:

   

Система с большей избыточностью R потенциально более надёжна, но менее экономична. Возможны три варианта: если R<0, то система несвязная; R = 0, система обладает минимальной избыточностью; R > 0, система имеет избыточность; чем выше R, тем выше избыточность.

Для рассматриваемого случая R = [(½)·22∕ (12–1)] – 1 = 0, т.е. структура имеет минимальную избыточность.

4. Определим неравномерность  распределения связей - Е. Данный показатель характеризует недоиспользование возможностей данной структуры, имеющей m рёбер и n вершин, в достижении максимальной связности. Величина Е определяется по формуле

где - вес i-го элемента, или количество связей i- го элемента со всеми остальными.

Для рассматриваемого случая

Однако для сравнения различных структур по неравномерности связей используют относительную величину:

Еотн= Е ∕ Еmax,

где Еmах - максимальное значение неравномерности связей, которое достигается в системе, имеющей максимально возможное число вершин, имеющих одну связь.

Величину Е определяют по эмпирической формуле

где  y = m – n ; 

 Для рассматриваемого  случая

y = 11 – 12 = –1; 

 

Тогда

Определим величину Е для рассматриваемого случая.

Еотн = 2,76 ∕ 8,58 = 0,322.

Величина Е для различных типов структур изменяется от 0 (для структур с равномерным распределением связей) до 1.

В рассматриваемом случае распределение связей в структуре довольно равномерное.

5. Определим структурную компактность структуры Q, которая отражает общую структурную близость элементов между собой. Для этого используется формула

где dij - расстояние от элемента i до элемента j, т.е. минимальное число связей, соединяющих элементы i и j.

Для определения величины общей структурной компактности построим матрицу расстояний D = ||dij|| - (табл. 2). По таблице определяем Q = 456.

Таблица 2

Матрица расстояний D

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	Ʃ
1		1	1	2	2	3	3	4	4	4	5	5	34
2	1		2	3	3	4	4	5	5	5	6	6	44
3	1	2		1	1	2	2	3	3	3	4	4	26
4	2	3	1		2	1	3	2	2	4	5	5	30
5	2	3	1	2		3	1	4	4	2	3	3	28
6	3	4	2	1	3		4	1	1	5	6	6	36
7	3	4	2	3	1	4		5	5	1	2	2	32
8	4	5	3	2	4	1	5		2	6	7	7	46
9	4	5	3	2	4	1	5	2		6	7	7	46
10	4	5	3	4	2	5	1	6	6		1	1	38
11	5	6	4	5	3	6	2	7	7	1		2	48
12	5	6	4	5	3	6	2	7	7	1	2		48
													456

 

 

Однако для количественной оценки структурной компактности и возможности объективного сравнения различных организационных структур чаще используют относительный показатель определяемый по формуле:

где Qmin = n · (n –1) - минимальное значение компактности для структуры типа «полный граф» (каждый элемент соединен с каждым).

Для нашей структуры Qmin = 11 · (11 – 1) = 110. Тогда

Qотн = 456 ∕ 110 – 1 = 4,1.

Структурную компактность можно характеризовать и другой характеристикой - диаметром структуры: d = mах dij, равным максимальному значению расстояния dij в матрице расстояний. Для рассматриваемой структуры d = 7.

С увеличением Qотн и d увеличиваются средние временные задержки при обмене информацией между подразделениями, что вызывает снижение общей надёжности. С этой точки зрения, структура исследуемого предприятия имеет надёжность ниже среднего уровня (максимальную надёжность имеет полный граф, для которого Qотн= 0, а d =1).

6. Для характеристики степени централизации системы используется показатель центральности структурного элемента:

который характеризует степень удаленности i-го элемента от других элементов структуры.

Чем меньше удален i-й элемент от других, тем больше его центральность и тем большее количество связей осуществляется через него. В рассматриваемом случае наиболее центральным является третий элемент, для которого Σdij = 26 = min, то есть он обладает максимальным коэффициентом центральности Zmах= 456 ∕ (2 · 26) = 8,77≈9.

Степень центральности в структуре в целом может быть охарактеризована индексом центральности:

Значение степени центральности находится в диапазоне 1≥δ≥0, при этом для структур с равномерным распределением связей δ = 0, для структур, имеющих максимальную степень централизации, δ = 1.

Для рассматриваемого случая высокое значение степени центральности структуры (δ = 0,87) предъявляет высокие требования к пропускной способности центра (элемент 3), через который устанавливается большое число связей по приему и переработке информации, и надёжности его функционирования, так как отказ центрального элемента ведет к полному разрушению структуры.

Данная методика оценки может быть использована при сравнительной оценке свойств структур ПС. С точки зрения топологии внутренних связей, выделяют следующие основные виды структур (рис. 6): а) последовательная; б) кольцевая; в) радиальная; г) древовидная; д) типа «полный граф»; е) несвязная.

Рассмотрим применение количественных характеристик к анализу свойств этих структур. Результаты вычислений представлены в табл. 3.

Таблица 3

Результаты сравнительного анализа

Рис. 3. Основные виды моделей структур

 

Из табл. 3 видно:

1) для несвязных структур R < 0; для структур без избы- точности (последовательное, радиальная, древовидная) R = 0; для структур с избыточностью по связям (кольцевая, полный граф) – R > 0;

2) наибольшую близость  элементов (показатель Q) имеет структура типа «полный граф»; наименьшую - последовательная; радиальная и кольцевая структуры, неразличимые по показателю d, имеют различные значения Q;

3) радиальная и древовидная  структуры, имеющие одинаковые или  близкие значения R, Q, d, значительно отличаются по показателю δ, что соответствует физическому смыслу, ибо отход от полной централизации, характерной для радиальной структуры, ведет к большей равномерности распределения связей по элементам;

4) наивысшую неравномерность  распределения связей (Е=1) имеет радиальная структура, а наименьшую (Е = 0) - кольцевая структура и полный граф.

Анализируя значения структурных параметров, полученных в результате структурной диагностики, можно выявить основные недостатки структуры организации и внести некоторые коррективы в организационную структуру предприятия.

Задание 2

Вариант 7

В таблице приведены данные по выработке на одного работающего и фондовооружённость. Определить уравнение связи и корреляционное отношение.

Предприятие	Фондовооруженность, ден.ед./чел	Выработка на 1 работающего, ден.ед./чел
1	1,9	3,3
2	2	4,6
3	2,2	3,4
4	2,3	5,5
5	2,4	4
6	2,4	5,1
7	2,6	3
8	2,6	4,2
9	2,6	3,8
Ʃ	21	36,9
среднее	2,3	4,1

 

 

Требуется определить зависимость фондовооруженности предприятия  от выработки на 1 работающего, составив соответствующее уравнение регрессии. По исходным данным построим в системе координат точки, соответствующие значениям переменных х и у. Проведем линию теоретической зависимости между показателями (рис.4).

Рис. 4. Линия регрессии

 

К моделям регрессии, нелинейным по факторным переменным, относятся полиномиальные функции.

Наиболее часто из полиномиальных функций используется полином второго порядка, или параболическая функция:

yi = b0 + b1 xi + b2 xi2 + ei..

Для определения неизвестных коэффициентов данной модели регрессии b0, b1 и b2 применяется метод наименьших квадратов.

Итак, уравнение регрессии в окончательном виде получило следующий вид:

Y = -39,727+39,133x-8,6262x²

Коэффициент корреляции: r=0,5546

 

Задача 3

Исходные данные для своего варианта задания каждый студент формирует самостоятельно по следующему алгоритму:

1) обращение к таблице, содержащей выборку из таблицы  случайных чисел, и извлечение  из нее трёх чисел подряд (а1, а2, а3), начиная с числа, соответствующего в таблице номеру варианта.

 

Таблица 5

Таблица случайных чисел

 

2) замена в задаче переменных в1, в2, в3 числами, полученными по зависимостям

Примечание. ] с [ - означает целую часть от с.

а1 = 0,3; а2=0,9; а3=0,7

Фирма выпускает два вида продукции А и В. Суточные ресурсы фирмы следующие:

в1 = 610 единиц производственного оборудования;

в2 = 1020 единиц сырья;

в3 = 720 единиц электроэнергии.

Расходы каждого вида ресурсов на единицу продукции каждого типа представлены в табл. 6:

Таблица 6

Ресурсы	Тип продукции
	А	В
Оборудование	2	4
Сырьё	1	5
Э/ ресурсы	3	2

 

 

Цена единицы продукции первого вида равна 8 ден. ед., а второго вида - 6 ден. ед.

Сколько единиц продукции каждого вида необходимо произвести в сутки, чтобы выручка от реализации готовой продукции была максимальной?

Решение:

W= 8x1+6x2

При ограничениях:

2x1+4x2 ≤ 610

x1+5x2 ≤ 1020

3x1+2x2 ≤ 720

 

Геометрическое решение задачи:

В системе координат (x1,0,x2) cтроим график линейной зависимости полученной переходом от первого неравенства к равенству:

2x1+4x2 = 610, x2 = 152,5-0,5x1

По аналогии получаем выражения для двух других линейных зависимостей:

X2=204-0,2x1;

X2=240-1,5x1.

Изображаем графики данных зависимостей в той же системе координат и штриховкой выделяем область определения рассматриваемой задачи.

Затем на том же рисунке (рис. 5) изображаем прямую, полученную с использованием целевой функции для случая

Координаты данной вершины (точка А) и соответствуют оптимальному решению задачи.

В этой точке пересекаются линии (1) и (3). Решая совместно систему из двух уравнений, соответствующих этим линиям, получаем координаты точки А:

x2 = 152,5-0,5x1

x2=240-1,5x1.

Получаем:

X1 = 87,5; x2 = 108,75

Подставляя значения переменных в целевую функцию, получим

W = 8·87,5 + 6·108,75 = 1352,5.

Выводы: продукции первого вида должно быть произведено 87,5 единиц, второго вида – 108,75. Максимальная выручка от реализации продукции составит 1352,5 ден.ед.

Задание 4.

Определить надёжность системы, представленной на рис. 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8. Производственная система из семи элементов

 

Варианты вероятностей безотказной работы элементов

Варианты	е1	е2	е3	е4	е5	е6	е7
7	0,75	0,8	0,85	0,9	0,95	0,9	0,85

 

 

Элементы е1 и е2 соединены последовательно, тогда:

Тогда по правилу умножения вероятностей независимых событий надёжность Р системы равна

Р=0,8*0,75 = 0,6

Элементы е3 и е4 соединены параллельно, тогда:

.

Р=1-(1-0,85)(1-0,9)=0,985

Р=0,6*0,985 = 0,591

Элементы е6 и е7 соединены параллельно, с элементом е5 - последовательно:

Р=1-(1-0,9)(1-0,85)=0,985

Р=0,95*0,985=0,936

 

Р=1-(1-0,591)(1-0,936)=0,974

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Амелин С.В. Методические указания по изучению дисциплины "Методы моделирования производственных систем".ВГТУ, Воронеж, 2008. – 42 с.

2. Маклаков С.В. Моделирование бизнес-процессов с BPwin 4.0. – М.: Диалог-МИФИ, 2002. – 224 c.

3. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. – СПб: Питер, 2004. – 848 с.

4. Советов Б.Я., Яковлев  С.А. Моделирование систем. – М.: Высш. шк., 2001. – 343 с.

5. http://ru.wikipedia.org/