Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными остатками

ПНИПУ 
 
 
 
 
 

Контрольная работа

По предмету: Эконометрика

На тему: Линейные регрессионные модели

с гетероскедастичными  остатками 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

г. Пермь, 2010

                                                  

 ВВЕДЕНИЕ

     При моделировании реальных экономических процессов мы нередко сталкиваемся с ситуациями, в которых условия классической линейной модели регрессии оказываются нарушенными.

     Так, например, при использовании зависимости расходов на потребление от уровня доходов семей можно ожидать, что в более обеспеченных семьях вариация расходов выше, чем в малообеспеченных, т.е. дисперсии возмущений не одинаковы. При рассмотрении временных рядов мы, как правило, сталкиваемся с ситуацией, когда наблюдаемые в данный момент значения зависимой переменной коррелируют с их значениями в предыдущие моменты времени, т.е. наблюдается корреляция между возмущениями в разные моменты времени.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

При оценке параметров уравнения регрессии  применяется метод

наименьших квадратов (МНК). При этом делаются определенные

предпосылки относительно случайной составляющей e. В модели

 y = a + b₁ x₁ + b₂ x₂ +... + b_m x_m +e   случайная составляющая    представляет собой ненаблюдаемую величину.

     После того как произведена оценка параметров модели, рассчитывая разности фактических и теоретических значений результативного признака y, можно определить оценки случайной составляющей y-y_x.

     Поскольку они не являются реальными случайными остатками, их можно считать некоторой выборочной реализацией неизвестного остатка заданного уравнения, т.е. e_j .

     При изменении спецификации модели, добавлении в нее новых

     наблюдений  выборочные оценки остатков e_j могут меняться. Поэтому в задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели, но и исследование случайных отклонений e_j, т.е. остаточных величин. При использовании критериев Фишера и Стьюдента делаются предположения относительно поведения остатков e_j – остатки представляют собой независимые случайные величины и их среднее значение равно 0; они имеют одинаковую (постоянную) дисперсию и подчиняются нормальному распределению.

     Статистические  проверки параметров регрессии, показателей

корреляции основаны на непроверяемых предпосылках распределения случайной составляющей e_j. Они носят лишь предварительный характер.

       После построения уравнения регрессии проводится проверка наличия у оценок e_j (случайных остатков) тех свойств, которые предполагались.

     Связано это с тем, что оценки параметров регрессии должны отвечать

определенным  критериям. Они должны быть несмещенными,

     состоятельными  и эффективными. Эти свойства оценок, полученных по МНК, имеют чрезвычайно важное практическое значение в использовании результатов регрессии и корреляции.

     Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание

остатков равно  нулю. Если оценки обладают свойством несмещенности, то их можно сравнивать по разным исследованиям.

     Оценки  считаются эффективными, если они  характеризуются наименьшей дисперсией. В практических исследованиях это означает

возможность перехода от точечного оценивания к интервальному.

     Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с

увеличением объема выборки. Большой практический интерес  представляют те результаты регрессии, для которых доверительный интервал ожидаемого значения параметра регрессии   имеет предел значений вероятности, равный единице. Иными словами, вероятность получения оценки на заданном расстоянии от истинного значения параметра близка к единице b_i. Указанные критерии оценок (несмещенность, состоятельность и эффективность) обязательно учитываются при разных способах оценивания.

     Метод наименьших квадратов строит оценки регрессии на основе

минимизации суммы  квадратов остатков. Поэтому очень  важно исследоват поведение остаточных величин регрессии e_j. Условия, необходимые для получения несмещенных, состоятельных и эффективных оценок, представляют собой предпосылки МНК, соблюдение которых желательно для получения достоверных результатов регрессии.

Исследования  остатков e_j  предполагают проверку наличия следующих

пяти предпосылок  МНК:

     1) случайный характер остатков;

     2) нулевая средняя величина остатков, не зависящая от x_i;

     3) гомоскедастичность – дисперсия  каждого отклонения e_j, одинакова для всех значений x;

     4) отсутствие автокорреляции остатков  – значения остатков e_j, распределены независимо друг от друга;

     5) остатки подчиняются нормальному  распределению.

     Если  распределение случайных остатков e_j не соответствует

некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель. Прежде всего, проверяется случайный характер остатков    – первая

предпосылка МНК.

     Вторая  предпосылка МНК относительно нулевой  средней величины

остатков означает, что  Σ(y - y_х) =0.

     Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных. Вместе с тем, несмещенность оценок коэффициентов регрессии, полученных МНК, зависит от независимости случайных остатков и величин x , что также исследуется в рамках соблюдения второй предпосылки МНК. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков e_j от теоретических значений результативного признака y_x строится график зависимости случайных остатков e_j  от факторов, включенных в регрессию x _j  (рис.1). 

                          

                          2

                          1   

                            0                                                                                            x_j

                         -1              2            4             6         8          10        12             

                     

                     -2 
 

     Рис. 1. Зависимость величины остатков от величины фактора x j . 

     Если  остатки на графике расположены  в виде горизонтальной полосы,

то они независимы от значений x _j . Если же график показывает наличие зависимости e_j и x _j, то модель неадекватна. Причины неадекватности могут быть разные. Возможно, что нарушена третья предпосылка МНК и дисперсия остатков не постоянна для каждого значения фактора x _j . Может быть неправильна спецификация модели и в нее необходимо ввести дополнительные члены от x_j , например x_j² . Скопление точек в определенных участках значений фактора x _j  говорит о наличии систематической погрешности модели.

     Предпосылка о нормальном распределении остатков позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью F- и t - критериев. Вместе с тем, оценки регрессии, найденные с применением МНК, обладают хорошими свойствами даже при отсутствии нормального распределения остатков, т.е. при нарушении пятой предпосылки МНК.

     Совершенно  необходимым для получения по МНК состоятельных

оценок параметров регрессии является соблюдение третьей  и четвертой предпосылок.

     В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы

дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора x _j остатки e_j имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место

гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно  наглядно

видеть из поля корреляции (рис. 2). 
 
 
 
 
 

       

       
 
 
 

     

     а                                                               б 

     

       
 
 
 
 

                    в 

     Рис. 2. Примеры гетероскедастичности. 

     На  рис. 2. изображено: а – дисперсия остатков растет по мере

увеличения  x ; б – дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной x и уменьшается при минимальных и максимальных значениях x ; в – максимальная дисперсия остатков при малых значениях x и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений x .

Наличие гомоскедастичности или гетероскедастичности можно  видеть

и по рассмотренному выше графику зависимости остатков e_j от

теоретических значений результативного признака y .

Так, для рис. 2.а зависимость остатков от x y представлена на рис. 3.

     

     

     

     

     

     

     

       
 

     Рис.3. Гетероскедастичность: большая дисперсия i для больших значений x .

     Соответственно  для зависимости, изображенной на полях  корреляции

рис. 2.б и 2.в гетероскедастичность остатков представлена на рис. 4 и 5.

     

     

     

     

     

     

     

       
 

Рис. 4. Гетероскедастичность, соответствующая полю корреляции на рис. 2.б.