Линейные регрессионные уравнения

Министерство  образования и науки, молодежи и  спорта Украины

Сумский государственный  университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине «Моделирование экономических, экологических и

социальных процессов»

Вариант – 14  

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

 

Проверил:

Назаренко Александр

Максимович

 

 

 

 

 

Сумы – 2013г

Оглавление

 

Введение

 

Актуальность темы курсовой работы обусловлена необходимостью внедрения в практику работы экономистов и руководителей различного уровня методов экономико-математического моделирования с целью разработки сценариев наиболее эффективного управления функционированием соответствующих систем и минимизации средств, затрачиваемых на принятие управленческих решений.

Целью курсовой работы является систематизация, закрепление и расширение теоретических знаний, практическое применение социально-экономического моделирования, подготовка к прикладным исследованиям в области экономики, овладение навыками эмпирического вывода социально-экономических законов, развитие аналитических навыков, овладение элементами самостоятельной исследовательской работы.

Практическая значимость исследования состоит в том, что полученные результаты могут быть применены в процессе управления развитием субъектов хозяйственной деятельности. Целесообразность практического использования математического моделирования экономических процессов доказана их низкой себестоимостью и высокой практической значимостью получаемых результатов, поэтому их применение экономически эффективно.

 

Задание

 

В таблице приведены статистические данные о стоимости выпущенной продукции (Y, тыс. грн.), объеме основных фондов (х₁, тыс. грн.), материальных затратах на выпуск продукции (x₂, тыс. грн.), фонде заработной платы (x₃, тыс. грн.) некоторого предприятия за несколько лет.

Таблица 1 – Данные о работе предприятия

Y	214,21	256,98	301,6	329,16	387,84	400,76	450,22	526,18	574,65	583,01
x1	75,47	96,98	112,34	121,23	137,83	149,37	173,46	196,44	210,58	217,4
x2	77,85	92,85	121,03	132,15	155,82	186,38	208,19	222,4	240,18	257,37
x3	36,96	48,43	65,68	77,57	96,65	113,29	126,57	133,29	159,36	165,79

Провести исследование заданного социально-экономического процесса с помощью практического применения эконометрического моделирования, используя его для качественного и количественного оценивания социально-экономических явлений, и нахождение модели, наиболее адекватно описывающей предложенный процесс.

По ходу выполнения работы, должны быть раскрыты следующие вопросы.

1. Теория применения линейных производственных функций (ПФ) вида

Y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n + U

при моделировании социально-экономических процессов.

2. Практическое применение линейных производственных функций при моделировании заданного процесса на примере данных своего варианта:

а) построение однофакторной, двухфакторной и трехфакторной ПФ и оценивание их качества приближения с помощью коэффициента детерминации R²;

б) формулировка выводов, объясняющих полученные результаты.

3. Теоретические основы проведения корреляционного анализа систем «показатель – факторы» и «факторы».

4. Проведение корреляционного анализа систем «показатель–факторы» и «факторы» на данных своего варианта.

5. Проведение регрессионного анализа линейной трехфакторной ПФ.

6. Теория применения ПФ типа Кобба-Дугласа вида

при моделировании социально-экономических процессов.

7. Построение ПФ типа Кобба-Дугласа на примере данных своего варианта и оценивание ее качества приближения с помощью коэффициента детерминации R².

8. Проведение корреляционного и регрессионного анализа линеаризированной ПФ типа Кобба-Дугласа.

9. Сравнение линейной модели и функции типа Кобба-Дугласа, выявление наиболее адекватной модели и описание ее с экономической точки зрения.

 

1. Линейные регрессионные уравнения

1.1 Линейные регрессионные уравнения

Будем исходить из того, что между объясняемой и объясняющими переменными выбрана линейная связь. Имеем

Y = a₀x₀  + a₁x₁  + … + a_mx_m + U.      (1.1)

Здесь x₀ º 1 – фиктивная переменная, введённая для удобства; слагаемое U отражает влияние на Y других факторов, ошибки измерений, ошибки выбора модели.

Пусть с целью исследования линейной связи (1.1) проведена выборка объёма n, которая представлена в табл. 1. Тогда для наблюдаемых величин можно записать

y_i = a₀x_i0  + a₁x_i1  + … + a_mx_im + u_i,  i = 1, 2, …, n.   (1.2)

В системе уравнений (1.2) постоянные коэффициенты неизвестны и должны быть оценены (приближенно вычислены).

Если  - возможные оценки (приближенные значения) параметров a₀, a₁, …, a_m , то функция регрессии, соответствующая модели (1.1), имеет вид

.       (1.3)

Отклонения выборочных данных y_i от неё определяются величинами (i = 1, 2, …, n)

, .

Отметим, что несмещенной  оценкой неизвестной дисперсии возмущений является выборочная дисперсия

,

где l - число связей, накладываемых функцией регрессии на выборку. Заключаем, что l = m +1, т.е. общее число связей равно числу оценок, от которых зависит функция регрессии (1.3).

Критерием выбора оценок в математической статистике является условие минимума дисперсии, которое при фиксированном значении n-m-1 эквивалентно условию минимума функции ошибок

.   (1.4)

Имеем    

В результате для определения МНК-оценок приходим к системе m+1 линейных уравнений с m+1 неизвестными

    (1.5)

Предполагая, что определитель системы  уравнений (1.5) отличен от нуля, из нее находим единственные значения оценок , которые и обеспечивают минимальные значения функции ошибок и выборочной дисперсии возмущений .

Таким образом, функция регрессии, соответствующая МНК-оценкам  , имеет вид

.       (1.6)

Несмещенной оценкой неизвестной  дисперсии  является МНК-оценка

.    (1.7)

1.2 Матричный способ оценки

Процесс оценивания регрессионной  модели при m ³ 2 является  довольно громоздким, поскольку приходится вычислять большое число сумм в (1.5) и решать системы уравнений с тремя и более неизвестными, что без использования ЭВМ весьма затруднительно. Если же в распоряжении пользователя ЭВМ имеются стандартные программы, позволяющие осуществлять действия над матрицами, то регрессионный анализ значительно упрощается.

Запишем регрессионное соотношение (1.2) для наблюдаемых величин в развёрнутом виде

     (1.8)

Здесь x_i0 º 1 для всех i = 1, 2, ..., n. Матричная запись системы уравнений (1.8) такова:

,         (1.9)

где ,  ,  ,  .

В линейных регрессионных  моделях предполагается, что выборочные наблюдения (табл. 1) должны быть такими, чтобы число степеней свободы l=n–m–1 было больше 0, и чтобы матрица имела полный столбцевой ранг m+1. Из курса линейной алгебры известно, что в этом случае ранг транспонированной матрицы также равен m + 1, а симметричная матрица размерности (m + 1)×(m + 1)

     (1.10)

имеет ранг, равный m + 1, и, следовательно, существует обратная матрица .

Нетрудно заметить, что  система линейных уравнений (1.5), из которой определяются МНК-оценки , может быть записана в виде

,         (1.11)

откуда находим вектор-столбец искомых МНК-оценок. Имеем

.        (1.12)

Таким образом, вектор-оценку можно определять двумя способами: либо решая систему линейных уравнений (1.11), либо пользуясь формулой (1.12).

Далее получаем

,        (1.13)

,         (1.14)

,       (1.15)

,       (1.16)

, .      (1.17)

1.3 Коэффициент детерминации

Качество регрессионной модели будем характеризовать коэффициентом детерминации, который в случае линейной регрессии обозначается R² и равен квадрату выборочного коэффициента корреляции между двумя рядами наблюдений - экспериментальными значениями показателя (y_i) и его расчётными значениями ( ).

.        (1.18)

Можно показать, что 

0 £ R² £ 1.

Значение R² (в процентах) означает, что линейная модель (1.6) объясняет R²% всей дисперсии показателя, остальные (1 - R²)% не обусловлены линейной моделью.

Из формулы (1.18) вытекает следующее: минимизация функции  ошибок по методу наименьших квадратов  эквивалентна максимизации коэффициента детерминации R². Чем ближе при прочих равных условиях значение R² к единице, тем лучше оценено регрессионное уравнение, и, следовательно, лучше качество полученной модели.

1.4 Усредненные коэффициенты эластичности

Влияние k-го фактора на показатель часто характеризуют коэффициентом эластичности [1]. Усредненная эластичность регрессанда Y относительно регрессора x_k для линейной модели вычисляется по формуле

,         (1.19)

где и - средние значения k-го фактора и показателя в выборке. Оценённая эластичность интерпретируется следующим образом: если при прочих равных условиях k-й фактор изменится на 1%, то показатель в результате этого в среднем изменится на процентов.

1.5 Моделирование заданного процесса

Рассмотрим пример построения множественной регрессии на данных варианта (табл. 1), используя матричный способ оценивания неизвестных коэффициентов, по которому вектор оценок вычисляется согласно формуле (1.12).

Для однофакторного регрессионного уравнения вида (1.1)

Y = a₀ + a₁x₁ + U

имеем следующее.

Проводя последовательно вычисления по формуле (1.12) получим:

 

X	1	75,47	Y	214,21
	1	96,98		256,98
	1	112,34		301,6
	1	121,23		329,16
	1	137,83		387,84
	1	149,37		400,76
	1	173,46		450,22
	1	196,44		526,18
	1	210,58		574,65
	1	217,4		583,01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X'	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	75,47	96,98	112,34	121,23	137,83	149,37	173,46	196,44	210,58	217,4
X'X	10	1491,1		(X'X)-1	1,125915	-0,006880257
	1491,1	244010,1			-0,00688	4,61422E-05
(X'X)-1X'	0,606662	0,458668	0,352987	0,291822	0,177609	0,098211133	-0,06753	-0,22564	-0,32293	-0,36985
	-0,0034	-0,00241	-0,0017	-0,00129	-0,00052	1,1997E-05	0,001124	0,002184	0,002836	0,003151