Линейные регрессионные уравнения

3.2 Построения модели типа Кобба-Дугласа

Построим модель, аппроксимирующую данные заданного варианта, в виде производственной функции типа Кобба-Дугласа:

.

Как уже было сказано  выше, для оценки неизвестных коэффициентов  необходимо линеаризировать модель.

Пусть

.

Тогда исходная модель путем логарифмирования преобразуется в линейную модель

,

которая была уже изучена  выше.

Проведем корреляционный анализ системы «показатель-факторы».

Сначала вычислим полную корреляционную матрицу, составленной из выборочных парных коэффициентов корреляции (2.2). Проведя необходимые расчеты, получим:

K	1	0,996989	0,987967	0,988324
	0,996989	1	0,99092	0,989229
	0,987967	0,99092	1	0,997136
	0,988324	0,989229	0,997136	1

 

Анализ матрицы  свидетельствует о сильной значимости всех выборочных парных коэффициентов корреляции, ввиду высоких значений парных коэффициентов корреляции, являющихся элементами этой матрицы.

Систему «показатель-факторы» будем характеризовать выборочными  частными коэффициентами корреляции (2.5). Для их вычисления рассчитаем значения матрицы из (2.4):

Z	189,6336	-184,381	63,82108	-68,6623
	-184,381	235,3071	-106,37	55,52115
	63,82108	-106,37	231,3431	-188,532
	-68,6623	55,52115	-188,532	201,9295

 

Зная ее, согласно формуле (2.5) рассчитаем искомые частные коэффициенты корреляции. Вычисления дают

.

Для того, чтобы определить, какие факторы значимо влияют на изучаемый показатель найдем . При уровне значимости и числе степеней свободы находим . Тогда из критерия (2.6) видим, что, из трех факторов только x1 значимо влияет на стоимость выпущенной продукции Y.

Проанализируем теперь систему «факторы».

Матрица из (2.7) будет иметь вид:

R	1	0,99092	0,989229
	0,99092	1	0,997136
	0,989229	0,997136	1

 

Тогда, рассчитав матрицу

,

через элементы которой  выражаются выборочные частные коэффициенты корреляции системы «факторы», получим:

 

F	56,03254	-44,3166	-11,2394
	-44,3166	209,8642	-165,424
	-11,2394	-165,424	177,0684

и по формуле (2.8) найдем

R*	1	-0,40867	-0,11284
	-0,40867	1	-0,85814
	-0,11284	-0,85814	1

которая указывает на наличие в линейной модели проблемы мультиколлинеарности, поскольку значение превосходит n-m=7).

Оцененная, с помощью  формул приведенных выше, регрессия  приобретает вид:

, R² = 0,99473

Проверим значимость коэффициентов уравнения регрессии  с помощью критерия (2.19), для чего при  и находим . Тогда, проверяя критерий (2.19), находим, что все коэффициенты кроме х1 незначимы, что говорит о незначимости вклада факторов х2,х3 в уравнение регрессии. Заметим, что этот результат совпадает с результатами корреляционного анализа и свидетельствует о правильности проведенных расчетов.

 

Заключение

 

В данной работе были построены и исследованы две модели, аппроксимирующие исходные данные: в виде линейной функции регрессии и в виде производственной функции типа Кобба-Дугласа, которые отражали зависимость стоимости выпущенной продукции от объема основных фондов, величины материальных затрат и фонда заработной платы.

Для обоих моделей оказалось, что на исследуемый показатель факторы не влияют значимо.

Для линейной регрессии было получено следующее выражение

, R² = 0.9972.

а для линеаризированной производственной функции типа Кобба-Дугласа:

, R² = 0,99473

Как видим, коэффициент детерминации линейной регрессии незначительно више, поэтому можно считать эти модели равнозначными. Но во второй модели гораздо меньшие стандартные ошибки коэффициентов модели, что является важным фактором, влияющим на качество конструируемой модели, поэтому выберем именно ее для проведения дальнейших исследований.

Рассмотрим более подробно экономический смысл производственной функции типа Кобба-Дугласа.

Как уже было сказано выше, коэффициентами эластичности выпуска по факторам будут являться сами коэффициенты регрессии. Тогда:

эластичность стоимости  выпущенной продукции по стоимости основных фондов E₁ = 0.956;

эластичность стоимости  выпущенной продукции по материальным затратам E₂ = -0.285;

эластичность стоимости  выпущенной продукции по фонду заработной платы E₃ = 0.246.

Напомним, что эти показатели показывают, на сколько процентов изменится выпуск Y, если затраты соответствующего ресурса увеличить на 1%, оставив неизменными затраты других ресурсов. В нашем случае следует заметить влияние стоимости выпущенной продукции по фонду заработной платы, ввиду высокого значения показателя E₃.

Сумма a + b + γ отражает уже общую реакцию производства на изменения затрат. Степень однородности n = a + b + γ характеризует эффект от масштаба производства.

Так как a + b + γ = 0.917 (меньше 1), то в данном случае мы наблюдаем спадающий эффект от масштаба производства (или отрицательный эффект масштаба). Его экономический смысл заключается в понижении эффективности производства под воздействием одновременного увеличения всех ресурсов.

 

Список использованной литературы

1. Назаренко О. М. Основи економетрики: Підручник. – Київ: «Центр навчальної літератури», 2004. – 392 c.
2. Назаренко О.М. Економетрика: навчальний посібник. –Суми: Вид-во СумДУ, 2000. – 404 с.
3. Макконелл К.Р., Брю С.Л. Экономикс: принципы, проблемы, политика: Пер. с 13-го англ. изд. – М.: ИНФРА-М, 1999. – XXXIV, 974 с.
4. Лившиц А.Я. Введение в рыночную экономику: Курс лекций. – М.: МП ТПО Квадрат, 1991. – 255 с.