Математические модели в экономике

Известны следующие параметры:

При этом суммарные запасы равны  суммарным потребностям:

j-ый пункт. Иными словами, требуется организовать перевозки продукта

со складов в пункты потребления  так, чтобы при полном удовлетворении

потребностей минимизировать суммарные транспортные расходы.

Заметим, что условие (7) является необходимым  и достаточным для

существования, по крайней мере, одной  матрицы перевозок X = (x_ij)

удовлетворяющей ограничениям задачи (8).

г) Задача о банке.

Для простоты рассмотрим числовой пример такой

задачи. Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами

составляют 100 млн. долларов. Часть  этих средств, но не менее 35 млн.

долларов должна быть размещена  в кредитах. Кредиты являются неликвидными

активами банка, так как в случае непредвиденной потребности

в наличности обратить кредиты в  деньги без существенных потерь невозможно.

Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их

можно в любой момент продать, получив  некоторую прибыль или, как

правило, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно

которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции

ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать не ликвидность

кредитов. Считаем, что ликвидное  ограничение следующее:

ценные бумаги должны составлять не менее 30 % средств,

размещенных в кредитах и ценных бумагах.

 

 

1.5. Основные этапы построения математической модели

Чтобы воспользоваться математической моделью для конкретной производственно-экономической  ситуации, следует применить информационную технологию. Информационная технология позволяет безошибочно выделить из множества реальных производственно-экономических ситуаций именно ту, которая полностью соответствует конкретным обстоятельствам. Эта технология состоит из следующих восьми этапов .

Этап 1. Выбор объекта моделирования (например: склад готовой продукции; организация выпуска новой продукции или системы транспортных перевозок и т.п.).

Этап 2. Анализ проблемной ситуации, сложившейся в рассматриваемом объекте моделирования. Например, для нормального функционирования склада готовой продукции необходимо увязать скорость потребления продукции со временем поставки и размерами складских площадей, оборотными средствами, которые всегда оказываются ограниченными.

Этап 3. Тип и число ненаблюдаемых  параметров (отыскиваемых значений целевой функции и основных переменных X_j), определение которых позволит выбрать обоснованное управление конкретного экономического объекта.

Этап 4. Тип и число наблюдаемых параметров (задаваемых значений правых частей ограничений b[i], коэффициентов затрат a[ij] , граничных условий для отыскиваемых переменных.

Этап 5. Условие адекватности, то есть уверенность в том, что математическая модель экономического объекта полностью (или в главных чертах) характеризует его действительное оптимальное функционирование. Обычно адекватность ставится в зависимость от численного значения критерия оптимальности (или нескольких таких критериев при многокритериальной оптимизации).

Этап 6. Используемый математический аппарат, соответствующий конкретному математическому описанию производственно-экономической ситуации. (Например, аналитические связи между основными параметрами движения запасов).

Этап 7. Анализ результатов моделирования экономического объекта: оптимальных значений основных переменных и целевой функции. Эти значения составляют основу экономического анализа конкретного объекта, за которым следуют выводы.

Этап 8. Принятие решения. По результатам оптимальных значений и сделанных на этапе 7 выводов принимается решение по управлению экономическим объектом.

Можно сделать вывод, что для  понимания сущности моделирования  важно не упускать из виду, что моделирование  – не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование – циклический процесс. Это означает, что за первым восьмиэтапным  циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом  объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

По мере развития и усложнения экономико-математического  моделирования его отдельные  этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются  различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализа  моделей экономики развилась  в особую ветвь современной математики – математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь  с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа .

Довольно самостоятельными областями  исследований становятся подготовка и обработка экономической информации, и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.

 

 

2. Практическая часть. Исследование математических моделей

2.1. Определение  минимальных затрат

Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую  однородную продукцию в количествах соответственно равных 180, 350 и 20 ед. Эта продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах соответственно равных 1210, 90, 120, 80 и 150 ед. Затраты, связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются матрицей:

Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при  котором общие затраты являются минимальными.

Для решения данной задачи воспользуемся  программой MS Excel.

Исходными данными для решения  транспортной задачи являются матрица транспортных расходов, предложения поставщиков, спрос потребителей (рис. 1).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1. Матрица транспортных расходов

Кроме исходных данных для решения  транспортной задачи необходимо предусмотреть:

а) блок ячеек «Матрица перевозок», в котором будут моделироваться объемы перевозок;

б) блок ячеек «Фактически реализовано», в котором будет моделироваться фактическая реализация продукции;

в) блок ячеек «Фактически получено», в котором будет моделироваться фактическое удовлетворение спроса;

г) блок ячеек «Транспортные расходы по потребителям», в котором будут подсчитываться транспортные расходы по каждому потребителю;

д) ячейку «Итого расходы», в которой  будут моделироваться итоговые транспортные расходы по всем потребителям (целевая  ячейка) (рис. 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2. Создание блоков ячеек

Для формирования элементов математической модели необходимо выполнить следующую последовательность действий:

а) заполнить ячейки блока «Матрица перевозок» (С15:G17) произвольным числом, например числом 0,01;

б) в первую ячейку блока «Фактически реализовано» (ячейка J15) вставить формулу СУММ(С15:G15) – сумму первой строки блока «Матрица перевозок»;

в) скопировать формулу СУММ(С15:G15) из первой ячейки блока «Фактически реализовано» на все остальные ячейки этого блока;

г) в первую ячейку блока «Фактически  получено» (ячейка С19) вставить формулу СУММ(С15:С17) – сумму первого столбца блока «Матрица перевозок»;

д) скопировать формулу СУММ(С15:С17) из первой ячейки блока «Фактически получено» на все остальные ячейки этого блока;

е) в первую ячейку блока «Транспортные  расходы по потребителям» (ячейка С22) вставить формулу СУММПРОИЗВ(С6:С8*С15:С17) и скопировать ее в остальные ячейки блока;

ж) в ячейку «Расходы» (ячейка J22) ввести формулу СУММ(С22:G22) (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.3. Ввод формул

 

Готовый результат после вычисления формул представлен на рис. 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.4. Результаты расчета по формулам

Для нахождения плана перевозок  продукции, при котором общие  затраты являются минимальными, необходимо воспользоваться встроенной функцией MS EXCEL «Поиск решения».

Для этого необходимо активизировать ячейку «Итого» (ячейка J22), в меню «Сервис» выбрать команду «Поиск решения» и установить следующие параметры (рис. 2.5):

Рис. 2.5. Применение команды «Поиск решения»

В результате выполнения данной команды  решение данной задачи примет вид (рис. 2.6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.6. Результат выполнения команды «Поиск решения»

Таким образом, затраты на перевозку  грузов составят 2240 ден. ед. при следующем распределении:

- поставщик 1 реализует продукцию  3-му и 4-му потребителям в размере 120 и 60 ед. соответственно;

- поставщик 2 реализует продукцию  1-му, 2-му, 4-му и 5-му потребителю  в размере 110 ед., 90 ед., 20 ед. и 130 ед. соответственно;

- поставщик 3 реализует продукцию 5-му потребителям в размере 20 ед.

 

 

2.2. Решение задачи определения наиболее прибыльного объема продукции

Промышленная фабрика для производства трех видов продукции А, В и С использует три вида сырья: песок, уголь и декоративный камень. Нормы расхода сырья каждого вида на производство 1 т готового продукта данного вида приведены в табл. 2.1. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т готового продукта данного вида.

Таблица 2.1

Нормы расхода сырья

 

 

 

 

 

Найти план производства, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.

Для решения данной задачи воспользуемся  программой MS Excel.

Исходными данными для решения  задачи определения наиболее прибыльного объема выпуска продукции является:

- имеющиеся в наличии ресурсы;

- нормы расхода ресурсов на выпуск 1 т готового продукта;

- прибыль от реализации 1 т готового продукта (рис. 2.7).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.7. Расходы сырья

Кроме исходных данных для решения данной задачи необходимо предусмотреть:

а) блок ячеек «Выпуск продукции», в котором будут моделироваться объемы производимой карамели каждого вида;

б) блок ячеек «Расходы на производство», в котором будут моделироваться объемы используемого сырья;

б) ячейку «Итого прибыль», в которой будет моделироваться итоговая «максимальная прибыль» от производства карамели (рис. 2. 8).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.8. Создание блоков ячеек

Для формирования элементов математической модели необходимо выполнить следующую последовательность действий:

а) заполнить ячейки блока «Матрица перевозок» (D9:F9) произвольным числом, например числом 1;

б) в первую ячейку блока «Объемы  используемого сырья» (ячейка J4) вставить формулу СУММПРОИЗВ(D4:F4*$D$9:$F$9);

в) скопировать формулу СУММПРОИЗВ(D4:F4*$D$9:$F$9) из первой ячейки блока «Объемы используемого сырья» на все остальные ячейки этого блока;

г) в ячейку «Максимальная прибыль» (ячейка D11) ввести формулу СУММПРОИЗВ(D7:F7*D9:F9) (рис. 2.9).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.9. Ввод формул

Готовый результат после вычисления формул представлен на рис. 2.10.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.10. Результаты расчета по формулам

Для нахождения плана производства, обеспечивающего максимальную прибыль от ее реализации необходимо воспользоваться встроенной функцией MS EXCEL «Поиск решения».

Для этого необходимо активизировать ячейку «Максимальная прибыль» (ячейка D11), в меню «Сервис» выбрать команду «Поиск решения» и установить следующие параметры (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Применение команды «Поиск решения»

В результате выполнения данной команды решение данной задачи примет вид (рис. 2.12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.12. Результат выполнения команды «Поиск решения»

Таким образом, максимальная прибыль  от производства трех видов карамели составит 2036 ден. ед. при следующем  плане производства:

- необходимо производить 2,5 т песка А;

- необходимо производить 6,5 т угля В;