Математическое моделирование процессов и систем

Значительная роль в проверке моделей принадлежит логическому анализу,  в  том  числе средствами самого математического моделирования. Такие формализованные приемы верификации  моделей, как  доказательство существования решения в модели,  проверка истинности статистических гипотез о связях  между  параметрами и переменными модели,  сопоставления размерности величин и т.д.,  позволяют сузить класс потенциально  "правильных" моделей.    

Внутренняя непротиворечивость предпосылок модели  проверяется также  путем  сравнения друг с другом получаемых с ее помощью следствий,  а также со следствиями "конкурирующих" моделей.    

Оценивая современное состояние проблемы адекватности  математических моделей экономике, следует признать, что создание конструктивной комплексной методики верификации моделей,  учитывающей как  объективные  особенности  моделируемых объектов, так и особенности их познания,  по-прежнему является одной  из наиболее актуальных  задач экономико-математических исследований.

 

4. Этапы экономико-математического моделирования

 

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний,  в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты.  Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.    

1. Постановка  экономической  проблемы  и ее качественный  анализ. Главное здесь - четко сформулировать  сущность  проблемы, принимаемые  допущения и те вопросы,  на  которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение  важнейших черт и свойств моделируемого  объекта  и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта  и  основных  зависимостей, связывающих его  элементы;  формулирование  гипотез  (хотя  бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.    

2. Построение математической  модели.  Это - этап формализации  экономической проблемы,  выражения  ее в виде  конкретных математических  зависимостей  и отношений (функций,  уравнений, неравенств и т.д.). Обычно  сначала определяется основная  конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали  этой конструкции (конкретный перечень  переменных и параметров, форма  связей). Таким образом, построение  модели подразделяется в свою  очередь на несколько стадий.    

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать  о  таких характеристиках сложности модели,  как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д.

Излишняя сложность и громоздкость  модели  затрудняют  процесс исследования. Нужно  учитывать  не только реальные возможности информационного и математического обеспечения,  но и сопоставлять затраты  на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить  прирост эффекта).    

Одна из важных особенностей математических моделей -  потенциальная возможность  их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей,  не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения  этой  задачи уже известные модели.    

В процессе построения модели осуществляется  взаимосопоставление двух  систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому,  чтобы  получить  модель, принадлежащую  хорошо  изученному  классу математических задач. Часто это удается сделать  путем  некоторого  упрощения исходных предпосылок  модели,  не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.  Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для  создания новых разделов математики.

3. Математический анализ  модели.  Целью этого этапа  является выяснение  общих свойств  модели.  Здесь применяются чисто  математические приемы исследования.  Наиболее важный момент - доказательство  существования решений в сформулированной  модели (теорема существования). Если  удастся доказать, что математическая  задача не имеет решения,  то  необходимость в последующей  работе по первоначальному варианту  модели  отпадает и  следует  скорректировать  либо постановку  экономической задачи, либо способы  ее математической формализации. При аналитическом исследовании  модели выясняются такие вопросы,  как,  например, единственно ли  решение,  какие переменные (неизвестные)  могут входить в решение,  каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы  тенденции их изменения и т.д.  Аналитической исследование модели по сравнению  с  эмпирическим  (численным) имеет то  преимущество,  что  получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних  и  внутренних параметров модели.    

Знание общих свойств модели имеет столь важное  значение, часто ради  доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели.  И все  же модели сложных  экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию.  В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам,  переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной  информации. Моделирование предъявляет  жесткие  требования  к системе  информации.  В то же время  реальные возможности получения  информации  ограничивают  выбор  моделей, предназначаемых для практического  использования.  При этом принимается  во внимание не только принципиальная  возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и  затраты на подготовку  соответствующих  информационных  массивов.

Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.    

В процессе  подготовки информации широко используются методы теории вероятностей,  теоретической и математической статистики. При  системном экономико-математическом моделировании исходная информация,  используемая в одних  моделях,  является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот  этап включает разработку алгоритмов  для численного решения задачи,  составления программ на ЭВМ  и непосредственное проведение  расчетов.  Трудности  этого этапа обусловлены,  прежде всего, большой размерностью экономических задач,  необходимостью обработки значительных  массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической  модели  носят многовариантный характер.  Благодаря  высокому  быстродействию современных ЭВМ удается проводить  многочисленные  "модельные" эксперименты, изучая  "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий.  Исследование,  проводимое  численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач,  которые можно решать численными методами,  значительно шире,  чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов  и их применение.  На этом  заключительном этапе цикла встает  вопрос о правильности и полноте  результатов моделирования,  о  степени практической применимости  последних.

Математические методы проверки могут выявлять  некорректные построения  модели  и  тем самым сужать класс потенциально правильных моделей.  Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и  фактами  действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит  к  слишком  сложной математической модели.  В  соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать,  что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат.

Наиболее часто необходимость  возврата  к  предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап 4).  Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или  же  затраты  на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее  формализации, изменяя их так,  чтобы приспособиться к имеющейся информации.

Поскольку экономико-математические   задачи   могут  быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде.  Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы,  исходную постановку задачи и модель упрощают:  снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов,  нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого  цикла  имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с  построения  простой  модели,  можно быстро получить полезные результаты,  а затем перейти к созданию более совершенной модели,  дополняемой  новыми  условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и  усложнения  экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями,  происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического  анализа  моделей экономики развилась в особую ветвь современной  математики  -  математическую экономику. Модели,  изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями.  При построении таких моделей главным принципом  является  не  столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего  числа  аналитических  результатов посредством  математических доказательств.  Ценность этих моделей для экономической теории  и  практики  состоит  в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

Довольно самостоятельными  областями  исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического  обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации,  программ автоматизированного построения  моделей  и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую  роль  должны играть специалисты в соответствующей области экономического  анализа,   планирования,   управления. Главным участком  работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и  синтез  процесса экономико-математического моделирования.

 

 

 

5. Алгоритм решения типовых задач математического моделирования

 

Основной задачей линейного программирования называется задача, состоящая в отыскании значений переменных x1, x2, …, xn, удовлетворяющих ограничениям

 

и обращающих в минимум функцию

 

где aij и cj – заданные числа

К задаче (1)-(2) можно свести любую задачу линейного программирования. Действительно, если, например, функция z обращается в максимум, то функция обращается в минимум. Кроме того, от любого ограничения-неравенства можно перейти к ограничению-неравенству путем введения «фиктивной» неотрицательной переменной.

Упорядоченный набор чисел называется опорным решением задачи(1)-(2), если он удовлетворяет системе ограничений (1).

Упорядоченный набор чисел называется оптимальным решением задачи (1)-(2), если он удовлетворяет системе ограничений и обращает в минимум функцию (2).

Функция (2) называется целевой функцией.

 

Алгоритм симплекс-метода

I. Отыскание опорного решения

Рассмотрим систему ограничений (1) в развернутом виде, опустив условия неотрицательности, получим

 

1. Выразить первые r переменных x1, x2, …, xr через остальные n – r переменные xr+1,…, xn методом Гаусса и получить систему уравнений вида

 

Переменные  x1, x2, …, xr  называются базисными, а xr+1, xr+2 ,…, xn  - свободными.

2. Если в системе (3) все свободные члены β1, β2, …, βr неотрицательны, то решение (β1, β2, …, βr ,0,0,…,0) – опорное. Перейти к поиску оптимльного решения.

3. Если хотя бы одно  из чисел βk<0 а в соответствующем уравнении все коэффициенты άk,j отрицательны, то задача не имеет решений.

4. Пусть свободный член  βk<0. Рассмотреть соответствующее уравнение и найти коэффициент άk,j >0. Рассмотреть все коэффициенты άi,j , имеющие разные знаки с соответствующим свободным членом βi и выбрать тот, для которого отношение к нему свободного члена минимально по модулю.