Математическое моделирование процессов и систем

5. Пусть выбран коэффициент . Из p-го уравнения выразить переменную xq и подставить ее во все уравнения системы (3), т.е. ввести переменную xq в состав базисных переменных, а переменную xp сделать свободной.

6. Повторить пункты 2-5.

II. Отыскание оптимального решения

1. Подставив базисные переменные, полученные в результате отыскания опорного решения в целевую функцию (2), выразить ее через свободные переменные xr+1, xr+2 ,…, xn. Тогда целевая функция примет вид:

 

2. Если все коэффициенты ck 0 , то найденное решение оптимально.

3. Если хотя бы один  коэффициент ck <0, а в системе (3) все коэффициенты неотрицательны, то задача не имеет решений (целевая функция неограничена).

4. Пусть коэффициент cq<0 (если таких несколько, то выбрать наибольший по модулю). Рассмотреть в системе все коэффициенты и выбрать тот, для которого отношение к нему свободного члена минимльно по модулю.

5. Пусть выбран коэффициент . Ввести переменную xq в состав базисных переменных, а переменную xp сделать свободной.

6. Повторить пункты 2-5.

Если целевая функция максимизируется, то критерием оптимальности найденного решения будет неположительность коэффициентов ck 0 в (4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Задача

Автосалон «Смоленский» планирует приступить к реализации трех видов автомобилей «Ford Focus», «Ford Mondeo» и «Ford C-Max», используя при этом площади торговых залов и время обслуживающего персонала. Затраты указанных ресурсов на продажу одной партии товара каждого вида, их объемы и прибыль, получаемая от реализации каждой партии, приведены в таблице 1. Найдите оптимальную структуру продаж автомобилей, обеспечивающую автосалону максимальную прибыль.

Таблица 1

Ресурсы	Запас ресурса	Затраты ресурсов
		Ford Focus	Ford Mondeo	Ford C-Max
Время, чел/ч	370	0,5	0,7	0,6
Площадь, м2	9000	10	19	14
Прибыль, тыс. руб.		500	800	600

 

Решение.

Составим математическую модель задачи. Пусть x1 , x2 и x3 – планируемое к продаже количество автомобилей «Ford Focus», «Ford Mondeo» и «Ford C-Max» соответственно. Тогда прибыль, получаемая автосалоном, будет иметь вид:

z = 500 x1 + 800 x2 + 600 x3 ,                 (1.1)

а ограничения на переменные x1, x2 и х3 будут задаваться следующей системой неравенств:

  (1.2)

Приведем задачу 1.1-1.2 к основной задаче линейного программирования. Введем в рассмотрение функцию и  фиктивные переменные ,

тогда задача 1.1-1.2 примет вид:

                               = -500 x1 - 800 x2 - 600 x3 ,

 

Воспользуемся алгоритмом симплекс-метода. Найдем опорное решение. Имеем

 

 

Решение  (292, 320, 0,0,0) является опорным.

Найдем оптимальное решение. Подставим базисные переменные в целевую функцию, получим

 

Так как все коэффициенты при свободных переменных положительны, то найденное решение является оптимальным и max z = 402000.

Таким образом, автосалону «Смоленский» следует плнировать к продаже автомобили «Ford Focus» и  «Ford  Mondeo» в количествах 292 и 320 штук соответственно и отказаться от продажи автомобилей «Ford C-Max», при этом прибыль составит 402 млн.руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

заключение

 

Можно выделить,  по крайней мере, четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем.

1. Совершенствование  системы  экономической  информации. Математические  методы позволяют упорядочить  систему  экономической информации,  выявлять недостатки в имеющейся  информации и вырабатывать требования  для подготовки новой информации  или ее корректировки.  Разработка  и применение экономико-математических  моделей указывают пути совершенствования  экономической информации, ориентированной  на  решение  определенной системы  задач планирования и  управления.  Прогресс  в  информационном обеспечении  планирования  и управления опирается  на бурно развивающиеся технические  и программные средства информатики.

2. Интенсификация и повышение  точности экономических расчетов. Формализация экономических задач  и применение ЭВМ  многократно  ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают  трудоемкость,  позволяют проводить  многовариантные экономические  обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве "ручной" технологии.

3. Углубление количественного  анализа экономических проблем. Благодаря  применению  метода  моделирования  значительно усиливаются  возможности  конкретного  количественного  анализа, изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические  процессы, количественная  оценка  последствий изменения условий  развития экономических объектов  и т.п.

4. Решение принципиально  новых экономических задач.  Посредством  математического моделирования  удается  решать  такие экономические  задачи,  которые иными средствами  решить практически невозможно,  например:  нахождение оптимального  варианта народнохозяйственного  плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов.

Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями  и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало применить математическую модель  может не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых условий.

В соответствии  с  современными  научными представлениями системы разработки и принятия хозяйственных решений должны сочетать формальные  и неформальные методы,  взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга. Формальные методы являются, прежде всего,  средством  научно  обоснованной подготовки материала для действий человека в процессах  управления.  Это  позволяет продуктивно использовать опыт и интуицию человека, его способности решать плохо формализуемые задачи.

 

Список использованных источников

1. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Наука, 1984.
2. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.
3. Янч Э. Прогнозирование научно-технического прогресса. / Пер. с англ. – М.: Прогресс, 1974.