Матрица прямых материальных затрат, ее продуктивность. Признаки продуктивности

Содержание

1. Матрица прямых материальных затрат, ее продуктивность. Признаки продуктивности……………………………………………………………3
2. Задача 1……………………………………………………………………..5
3. Задача 2……………………………………………………………………..9
4. Задача 3…………………………………………………………………….14

Список литературы………………………………………………………………17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Матрица прямых материальных  затрат, ее продуктивность. Признаки  продуктивности. Матрица коэффициентов  полных материальных затрат, способы  ее определения. 

 

Матрица прямых материальных затрат, ее продуктивность. Признаки продуктивности.

По ЭММ Леонтьева (Е-А)X=Y можно определить объемы валовой продукции отрасли Х1, Х2, …, Хn по заданным объемам конечной продукции: Х = (Е-А)‾¹ Y;  X=BY,  B=(E-A)‾¹.   Элементы Bij обратной матрицы B = (E-A)‾¹   называются коэффициентами полных (материальных) затрат, т.е. это затраты i-й отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j. Соответственно матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат, а матрицу А – матрицей коэффициентов прямых затрат. Матрицу неотрицательную А будем называть продуктивной  если сущ такой неотрицательный вектор X>=0, что X>AX. Это условие означает существование положительного вектора конечной продукции Y>0 для модели межотраслевого баланса. Для того чтобы матрица коэф прямых материал затрат была продуктивной необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно  из перечисленных условий:-- матрица (Е-А) необратима, т.е. сущ обратная матрица (Е-А)^-1 >=0

-- сходится матричный  ряд Е + А + А² + … + =∑А® , причем  ∑А®=(Е-А)‾¹ -- положительны все главные  миноры матрицы (Е – А) (т.е. определители матрицы образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы)-- максимальное собственное число матрицы А меньше 1.  Собственными значениями (числами) квадратной матрицы А называются корни (решения) характеристического уравнения | А-λЕ |=0.

Матрица коэффициентов  полных материальных затрат, способы  ее определения.

Матричная форма модели Леонтьева (E-A)X=Y. По ней можно определить объемы валовой продукции отраслей  X1,X2,…,Xn  по заданным объемам конечной продукции: X=(E-A)ˉ¹  Y      X=BY     B=(E-A)ˉ¹. Если определитель матрицы (Е-А) не равен 0, то сущ обратная к ней матрица. В=(Е-А) ^-1 Элементы bij  обратной матрицы B=(E-A)ˉ¹ называются коэффициентами полных (материальных)  затрат. Это затраты i-той отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j. Матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

 

Решить графическим  методом типовую задачу оптимизации.

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

 

Решение

 

Введем обозначения:

х₁ — инвестиции в акции концерна А.

х₂ — инвестиции в акции строительного предприятия В.

Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

Построим ОДР задачи:

Прямые ограничения означают, что  область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы  координат.

Функциональные ограничения  определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

I. (0;300) (300;0)

т.(0;0) –  входит в ОДР;

II. (200; 100), (0;0).

т.(1;0) – входит в ОДР;

III. (0;100) прямая параллельная оси ОХ.

т.(0;0) – входит в ОДР.

Рис. 1.

 

Пересечение указанных  полуплоскостей в первой четверти представляет собой треугольник АВСО (заштрихованная общая область для всех ограничений  задачи ОДР).

Для определения направления  движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ (0,08;0,1) с началом координат О (0;0).

Построим некоторую  линию уровня 0,08х₁+0,1х₂=а.

Пусть, например, а = 0

(0;0) (100;-80)

Такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору-градиенту.

При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении  вектора-градиента, а при минимизации  – в противоположном направлении. Предельными точками при таком  движении линии уровня ОХ являются соответственно точка В (максимум) и  точка О (минимум). Далее она выходит из ОДР.

Определим координаты точки  В, являющейся точкой пересечения всех прямых.

х₁ = 200;

Таким образом, ЦФ в ЗЛП  принимает при х₁ = 100; х₂ = 200 максимальное значение, равное

f(х₁,х₂) = 0,08 х 100 + 0,1 х 200 = 28

Для того, чтобы получить максимум прибыли 28 ден.ед. необходимо вложить 200 ден. ед. в концерн А и 100 ден. ед. в строительное предприятие В.

Если решать задачу на минимум, то необходимо найти такое  решение, при котором предприятие получит наименьшую функцию. Минимум функции необходимо искать в точке области допустимых решений самой близкой к прямой по направлению вектора . Очевидно, что он достигается либо в точке О (0; 0). Тогда полученная прибыль будет равна 0.

Строим графики: ограничения  – черные, целевая функция –  красная, область допустимых решений  зеленая.

 

 

 

   Если нужно найти минимум, то двигаем красную линию параллельно самой себе вниз и получаем нули – ничего не покупаем и ничего не получаем.

                                                               

 

Задача 2

 

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного  временного ряда

 В течение девяти  последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Номер варианта	Номер наблюдения (t = 1, 2 ..... 9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	10	14	21	24	33	41	44	47	49

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель  , параметры которой оценить МНК (Y(t)) — расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность  построенной модели, используя свойства  независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному  закону распределения (при использовании  R/S критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

5. Оценить точность  модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6. По построенной модели  осуществить прогноз спроса на  следующие две недели (доверительный  интервал прогноза рассчитать  при доверительной вероятности р = 70%).

7. Фактические значения  показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение

1. Проверим наличие  аномальных наблюдений.

Рис.1. Диаграмма рассеяния

 

Данные диаграммы рассеяния  показывают, что аномальных наблюдений нет (рис. 1).

2. Построим линейную  модель:

,

где

  

Построим расчетную  таблицу 1.

Таблица 1

t	y(t)	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(t-tср)(Y-Yср)	Yp(t)
1	10	-4	16	-21,4	85,8	10,2
2	14	-3	9	-17,4	52,3	15,5
3	21	-2	4	-10,4	20,9	20,8
4	24	-1	1	-7,4	7,4	26,1
5	33	0	0	1,6	0,0	31,4
6	41	1	1	9,6	9,6	36,7
7	44	2	4	12,6	25,1	42,0
8	47	3	9	15,6	46,7	47,3
9	49	4	16	17,6	70,2	52,6
45	283	0	60	0,0	318,0	283,0
5	31,4	0	6,7	0	35,3	31,4

 

Линейная модель имеет  вид:

3. Для оценки адекватности  модели составим расчетную таблицу  2.

Таблица 2

t	y(t)	Yp(t)	е	Р	et-et-1	(et-et-1)2	et2	etet-1	Еотн
1	10	10,2	-0,24	-	-		0,1		2,4
2	14	15,5	-1,54	1	-1,3	1,7	2,4	0,4	9,9
3	21	20,8	0,16	1	1,7	2,9	0,0	-0,2	0,7
4	24	26,1	-2,14	1	-2,3	5,3	4,6	-0,3	8,2
5	33	31,4	1,56	0	3,7	13,7	2,4	-3,3	4,9
6	41	36,7	4,26	1	2,7	7,3	18,1	6,6	11,6
7	44	42,0	1,96	0	-2,3	5,3	3,8	8,3	4,7
8	47	47,3	-0,34	0	-2,3	5,3	0,1	-0,7	0,7
9	49	52,6	-3,64	-	-3,3	10,9	13,3	1,3	6,9
45	283	283,0	-	4	-3,4	52,3	44,8	12,0	50,1