Методы решения задач математического моделирования на примере задач

СОДЕРЖАНИЕ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Различные технико–экономические и экономические производственные задачи, начиная от оптимальной загрузки станка и раскройки стального листа или полотна ткани до анализа межотраслевого баланса и оценки темпов роста экономики страны в целом, приводят к необходимости решения тех или иных задач линейного программирования.

На сегодняшний день это является важным инструментом экономического анализа: позволяет получить четкое представление о состоянии предприятия, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи. Таким образом, экономико-математическое моделирование работы предприятия, фирмы, основанное на анализе его деятельности, должно обогащать этот анализ результатами и выводами, полученными после решения соответствующих задач.

Целью данной контрольной работы является изучение методов решения задач математического моделирования на примере задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

ЗАДАЧА 1.

 

Швейной фабрике запланирован выпуск трех моделей пальто. Данные о трудоемкости, расходе ткани и прибыли представлены в таблице 1:

Таблица 1

Модель	Прибыль на ед. продукции, руб.	Трудоемкость на ед. продукции, час	Расход ткани на ед. продукции, кв.м.
I	13,9	3,94	2,6
II	12,5	2,48	3,1
III	15,2	2,95	3,2

 

Показатели располагаемого фонда времени запаса ткани и объем выпуска пальто модели I в таблице 2:

Таблица 2

Вариант/показатель	4
Располагаемый фонд рабочего времени	20300
Располагаемый запас ткани, кв.м.	17600
Выпуск пальто модели I (не более), ед.	1000

 

Какое количество изделий каждого вида необходимо выпустить, чтобы получить максимальную прибыль.

 

При решении задачи студент должен выполнить:

1. на основании данных таблицы построить модель задачи линейного программирования;
2. решить задачу графическим или симплексным методом;
3. дать развернутое экономическое истолкование полученного решения.

 

РЕШЕНИЕ:

 

Вид ресурсов	Объем ресурсов	Вид ресурсов
1	2	3	4	5
		А1	А2	А3
Трудоемкость на ед. продукции, час (В1)	20300	3,94	2,48	2,95
Расход ткани на ед. продукции, кв.м. (В2)	17600	2,6	3,1	3,2
Экономический эффект на единицу продукции, руб. (прибыль)		13,9	12,5	15,2

 

 

 

 

МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ:

 

1. Составим экономико – математическую модель задачи:

Обозначим: х1 – количество единиц модели I;

                     х2 – количество единиц модели II;

                     х3 – количество единиц модели III.

3,94 х1 + 2,48 х2 + 2,95 х3 – время затрат на изготовление изделий каждого   вида х1, х2, х3 соответственно (час).

2,6 х1 + 3,1 х2 + 3,2 х3 – расход ткани на изготовление изделий каждого вида х1, х2, х3 соответственно (кв.м).

х1 1000 – выпуск пальто модели I (ед.).

 

2) Потребление ресурсов не должно превышать их запасов, т.е. имеет место система ограничений:

 

*(1)       

*(2) По смыслу задачи х1,х2, х3 0.

Прибыль на единицу продукции составит, (руб.):

*(3) (1) f (х) = -6х1 + 5х2 + 5х3 max

 

 

Данная математическая модель является линейной, т.к. все переменные входят в выражения модели в первой степени, не перемножаются между собой и их нет в знаменателях.

Таким образом, получили экономико-математическую модель задачи.

Теперь составляем такой план выпуска продукции Х=(х1,x2,x3), удовлетворяющий системе ограничений *(1) и условию задачи *(2) при котором экономический эффект (прибыль (f)) *(3) от ее реализации принимает максимальное значение.

 

РЕШЕНИЕ СИМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ:

 

«Симплекс-метод» – это метод последовательного улучшения допустимых базисных  решений (ДБР). Если ЗЛП записана в каноническом виде, то ее можно решить «симплекс-методом», при этом оптимальным решением будет то ДБР, на котором достигается наибольшее значение целевой функции.

1)Приводим задачу к каноническому виду: вводим три дополнительные переменные (х4, х5, х6 0).

 

      

 

2. Cистема имеет базисный вид, если в каждом уравнении системы есть базисные переменные.

            Делаем хi базисной: x2 – в первом уравнении

                                  x5 – во втором уравнении

                                  x6 – в третьем уравнении

 

 

 (2)              

       

 

 

 

        

 

 

 

3. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ:

   Х1 = (0,4,0,0,,7,14) - ДБР

где х4,х5,х6 – любые числа

Базисное решение – это частные решения системы, которые получаются из общего при нулевом значении свободных переменных.

Базисное решение называется допустимым, если хi 0 для всех i=1,2…n.

Зная общее решение, находим базисное:

Х1 = (0; 4,0; 0; 7; 14; ) – все решения допустимы, т.к. 0.

4) Проверяем является ли план Х1 оптимальным, т.е. можно ли увеличить прибыль или нет. Запишем прибыль через новые свободные переменные.

(3) f (х1) =-6* 0 + 5 *4 + 9*0 → max

X1=0, X2=20 – хорошо Х3 – плохо т.к увеличивая значение этих переменных можно увеличить целевую функцию (3) следовательно решение Х1 не является оптимальным будем искать другое ДБР.

4. Делаем х2 базисной в уравнении 1. Помним, что х5, х6=0

F= -6x1+5*(4+2x1-x3-x4)+5x3

F = -6x1+20+10x1-5x3-5x4+5x3

F = 4x1+20-5x3-5x4+5x3

F =  4x1+20-5x4

 

а х2 = 4+2х1 ≥ 0        х1 ≥ -2 б х5 = 7-5х1 ≥ 0         х1 ≤ в х6 = 14 ≥ 0             х1 ≥ 0

 

0 ≤ x1≤ 1.4 – наибольшее из возможных полученных из б

Х1 =

Х1 = 0,4х4+1,4

 

6) Х2 = (1,4,6,8,0,0,0,14) – все решения допустимы, т.к. 0.

7) Проверяем является ли план Х2 оптимальным, т.е. можно ли увеличить прибыль или нет. Запишем прибыль через новые свободные переменные.

f (х2) =4х1+20-5х4

F = 4*(0,4x4+1,4)+20-5x4

F = 1,6x4+5.6+20-5x4

F = 25,6-3,4x4

F max =25,6

X4 = 0 – прибыль не уменьшиться – хорошо!

 

  ВЫВОД: План Х2 является оптимальным. Максимальная прибыль (f(max))  равна 25,6 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 2.

 

Используя исходные данные таблицы 1, необходимо:

1. рассчитать коэффициент парной корреляции и проверить его значимость по t-критерию Стъюдента;
2. построить уравнение парной регрессии.
3. рассчитать коэффициент эластичности и детерминации.

 

                                                                                             Таблица 1

Х	71	76	77	200	89	185	63	118	97	250
Y	43	385	378	205	200	95	400	440	210	220

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя данные таблицы 1, построим модель регрессии вида (линейная модель). Парная – для двух переменных.

 

 

В нашем случае получим парную модель регрессии:

       

 ' (1)

где у - (результат) средняя ожидаемая цена автомобиля (тыс. руб.),

х — (фактор} пробег (тыс. км.).

1) Смысл параметров уравнения:

b0 — 339,15 — средняя цена автомобиля с пробегом х-, = 0 тыс. км.;

b1 =-0,6652- коэффициент регрессии (коэффициент при х) говорит о том,

что за счет увеличения пробега на 1 тыс. км цена автомобиля уменьшается в среднем на  0,6652 тыс. руб.

 

2) R2  =0,102- -коэффициент детерминации говорит о том, что в нашей модели цена на автомобиль на 10,2%  (0,102*100%) зависит от пробега и на 89,8% (100%-10,2%) зависит от факторов, не   включенных в модель (цена также  зависит  от  срока эксплуатации,  от  комплектации  автомобиля,  от характера продавца и от многих других факторов).

3) Находим выборочный коэффициент корреляции

  r€[-1;1]

По    таблице    2    определяем    тесноту    линейной    связи:    г=0,32,

Следовательно, в выборке   высокая   линейная   связь.  После теоретической  части см. продолжение решения задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретическая часть

 

Выборочный коэффициент корреляции (ВКК) является показателем тесноты линейной свази между наблюдаемыми значениями Y и X ,

Две корреляционные зависимости переменной Y от X. приведены на рис. 3 и рис. 4. На рис 4 зависимость между переменными менее тесная, чем на рис. 3 (так как на рис. 4 точки корреляционного поля дальше отстоят от линии регрессии). В этом случае |r1|> |r2|. Чем ближе ВКК к единице, тем теснее связь

 

 

 

  

                     Рис. 3. Поле корреляции (ВКК= r1>r2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                     Рис. 4. Поле корреляции (ВКК= r2)

                        Для характеристики силы связи  используют шкалу Чеддока (см. Таблицу 2).

Таблица 2

Значение ВКК	Характеристика силы связи в выборке
r = 0	Отсутствует линейная связь в выборке
0<|r|≤0,1	Очень слабая линейная связь в выборке
0,1<|r|≤0,3	Слабая линейная связь в выборке
0,3<|r|≤0,5	Умеренная линейная связь в выборке
0,5<|r|≤0,7	Заметная линейная связь в выборке
0,7<|r|≤0,9	Высокая линейная связь в выборке
0,9<|r|≤0,999…	Весьма высокая линейная связь в выборке
r = 1	Функциональная линейная связь в выборке (т.е. все точки расположены на линии регрессии)

                    Пусть P – коэффициент корреляции генеральной совокупности (ГКК), тогда r является оценкой (приближением для P