Модели выбора

     Глава 3. Принцип Кондрасе. 

     В 1996 г. перед первым туром президентских  выборов в России по московскому  радио передавали выступление избирателя, недовольного системой голосования. Он предлагал разрешить каждому избирателю не только голосовать за одного кандидата, но и упорядочивать всех кандидатов по своему предпочтению от лучшего к худшему. Только после этого, утверждал выступавший, будет ясно истинное отношение населения России к кандидатам в президенты.

     Интересно, что большой интерес к разным системам голосования наблюдался примерно за 200 лет до этого во Франции. При этом ситуации в двух странах были близкими: и тут и там происходил переход от тоталитаризма к новой системе, позволяющей каждому избирателю голосовать свободно и тайно.

     Одним из первых, кто заинтересовался системами  голосования, был французский ученый маркиз де Кондорсе (1743— 1794). Он сформулировал принцип или критерий, позволяющий определить победителя в демократических выборах. Принцип де Кондорсе состоит в следующем: кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах.

     Определение: Для заданного профиля предпочтений победителем по Кондрасе называется кандидат a (с необходимостью единственный), который побеждает любого другого кандидата при парном сравнении по правилу большинства для всякого b≠a выборщиков, считающих a лучше b, больше, чем тех, кто считает , что b лучше a. Состоятельное по Кондрасе правило выбирает победителя по Кондрасе, если такой существует.

     Каждый  из голосующих упорядочивал кандидатов по степени своего желания видеть его победителем. Согласно де Кондорсе, справедливое определение победителя возможно путем попарного сравнения кандидатов по числу голосов, поданных за них. Принцип де Кондорсе предлагался как рациональный и демократический. Однако вскоре маркиз де Кондорсе столкнулся с парадоксом, получившим впоследствии его имя.  

Парадокс  Кондорсе

Таблица 1.2. парадокс Кондорсе 

Число голосующих	Предпочтения голосующих
A	x	y	Z
B	Y	z	x
C	z	x	y

 
 

     В табл. 1.2 приведены трое голосующих А, В, С со своими предпочтениями в отношении вариантов выбора х, у, z.

     При последовательном голосовании вариантов  по парам результаты голосования  по принципу большинства будут следующими:

     1. Голосуются х и у: выбирается вариант х, так как за него выступает большинство (А и С ).

     2. Голосуются у и z: выбирается вариант у, так как за него выступает большинство (А и В ).

     3. Голосуются z и x: выбирается вариант z, так как за него выступает большинство (B и С).

     Результаты  голосования (результаты коллективного  выбора) являются непоследовательными  и противоречивыми. Рациональность и транзитивность коллективного  выбора предполагают выбор варианта х в сравнении с вариантом z. Если бы А был диктатором, то это  бы и случилось. Но в условиях демократического выбора результат выборов непоследователен.  

     Вместе  с тем голосование по принципу простого большинства не всегда ведет  к парадоксу Кондорсе.  

3.1 Практический пример  метода Кондрасе 

     Рассмотрим  пример голосования в собрании представителей из 60 чел. Пусть на голосование поставлены три кандидата: А, В и С, и голоса распределились, как в табл. 1.2.2.

     Сравним предпочтения в парах кандидатов. Берем А и С: тогда А предпочитают 23+2=25; С по сравнению с А предпочитают: 17+10+8=35. Следовательно, С предпочтительнее А (С > А) по воле большинства.

Таблица 1.2.2 Распределение голосов (парадокс Кондорсе)

Число голосующих	Предпочтения
23	A>B>C
17	B>C>A
2	B>A>C
10	C>A>B
8	C>B>A

  

 

     Сравнивая попарно аналогичным образом  А и В, В и С, получаем: В > С (42 против 18), С > А (35 против 25) и А > В (33 против 27). Следовательно, мы пришли к противоречию, к нетранзитивному отношению А > В > С > А.

     Столкнувшись  с этим парадоксом, Кондорсе выбрал наименьшее зло, а именно то мнение, которое поддерживается большинством голосов (избранным следует считать А).  
 

     Глава 4. Метод Борда. 

     Определение правила Борда: Каждый выборщик объявляет свои предпочтения , ранжируя p кандидатов от лучшего к худшему (безразличие запрещается). Кандидат не получает очков за последнее место, получает одно очко за предпоследнее и так далее, получает p - 1 очков за первое место. Побеждает кандидат с наибольшей суммой очков. Он называется победителем по Борда.

     Согласно  этому методу результаты голосования выражаются в виде числа баллов, набранных каждым из кандидатов. Пусть число кандидатов равно п. Тогда за первое место присуждается п баллов, за второе — n —1, за последнее — один балл.

     Применим  метод Борда к приведенному выше примеру (см. табл. 1.1). Подсчитаем число баллов для каждого из кандидатов:

     A:23x3 + 19xl + 16xl + 2x2 = 108;

     B:23xl + 19x3 + 16x2 + 2xl = 114;

     С:23х2 + 19х2 + 16х2 + 2хЗ = 138.

     В соответствии с методом Борда  мы должны объявить победителем кандидата С.

     Однако  с методом Борда, как и с  принципом Кондорсе, возникают проблемы. Предположим, что результаты голосования в выборном органе представлены табл. 1.3. Подсчитав баллы в соответствии с методом Борда, получим: А — 124, В — 103, С — 137. В соответствии с методом Борда победителем следует объявить кандидата С. Однако в данном случае явным победителем является кандидат А, набравший абсолютное большинство голосов: 31 из 60.  
 
 
 
 
 
 

Таблица 1.3 Распределение голосов (метод Борда)

Число голосующих	Предпочтения
31	A>C>B
12	B>C>A
17	C>B>A
2	C>A>B

 

     Приведенные примеры позволяют понять, что  парадоксы при голосовании не возникают лишь в случае, когда  есть два кандидата и победитель определяется по принципу абсолютного  большинства голосов. Однако такой  случай нетипичен для большинства  выборов в демократических странах. Обычно число кандидатов больше, чем два, и редки случаи, когда кто-то из них сразу же получает поддержку абсолютного большинства избирателей.

     Интересно, что парадоксы голосования сохраняются  и при введении двух туров и  условии, что во второй тур выходят  два кандидата, набравшие большинство  голосов. Обратимся к табл. 11.1, составленной Кондорсе. В соответствии с предпочтениями во второй тур выходят А (23 голоса) и В (19 голосов), после чего побеждает А. Однако при небольшом усилении первоначальной позиции А предпочтения двух избирателей (3-я строка) выглядят как А> В> С, во второй тур выходят А (25 голосов) и С (20 голосов), после чего побеждает С. Ясно, что такой результат голосования противоречит здравому смыслу.  

     Глава 5. Теорема Эрроу.

           Пусть имеются конечные множества, E («избиратели», «электорат», «эксперты») и C («кандидаты», «альтернативы»). Каждый из избирателей имеет относительно любого из кандидатов определённое мнение, выражаемое в предпочтениях одних кандидатов по сравнению с другими, т. е. избиратели ранжируют (упорядочивают) множество альтернатив C — создают свой профиль предпочтений. Отношение предпочтения избирателем e кандидата с₁ по сравнению с кандидатом c₂ запишем в виде с₁ >_e с₂, что можно читать: «c₁ лучше c₂», или «c₁ предпочтительнее c₂», или «c₁ выше c₂» (с точки зрения e). Очевидно, что определённое нами отношение препочтения обладает свойством транзитивности: ((a > b) & (b > c)) ⇒ a > c.

           Задача заключается в том, чтобы по заданным индивидуальным профилям предпочтений для каждого избирателя построить профиль общественного предпочтения, т. е. определить ранжировку кандидатов, «справедливую» для всего множества избирателей. Например, пусть из кандидатов C = {Иванов, Петров, Сидоров} избиратели E = {1, 2, 3} выбирают лучшего и профили их предпочтений таковы:

Иванов	>1	Петров	>1	Сидоров
Петров	>2	Сидоров	>2	Иванов
Петров	>3	Сидоров	>3	Иванов

          Тогда профиль общественного предпочтения (итоговая ранжировка множества кандидатов C), определённый по большинству голосов: Петров >_E Сидоров >_E Иванов.

          Сразу заметим, что даже для таких простых случаев, когда выбирают из трёх кандидатов три избирателя простым большинством голосов, могут возникнуть проблемы. Рассмотрим, к примеру, такую ранжировку кандидатов:

Иванов	>1	Петров	>1	Сидоров
Петров	>2	Сидоров	>2	Иванов
Сидоров	>3	Иванов	>3	Петров

тогда, большинством в два голоса против одного, имеем  Петров >_E Сидоров,   Сидоров >_E Иванов,   Иванов >_E Петров,   т. е. получаются противоречащие друг другу условия и профиль общественного предпочтения в этом случае не существует. Рассмотренный пример — простейшая иллюстрация парадокса Кондорсе (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet), открытого в 1785 г.

          Все известные правила «демократического» голосования имеют существенные недостатки. В качестве иллюстрации приведём два простых примера. Наиболее распостранённое правило простого большинства голосов, когда побеждает тот кандидат, который набрал наибольшее количество голосов. Тогда в ситуации, когда кандидат Иванов получил 40% голосов, а Петров и Сидоров — по 30%, победит Иванов, несмотря на то, что большинство избирателей в 60% высказалось против него и, быть может, от всей души ненавидят этого кандидата. Другое, также очень распостранённое, правило голосования в два тура: если при первом голосовании никто из кандидатов не набрал более 50% голосов, то два претендента, получившие максимальное число голосов, проходят во второй тур голосования, где победитель определяется по правилу простого большинства. Рассмотрим случай, когда кандидаты в первом туре получили ранжировку, но при этом вместо одного избирателя голосуют их коалиции, имеющие в своих составах 1-я — 40%, 2-я — 29,9% и 3-я — 30,1% избирателей. Тогда во второй тур пройдут Иванов и Сидоров, причём победит последний, собрав 60% голосов (считаем, что предпочтения избирателей не меняются за всё время выборов и подсчёт голосов абсолютно честный). Однако, если исключить из списка кандидатов Иванов, вроде бы, не имеющего шансов на победу, то выиграет Петров. Ясно, что это открывает большие возможности для манипуляций, даже при самом честном подсчёте голосов избирателей.