Моделирование и построение социально-экономических профилей регионов Кыргызстана методами экономической кибернетики

Рассмотрим класс задач, связанных с теорией оптимизации. Эта научная дисциплина, как известно, занимается так называемыми экстремальными задачами, суть которых состоит в отыскании максимального или минимального значения заданной функции (целевой функции) на заданном множестве значений ее аргументов (множества допустимых решений). Если множество допустимых решений задается (описывается) с помощью некоторых уравнений или неравенств, называемых ограничениями задачи, то экстремальные задачи называются задачами математического программирования. В зависимости от характера этих ограничений и целевой функции возникают задачи линейного программирования, нелинейного программирования, динамического программирования и некоторые их разновидности. В данной работе мы будем ограничиваться сначала задачами и методами линейного программирования.

 

Оптимизационные модели для экономики.  

Рассмотрим новую постановку задачи. Пусть некоторый экономический  регион КР производит n видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Тогда можно  составить следующую математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта.

Обозначим известные величины:

c _i — спрос населения на i-й продукт (i=1,...,n);

a _ij — количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы j -го продукта по данной технологии ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

Обозначим неизвестные величины:

х _i — объем выпуска i-го продукта (i=1,...,n);

Совокупность с = ( c₁ ,...,c_n ) назовем вектором спроса, числа a_ij — технологическими коэффициентами, а совокупность х = ( х₁ ,...,х_n ) - вектором выпуска. 

По условию  задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с ) и на воспроизводство (вектор х - с ). Вычислим ту часть вектора х которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства х_j количества j-го товара идет a_ij · х_j количества i-го товара. Тогда сумма a_i1 · х₁ +...+ a_in · х_n показывает ту величину i-го товара, которая нужна для всего выпуска х =( х₁ ,...,х_n ).

Следовательно, должно выполняться равенство:

х_i - с_i = a_i1 · х₁ +...+ a_in · х_n

 
Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой  модели:

 
х₁ - с₁ = a₁₁ · х₁ +...+ a_1n · х_n

х₂ - с₂ = a₂₁ · х₂ +...+ a_2n · х_n

 
....................................................  
х_n - с_n = a_n1 · х_n +...+ a_nn · х_n

 

Решая эту систему  из n линейных уравнений относительно х₁ ,...,х_n и найдем требуемый вектор выпуска.

Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

 

 
Квадратная (nxn) - матрица А будет технологической матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так:

 

Х – с = Ах

 
Требуя для построенной модели условия экстремум целевой функции, мы получим оптимизационную модель для заданного региона.

 

Рассмотрим следующую  оптимизационную задачу. Известно, что рынок труда, растущая безработица, сокращение занятости, вынужденная трудовая миграция, как внутренняя, так и внешняя, представляет собой сложную социально-экономическую проблему для Кыргызстана. Состояние трудовых ресурсов серьезным образом сказывается на социально-экономической системе в целом, на основных макроэкономических показателях регионов и страны. В данной работе предлагается новая постановка задач оптимизации для рынка труда. Таким образом, сформулируем экономическую и математическую постановку оптимизационной задачи.

Рассмотрим следующую задачу: необходимо найти минимальный уровень общей безработицы в Кыргызстане. Сначала формулируется линейная задача безусловной оптимизации, то есть условия ограничения модели отсутствуют. Математическая постановка задачи, как известно, запишется в следующем виде: 

 

(1)

 

Здесь x _j – неизвестная функция общей безработицы, а C _j – ежемесячно выплачиваемое пособие по безработице, причем, C = const.  Экономический смысл данной оптимизационной модели заключается в том, что произведение количества безработных на размер пособия даст нам требуемый минимум бюджетных расходов в социальной сфере. Для решения данной задачи нам необходимо знать аналитический вид функции общей безработицы x _j . Для этого на основе регрессионного анализа и временных рядов мы интерполируем искомую функцию безработицы на основе статистических данных по годам, полугодиям, кварталам или месяцам.

 

В модели (1) можно выбрать  в качестве целевой функции общую  занятость и искать не минимум, а максимум функции. Тогда получим экстремальную задачу на поиск максимума занятости, как целевой функции.

Следующий класс оптимизационных  моделей связан с условной оптимизацией.

Рассмотрим задачу условной оптимизации для рынка труда. В качестве целевой функции выбираем общую занятость x _j . Предлагается следующая оптимизационная модель классического вида:

 

(2)

 

                        

                                             (3)

      

                                   

                                                              (4)

 

Здесь символ - обозначает отношение или =. Теперь рассмотрим условие (3). Здесь матрица a _{i, j} – представляет собой матрицу технологических коэффициентов и отражает способ техники производства. Вектор-столбец b _i - представляет собой объем конечной продукции по всем основным отраслям экономики.

Экономический смысл  условия (3) заключается в следующем: произведение количества занятых по отраслям x _j на матрицу технологических коэффициентов a _{i, j} не должно превышать объем конечной продукции по отраслям b _i .

Условие (3) представляет собой необходимое количество занятых  работников в основных отраслях экономики при заданном способе производства и заданном объеме конечной продукции на заданный период времени. Условие (4) означает, что занятость неотрицательна. 

 

Рассмотрим теперь постановку вероятностных оптимизационных  моделей, где в качестве целевой функции выступает общая или женская безработица.

Оптимизационная регрессионная  модель имеет следующий вид:

найти:

 

y _{j k}  = a _{0 j}  + ∑ a _{i j} · x _{i k}  → m i n

(5)

 

при следующих ограничениях:

 

c⁰_{i k}   ≤   x _{i k}   ≤ c¹_{i k}

 

b⁰_{j k}   ≤   a _{0 j}  + ∑ a _{i j} · x _{i k}  ≤ b¹_{j k}

(6)

 

В данной модели используются регрессионные уравнения относительно целевой функции, условия ограничения также образуются такими уравнениями.

Здесь приняты следующие  обозначения:

k – индекс каждого  из регионов или областей Кыргызстана, т.е. рассматриваются все области и г. Бишкек (административно Кыргызстан состоит из 7 областей и столицы, то есть к = 1,2…8);

i – индекс основных  факторов, влияющих на общую или женскую безработицу (i = 1,2…m);

j – индекс результирующих  показателей уровня общей или женской безработицы в отдельности (j = 1,2…n, при этом n < m);

x _{i k} – значение фактора i в регионе k (независимые переменные);

y _{j k} – значение результирующего показателя общей или женской безработицы по каждому региону k (зависимые переменные);

c⁰_{i k}  - минимально возможное значение фактора i в регионе k ;

c¹_{i k} - максимально возможное значение фактора i в регионе k ;

b⁰_{j k} - минимально возможное значение результирующего показателя j в регионе k ;

b¹_{j k} - максимально возможное значение результирующего показателя j в регионе k ;

a _{0 j} - свободный член j –го уравнения регрессии;

a _{i j} - коэффициент при i – той независимой переменной в j – том уравнении регрессии.

Предлагаемые модели позволяют проводить количественный и качественный анализ занятости и безработицы на основе методов линейного программирования и регрессионного анализа.

 

Модель Марковица  для инвестиций.

 Одной из важных задач для каждого региона КР является привлечение инвестиции в экономику, создание и поддержание благоприятного инвестиционного климата, определение всевозможных рисков для инвесторов и их учет. Важнейшей сферой для привлечения инвестиций является, как известно, рынок ценных бумаг. В этой связи сформулируем задачу и математическую модель для инвестиций и рынка ценных бумаг.

Потенциальным инвесторам требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый сом, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для потенциальных инвесторов желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один сом вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

Обозначим известные параметры задачи:

n — число  разновидностей ценных бумаг; 

а_j — фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги; 
_j — ожидаемая прибыль от j-го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины:

y_j — средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.  
По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как

 

Для упрощения модели введем новые величины:

 

 
Таким образом, х_i — это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида j. Ясно, что

 

 

Из условия задачи видно, что цель наших потенциальных инвесторов — достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. В соответствии с этим получается, что содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией.

 

 

прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М — обозначение математического ожидания.  Математическая модель исходной задачи имеет вид:

 

min                                  

 

 при следующих ограничениях модели:

 

 

Таким образом, мы получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг. Данная модель представляет собой один из примеров оптимизационной модели стохастического типа с элементами случайности.

 

 

 

 

Модель экономического развития

Одной из важнейших функций  экономико-математических моделей  является анализ и планирование стратегий развития экономических регионов, а также на микроуровне различных экономических агентов, в качестве которых могут выступать фирмы, индивидуальные производители и т.п.

При этом не следует забывать о современном состоянии мировой  экономической теории, которая свидетельствует о проникновении задач, теории и методов микроэкономики в макроэкономику и наоборот.

Подобные задачи особенно сложны, поскольку включает в себя определенные предположения о будущей экономической обстановке, в которой будет функционировать экономический агент: каковы будут цены на используемые ресурсы, конечный продукт, общая экономическая ситуация и т.д. Следует отметить, что сама политика региона или экономического агента может оказать значительное влияние на упомянутые факторы и затруднить или ускорить развитие региона или данного экономического субъекта.

Кроме того, при разработке плана развития производства приходится искать в первую очередь баланс между сиюминутными требованиями обеспечения максимальной эффективности производства в каждый момент времени и стратегическими целями, требующими непроизводительных в краткосрочном плане инвестиций, отвлечения ресурсов от сиюминутных потребностей, использования дефицитных производственных мощностей для создания определенных заделов, затрат на проработку перспективных технологий и пр.

Рассмотрим теперь задачу построения модели экономического развития региона или экономического агента, при условиях, что содержатся все существенные компоненты описания таких проблем: ограниченность возможностей производителей, полезность, извлекаемую из потребления, динамику мощностей, производства, цен и объемов инвестиций и потребления.