Моделирование и прогнозирование расходов федерального бюджета Российской Федерации

Критерий Холлина

Знаково-ранговый критерий автокорреляции основан на статистике:

где k — коэффициент, зависящий  от объема выборки;

 — медиана выборочного  ряда y₁≤y₂≤…≤y_T;

 Ri— ранг величины z_i= в общем упорядоченном по возрастанию ряду значений

Критерий Олмстеда

Олмстедом  рассмотрена серия критериев  случайности, так же, как и в  случае критерия Рамачандрана-Ранганатана учитывающих длины серий. В критериях Олмстеда рассматриваются экстремальные длины серий одного вида, вероятность появления которых связывается с возможным присутствием тренда в исследуемых рядах. Олмстедом предложено четыре варианта критерия: наибольшая длина l₁ серии, лежащей по какую-либо одну сторону от медианы; наибольшая длина l₂ серии, лежащей по одну (заранее выбранную) сторону от медианы; кратчайшая l₃ из обеих наибольших длин серий, лежащих по разные стороны от медианы; кратчайшая l₄ из обеих наибольших длин серий, лежащих по разные стороны от точки раздела, максимизирующей l₄.

Во всех вариантах для заданных l_i (i = 1,2,3,4) на уровне значимости α=0,1 статистикой критерия Олмстеда является наименьший объем выборки T. Гипотеза случайности отклоняется при T< T_α(l_i).

Критерий Бартелса

Пусть R_i—ранг i-го наблюдения в последовательности T наблюдений рассмотрен ранговый критерий случайности ряда y_i, основанный на статистике

При совпадении элементов выборки ранги следует случайным образом распределить среди них. Гипотеза случайности отклоняется на уровне значимости α, если (2-B_α)<В< (B_α+2).

Критические точки В_α определяются по формуле .

Критерий Шахнесси.

Критерий Шахнесси является множественным  аналогом критерия Вальда-Волфовитца. Если в критерии Вальда-Волфовитца рассматривается количество серий элементов двух «сортов», то критерий Шахнесси предполагает анализ серий элементов k «сортов» (k≥2). Это делает его более эффективным, так как позволяет противостоятв большему количеству альтернатив (сдвиг, колебания, изменения в определенной точке).

Статистикой критерия остается, как  и ранее, -общее количество серий элементов. Если количество серий <N_α(Т_i,k), то гипотеза случайности отклоняется с вероятностью α (здесь N_α(Т_i,k)- критические значения. Приняты следующие обозначения:

 Т_i (i = 1,..,k) —количество элементов i-го „сорта",

k — количество «сортов» элементов,  составляющих ряд.

Критерий Фостера-Стюарта.

Каждый  уровень ряда сравнивается со всеми  предшествующимим. При этом определяются вспомогательные характеристики:

 и 

Далее определяем

Критерий, основанный на ранговой корреляции.

 

Для удобства введем обозначения:

 

Воспользовавшись леммой о том, что 

 

Перепишем коэффициент Спирмэна:

 

Результаты проверки гипотезы о  наличии тренда математического ожидания, полученные с использованием различных методов, сведем в таблице 1.

 

Таблица 1 – Проверка гипотезы о постоянстве математического ожидания временного ряда

 

Тест	Наличие тренда
Непараметрические критерии
1. Тест Манна-Уитни	Есть
2. Тест Сиджела-Тьюки	Нет
3. Критерий Вальда-Вольфовица	Есть
4. Критерий серий, основанный на медиане выборке	Есть
5. Критерий Рамачандрана-Ранганатана	Нет
6. Критерий инверсий	Есть
7.Критерий кумулятивной суммы	Есть
8. Критерий Холина	Есть
9. Критерий Олмстеда	Есть
10. Критерий Бартелса	Есть
11. Критерий Шахнесси	Нет
12. Критерий, основанный на ранговой корреляции	Есть
13. Критерий восходящих и нисходящих серий	Есть
14.1 Критерий Фостера-Стюарта (для мат. ожидания)	Нет
14.2 Критерий Фостера-Стюарта (для дисперсии)	Есть

 

Таким образом, большинство критериев подтвердили наличие в ряду тренда математического ожидания.

1.3 Тестирование  сезонной составляющей

 

Перед тем, как анализировать периодические  колебания, проверим гипотезу об их существовании, используя критерий пиков и ям.

В точке k временной ряд имеет пик, если одновременно выполняются условия , и имеет яму, если ,

Выдвигаются гипотезы:

Н₀: случайный характер временного ряда, нет сезонности

Н₁: сезонность есть

Для трех последовательных значений определяем величину

Тогда число экстремальных точек 

Для проверки Н₀ используется статистика:

В случае справедливости нулевой гипотезы статистика t распределена нормально (N(0,1)).

В имеющемся временном ряду, характеризующем  процент безработицы, число экстремальных  точек равно е=35.

t_набл=-10,74;  t_кр=-1,96;

Так как t_набл<t_кр, то Н₀ отвергается, сезонность есть.

Дисперсионный критерий:

  Выдвигается гипотеза об  отсутствии сезонности:

При этом предполагается, что временной ряд представлен  в виде аддитивной модели 1б. 

Для проверки основной гипотезы дисперсионного анализа  вычислим следующие статистики:

- групповые средние (по сезонам), .

- общая средняя ВР,  где  .

- факторная сумма квадратов отклонений;

- остаточная сумма квадратов отклонений;

- общая сумма квадратов отклонений.

Несмещенные оценки общей, факторной и остаточной дисперсий имеют вид:

; ; .

Если влияние  фактора (сезонности) отсутствует, то и можно рассматривать как независимые оценки дисперсии всего ВР. Наоборот, если сезонные колебания оказывает существенное влияние, то отношение / будет расти и превзойдет некоторый критический предел. Таким образом, первоначальную гипотезу Н0 можно заменить:

Н0: = .

Н1: .

Для проверки нулевой гипотезы рассмотрим статистику:

,

Статистика F распределена по закону Фишера-Снедекора с  и степенями свободы. Если , то Н0 отвергается и с вероятностью ошибки можно утверждать: есть влияние сезонности.

Так как F_набл>F_кр, гипотеза об отсутствии сезонности отвергается.

Таким образом, по результатам  проверки гипотез, а также с учетом визуального анализа делаем вывод о наличии в ряду сезонной компоненты.

1.4 Исследование типа  тренда

Многие временные ряды демонстрируют достаточно устойчивое повышение или понижение своего уровня во времени, то есть характеризуются наличием тренда, являются нестационарными. Однако характер такой нестационарности не всегда одинаков. Существует два типа нестационарных временных рядов:

1. Процесс TS:

                                                                      (1)

2. Процесс DS:

           (2)

Модель, содержащая стохастический и  детерминированный тренд:

                                                                               (3)

Модели DS более характерны для финансовых рядов, а TS – для макроэкономических. Процессы TS и DS различит между собой путем взятия разностей либо выделения тренда невозможно. Для проверки типа процесса используются специальные критерии проверки единичного корня.

Критерий Дикки–Фулера (DF)

 Рассматривается три различных  уравнения:

Для случайного блуждания

                                                                                        (4)

Для случайного блуждания  с дрейфом:

                                                                                  (5)

Для случайного блуждания с дрейфом  и присутствием детерминированного тренда:

                                                                           (6)

В каждом из трех случаев, если , то ряд характеризуется единичным корнем, то есть .

Если  , значит - ряд DS

Расширенный критерий Дикки–Фулера (ADF)

                                                                             (4’)

Для случайного блуждания  с дрейфом:

                                                                       (5’)

Для случайного блуждания  с дрейфом и присутствием детерминированного тренда:

.                                                             (6’)

- порядок авторегрессии. 

,

где  - коэффициент детерминации для модели                           (7)

- коэффициент детерминации для  модели                        (8)

m – число ограничений;

T – объем выборки;

p – длина лага;

k – число параметров, оцениваемых в общей модели.

Если  , то нулевая гипотеза отвергается, то ряд не является рядом DS.

Если  , то ряд DS.

Критерий Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина (KPSS).

.

Для проверки данного  критерия используется следующая статистика:

,

где остаточная дисперсия;

значения спектра на нулевой  частоте.

Если  , то Н₀ отвергается, ряд типа DS.

Выясним, к какому классу относится  ряд «Расходы федерального бюджета». Результаты проверки  критериев представлены в таблице 3.

 

Таблица 2-Результаты определения типа ряда «Расходы Федерального бюджета»

 

Критерий	t	Критические значения			Результат
		1%	5%	10%
ADF	-0,422	-2,66	-1,95	-1,6	H0  отвергается, ряд типа TS
KPSS	1,279	0,216	0,146	0,119	H0  отвергается, ряд типа DS
DF-GLS	0,28	-3,58	-3,03	-2,74	H0  отвергается, ряд типа TS

 

На основании полученных результатов  можно сделать вывод о том, что рассматриваемый ряд расходов федерального бюджета принадлежит к классу TS, то есть присутствует тренд математического ожидания.

2 Прогнозирование ряда динамики расходов федерального бюджета

 

2.1 Моделирование сезонности  с помощью фиктивных переменных

 

Применим данный метод, беря в качестве трендовой составляющей скорректированный на кризис  линейный тренд, построим аддитивную модель : и мультипликативную: .

Получим следующую аддитивную модель: (4.1.1) и следующую мультипликативную модель: (4.1.2), где представлены в таблице 2.

 

Таблица 3 – сезонные индексы

Месяц	Сезонный индекс
	Аддитивная модель	Мультипликативная модель
Январь	-95,04	0,80716
Февраль	-116,26	0,87078
Март	44,65	1,04357
Апрель	47,39	1,05295
Май	-89,62	0,92243
Июнь	105,39	1,12572
Июль	30,45	1,054
Август	-48,02	0,97226
Сентябрь	26,46	1,06353
Октябрь	-49,28	0,93591
Ноябрь	138,24	1,14307
Декабрь	5,64	1,0086

 

Построим диаграммы (рисунки 7,8).  По построенным диаграммам  можно сделать вывод о наличии сезонности. При этом очевидно, что сезонная составляющая демонстрирует сильный скачок в декабре, что обусловлено повышением расходов федерального бюджета  в гонце года.  С января по март сезонная составляющая демонстрирует обратный эффект, т.е. снижается уровень расходов федерального бюджета. Подобная ситуация характерная для государственного бюджета.

Построим прогнозы на 2012 г., используя сезонную декомпозицию  в рамках аддитивной и мультипликативной моделей соответственно (рисунки 9,10).

Рисунок 7 - Диаграмма индексов сезонности в аддитивной модели