Нелинейная регрессия и ее виды

Выравнивание по прямой (определение линии тренда) имеет выражение: y_t=a₀+a₁t, где t—условное обозначение времени; а₀ и a₁—параметры искомой прямой. Параметры прямой находятся из решения системы уравнений:  

   

Система уравнений упрощается, если значения t подобрать так, чтобы  их сумма равнялась Σt = 0, т. е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Если до переноса точки отсчета t = 1, 2, 3, 4…, то после переноса:

• если число уровней ряда нечетное   t = -4 -3 -2 -1  0 +1 +2 +3 +4
• если число уровней ряда четное        t = -7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7

 

    

Таким образом, ∑t в нечетной степени всегда будет равна нулю.

Аналогично находятся параметры параболы 2-го порядка  из решения системы уравнений:

Выравнивание по среднему абсолютному приросту  или среднему коэффициенту роста:

• Δ-средний абсолютный прирост; 
• К-средний коэффициент роста;
• У₀-начальный уровень ряда;
• У_n-конечный уровень  ряда;
• t-порядковый номер уровня, начиная с нуля. 

Построив уравнение  регрессии, проводят оценку его надежности. Значимость выбранного уравнения регрессии, параметров уравнения и коэффициента корреляции  следует оценить, применив критические методы оценки: 

F-критерий Фишера, t–критерий Стьюдента, при этом, расчетные значения критериев сравниваются с табличными (критическими) при заданном уровне значимости и числе степеней свободы. F_факт > F_теор - уравнение регрессии адекватно.

n – число наблюдений (уровней ряда), m – число параметров  уравнения (модели) регрессии.

Проверка адекватности уравнения регрессии ( качества модели в целом) осуществляется с помощью средней ошибки аппроксимации, величина которой  не должна превышать 10-12% (рекомендовано).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Парная регрессия и корреляция в экономических  исследованиях.

Оценка параметров уравнения  парной регрессии и количества экономической  модели.

Определение формы связи, оценка параметров уравнений для  различной формы связи, тесноты связи, качества уравнений по средней ошибке аппроксимации, статистической надёжности уравнения с помощью F – критерии Фишера, выбор уравнения наиболее адекватно отражающего существующую связь, прогнозирование.

Методика выполнения:

1. Для построения экономической модели используются данные по субъектам Приволжского федерального округа об уровне денежных доходов и оборотов розничной торговли 2000г и 2001г соответственно.
2. Для определения формы связи строится корреляционное поле, где по оси абцисс в определённом масштабе откладываются значения факторного признака, а по оси ординат – результативного.
3. Определение параметров уравнений производится по 3-м формам связи: линейной, степенной и равносторонней гиперболы
0. Для расчёта параметров «а» и «в» линейной регрессии ух = а + вх необходимо решить систему нормальных уравнений относительно «а» и «в»

 

 

По исходным данным определяем

Параметры «а» и «в»  рассчитываем по формулам:

в = ух – у х ;                       а = у – вх;              

           

       = х  – х  = 231,31-195,44 = 35,87

       = у – у = 319,27-291,04 = 28,23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1 – Расчёт показателей  для оценки параметров модели парной линейной регрессии

№ субъекта федер-ии	y	x	yx	x	y	yx	/yi – yx/	/yi – yx/ yi
1	20.8	16.0	332.8	256	432,64	18,66	2,14	0,102
2	11.6	8.3	96.28	68,89	134,56	12,577	0,97	0,083
3	13.1	8.8	115.28	77,44	171,61	12,972	0,13	0,009
4	21.3	16.2	345.06	262,44	453,69	18,818	2,48	0,116
5	16.9	11.7	197.73	136,89	285,61	15,263	1,64	0,097
6	12.1	9.9	119.79	98,01	146,41	13,841	1,74	0,143
7	11.1	10.7	118.77	114,49	123,21	14,473	3,37	0,303
8	18.2	15.9	289.38	252,81	331,24	18,581	0,38	0,020
9	16.7	9.9	165.33	98,01	278,89	13,841	2,86	0,171
10	11.9	11.3	134.47	127,69	141,61	14,947	3,05	0,256
11	25.7	18.5	475.45	342,25	660,49	20,635	5,06	0,197
12	29.0	32.7	948.3	1069,29	841,00	31,853	2,85	0,098
13	16.6	13.7	227,42	187,69	275,56	16,843	0,24	0,014
14	13.9	12.1	168,19	146,41	193,21	15,579	1,68	0,120
Итого	238,9	195,7	3734,25	3238,31	4469,73	238,883	28,59	1,729
среднее	17,06	13,98	266,73	231,31	319,27	X	X	0,123
	28,23	35.87	X	X	X	X	X	X
	5,313	5.99	X	X	X	X	X	X

 

 3.2. Уравнение равносторонней гиперболы у = а + в*1/х мианизируется при замене: Z = 1/х, тогда у = а + в*z. Для расчётов используются данные таблицы 2. Значение для параметров регрессии «а» и «в» определяется аналогично 3.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2. – Расчёт показателей  для оценки параметров модели равносторонней гиперболы

 

 

№	Y	Z	YZ	Z	Y	yz	/yi – yz/	(yi – yz)	/yi – yz/ yi
1	20.8	0.063	1.310	0,00396	432,64	19,44	1,36	1.849	0,088
2	11.6	0.120	1.392	0,0144	134,56	9,76	1,84	3.386	0,292
3	13.1	0.114	1,493	0,01299	171,61	10,78	2,32	5.382	0,411
4	21.3	0.062	1,320	0,00384	453,69	19,61	1,69	2.856	0,134
5	16.9	0.085	1,436	0,00722	285,61	15,70	1,2	1.44	0,085
6	12.1	0.101	1,222	0,01020	146,41	12,98	0,88	0.774	0,064
7	11.1	0.093	1,032	0,00865	123,21	14,34	3,24	10,498	0,946
8	18.2	0.062	1,128	0,00384	331,24	19,61	1,41	1,988	0,109
9	16.7	0.059	0,985	0,00348	278,89	20,12	3,42	11,696	0,700
10	11.9	0.084	0,999	0,00706	141,61	15,87	3,97	15,761	1,324
11	25.7	0.054	1,387	0,00292	660,49	20,97	4,73	22,373	0,871
12	29.0	0.030	0,871	0,0009	841,00	25,04	3,96	15,682	0,541
13	16.6	0.073	1,212	0,00533	275,56	17,74	1,14	1,299	0,078
14	13.9	0.083	1,154	0,00689	193,21	16,04	2,14	4,579	0,329
Итого	238,9	1.083	16,941	0,09141	4469,73	238,0	33,3	99,563	5,972
Среднее	17,06	0.077	1,210	0,00653	319,27	X	X	7,112	0,427
	28,23	0,00061	X	X	X	X	X	X	X
	5,313	0,02469	X	X	X	X	X	X	X

 

 

 

 

 

4. Теснота связи для 1-й формы уравнения определяем по линейному коофициенту парной корреляции

 

 

Для 2-й и 3-й форм модели рассчитываем индекс корреляции:

 

Рху =

 

 

 

 

Коофициент детерминации, объясняющий долю дисперсии, вызванной факторным признаком, для всех случаев можно определить по формуле:

 

 

 

  5. Величина средней ошибки аппроксимации определяется как среднее отклонение расчётных значений от фактического (допустимый предел значений А не более 8-10%)

А = 1/n *

 

Для таб.1: А = 1/14 * 1,729 * 100 = 12,34%

 

Для таб.2: А = 1/14 * 5,972 * 100 = 42,65%

 

6. Fтест – оценивание качества уравнения регрессии состоит в проверке гипотезы «Но» о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого производится сравнение фактического и критического (табличного) значений F – критерий Фишера. Fфакт – определяется из соотношений значений факторной и остаточной дисперсии, рассчитывается на одну степень свободной вариации:

 

Fфакт =  или

 

      Fфакт =  , где

 

n – число единичной совокупности,

m – число параметров при переменной «х».

 

Fтабл. – это максимальное возможное значение  критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости « 

Уровень значимости «     - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она  верна. Обычно   принимают = 0,05 или 0,01. Если  Fтабл.  Fфакт., то Но – гипотеза о случайной природе оценивает характеристик отклонений и признаётся их статистическая значимость и надёжность. Если F табл.   Fфакт. Гипотеза Но не отклоняется и признаётся статистическим незначимым, надёжность уравнения регрессии.

1) Fфакт. =

     

 

2) Fфакт. =

 

 

        

          7.Сравнивая экономическое содержание моделей, величину показателей тесноты связи, статистическую значимость уравнений регрессий и показателей тесноты связи, размер средней ошибки аппроксимации по различным вариантам выбирают наиболее качественное уравнение регрессии.

 

         8. Прогнозное значение «уn» определяется путём подстановки в уравнение регрессии прогнозного значения «хn» (в данном случае прогнозное значение факторного признака можно определить путём увеличения последнего значения фактора на средней коофициент роста).

Вычислим среднюю стандартную  ошибку прогноза:

myn =

 

 

 

 

Строится  доверительный  интервал:

 

 

 

 

 

 

Вывод: При анализе доходов населения и оборотов в розничной торговле было выявлено 2 связи:

1. парной линейной регрессии:

 ух = 6,02 + 0,79х

2. равносторонней гиперболы:

уz = 30,14 – 169,87z

При оценке параметров данного  уравнения было выявлено, что для  первого уравнения теснота связи выше, чем для второго, а также ошибка аппроксимации ниже, чем для второго уравнения. Следовательно, наиболее качественным является оценка параметров модели, парной линейной регрессии, таким образом при увеличении дохода населения на 1 руб., оборот розничной торговли увеличится на 79 коп.

 

Задача 2. Временные ряды в эконометрических исследованиях

По данным о динамике цен произвести моделирование тенденции временного ряда

20,3

18,8

19,6

20,7

19,6

19,3

18,6

18,2

16,8

16,6

14,3

12,5

 

1.Расчет коэффициентов автокорреляции

 

20,3											0,92
18,8	20,3										0,87
19,6	18,8	20,3									0,84
20,7	19,6	18,8	20,3								0,70
19,6	20,7	19,6	18,8	20,3							0,48
19,3	19,6	20,7	19,6	18,8	20,3						-0,21
18,6	19,3	19,6	20,7	19,6	18,8	20,3					-0,10
18,2	18,6	19,3	19,6	20,7	19,6	18,8	20,3				-0,55
16,8	18,2	18,6	19,3	19,6	20,7	19,6	18,8	20,3			0,53
16,6	16,8	18,2	18,6	19,3	19,6	20,7	19,6	18,8	20,3		1,00
14,3	16,6	16,8	18,2	18,6	19,3	19,6	20,7	19,6	18,8	20,3
12,5	14,3	16,6	16,8	18,2	18,6	19,3	19,6	20,7	19,6	18,8