Нелинейные модели исследований операции и методы их решения

Задача нелинейного программирования (задача НП) в общем виде формулируется так:

Максимизировать ƒ(x1,x2,…,xn) при ограничениях

 

 

                                       ……………………..

                                                      (1.8)

где функции    нелинейные.

          В отличие от задачи ЛП для задач НП нет универсального метода решения.

В задаче ЛП разрешенное большое количество R практически постоянно считается выпуклым с окончательным количеством последних точек. В следствии этого воспользовавшись симплекс-методом и перебрав исключительно последние точки, возможно за окончательное количество шагов отыскать подходящее решение. В задачах НП, напротив, неровность разрешенного многих и конечность количества его последних точек совершенно необязательны. Именно это работает основанием главной проблемы решения задач НП.

Для определения относительного экстремума (другими словами экстремума при лимитированиях) возможно пользоваться способами дифференциального исчисления, как скоро функция ƒ(x1,x2,…,xn) имеет не менее второй производной.

        Решение задач относительной оптимизации методом Лагранжа. Одним из более совместных раскладов к решению задачи поиска экстремума (локального максимума или же минимального количества) функции при наличии связывающих ограничений на ее переменные (либо, как еще заявляют, задачи относительной оптимизации) считается метод Лагранжа. Почти всем читателям он обязан быть известен из курса дифференциального исчисления. Мысль этого метода состоит в сведении задачи поиска относительного экстремума целевой функции ƒ(x1,x2,…,xn).

На обилье возможных D, описываемом системой уравнений

                                                                   (1.9)

к задаче безусловной оптимизации функции 

     (1.10)

где u — вектор добавочных переменных, называемых множителями Лагранжа. Функцию F(х,u), где x , u , называют функцией Лагранжа. [7,125]

Метода Лагранжа состоит из следующих этапов:

1. Составление функции Лагранжа F(х,u). 

2. Нахождение частных производных

                                                                     (1.11)

и                                                                  (1.12)

 

 

 

3.Решение системы уравнений 

                                         (1.13)

относительно переменных x и u.

4. Исследование точек, удовлетворяющих системе уравнений, на максимум (минимальное количество) при помощи необходимого показателя экстремума.

Главное практическое значение метода Лагранжа содержится в том, собственно он разрешает перейти от относительной оптимизации к безусловной и, в соответствии с этим, расширить арсенал легкодоступных средств решения трудности.

При решении точных практических задач обыкновенно употребляются прямые методы, базирующиеся на итеративных действиях вычисления и сопоставления значений оптимизируемых функций.  
1.3 Модели выпуклого программирования

                 Теория нелинейного программирования разработана лишь для одного частного варианта выпуклых целевых функций F(X) и ограничений φ_i (X). 
Под задачей выпуклого программирования понимают задачу вида 
 
                                                                                (1.14)

где и - выпуклые функции. Для данных задач отличительно то, собственно каждый локальный минимальное количество как оказалось масштабным, и все сводится к нахождению данного единственного минимального количества.

                  Для решения задач данного на подобии разработаны множественные численные способы, приспособленные для решения ЭВМ, как правило связанные с понятием градиента целевой функции и главный мыслью про то, собственно функция более резко убывает, в случае если перемещаться в направлении, противоположном градиенту. К ним относятся метод градиентного спуска, метод сопряженных градиентов. Хотя есть и способы, базирующиеся на иных мыслях метод штрафных функций, множественные варианты метода нечаянного поиска.

                     Градиентные методы решения задач безусловной оптимизации. Основное место между прямых способов решения экстремальных задач занимает градиентный метод (поточнее, род градиентных способов) поиска стационарных точек дифференцируемой функции. Напомним, собственно стационарной называется точка, в какой f(x)=0 и которая согласно с требуемым условием оптимальности считается «сомнительной» на присутствие локального экстремума. Следовательно, применяя градиентный способ, обретают большое количество точек локальных максимумов (либо минимумов), между которых ориентируется максимально (или же минимальное количество) масштабный.

                     Мысль этого метода базирована на том, собственно градиент функции показывает направление ее более стремительного возрастания в окрестности той точки, в какой он вычислен. Потому, когда из некой текущей точки х(1) передвигаться в направлении вектора f(x(1)), то функция f будет возрастать, по крайней мере, в некоторой окрестности х(1).

                     Впрочем когда ориентируется направление перемещения, сразу возникает вопрос про то, как далеко идет перемещаться в данном направлении либо, иными словами, встает прoблема выбoра шагa λ в рекуррентнoй формулe:

                                                (1.15)

задающeй последовательнoсть точек, стрeмящихся к точкe максимумa.

В зависимoсти от спосoба ее решeния различaют рaзличные вaрианты градиентногo метoда. Останoвимся на наибoлее извeстных из них.

Метoд наискорейшегo спускa.

Назвaние методa можнo былo бы понимать буквальнo, если бы речь шлa о минимизации целевoй функции. Тем не менее по традиции такoе нaзвание используeтся и при решeнии задaчи на мaксимум.

Пусть f(x)=f(x1,x1,...xn) —дифференцируемaя функция, заданнaя на Rn, а х(q) = (x1(q),x2(q),...,xn(q)) — некоторaя текущaя точкa.

Отсюдa возникaет естественнaя идeя такогo выборa шагa, чтобы движение в указаннoм направлeнии продолжалoсь до тех пор, пoка вoзрастание не прeкратится. Для этого выразим зависимoсть знaчения f(x) от шаговогo мнoжителя λ > 0. пoлагая х = х(q) + λ f(x(q))

                         (1.16)

На практике признакoм достижeния стациoнарной тoчки служит достатoчно малoе изменение кooрдинат точек, рaссматриваемых на последoвательных итерациях. Однoвременно с этим кooрдинаты вектoра Δf(x(q)) должны быть близки к нулю.

Метoд дрoбления шaга

Для нахoждения шaга λ в спoсобе быстрейшего спуска потребуется решить уравнение, которое имеет возможность оказаться довольно трудоемким. В следствии этого нередко ограничиваются «подбором» этого ценности λ, собственно φ(λ) > φ(0). Чтобы достичь желаемого результата задаются неким исходным значением λ1, (к примеру, λ1=l) и проводят проверку условие φ(λ1) >φ(0). Когда оно не производится, то считают λ2 = 1/2 λ1 и так далие до того времени, покуда не получается обнаружить оптимальный шаг, с коим переходят к последующей точке x(q+1). Аспект окончания метода, явно, буд 
ет таким же, как и в методе наискорейшего спуска.

Оптимизационные задачи для выпуклых функций. Совокупным недостатком осмотренных выше методов безусловной оптимизации было, вроде как, то, собственно они свидетельством находить лишь точки, сомнительные на локальный экстремум, а с иной — то, собственно обнаруженные решения имеют все шансы значимо находиться в зависимости от исходного приближения. Поиск масштабного оптимума имеет в виду перебор обнаруженных точек, который, в случае градиентных способов, имеет все шансы осуществиться с помощью подбора сообразных исходных приближений х(0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4 Модели динамического программирования

Очень нужным вычислительным способом для решения каких-либо типов задач нелинейного программирования считается метод динамического программирования (ДП). Во время выяснения задачи данным способом процесс решения расчленяется на этапы, решаемые поочередно во времени и приводящие, в конце концов, к разыскиваемому решению. Обычные отличительные черты многоэтапных (многошаговых) задач, решаемых методом динамического программирования, состоят в последующем: 
         1. Процесс перехода производственно-экономической системы из одного состояния в другое обязан быть марковским (действием с отсутствием последействия). Данное означает, собственно коль скоро система пребывает в неком состоянии Sn Sn, то последующее становление процесса находится в зависимости лишь от этого состояния не находится в зависимости от того, каким методом система приведена в данное состояние.

2. Процесс продолжается конкретное количество шагов N. На любом шаге исполняется выбор одного управления un, под действием которого система переходит из одного состояния Sn в другое.

3. Любой шаг (выбор еще одного решения) связан с явным результатом, который находится в зависимости от текущего состояния и принятого решения: φn(Sn, un).

4. Общий результат (прибыль) за N шагов слагается из заработков на отдельных шагах, то есть аспект оптимальности обязан быть аддитивным (или же приводящимся к нему).

    Требуется найти такое решение un для каждого шага (n = 1, 2, 3,..., N), т.е. последовательность (u1,..., uN), чтобы получить максимальный эффект (доход) за N шагов.

    Каждая вполне вероятная допускаемая очередность решений (u1,..., uN) называется стратегией управления. Стратегия управления, доставляющая максимум критерию оптимальности, называется оптимальной.

    В базе единой концепции метода ДП лежит принцип оптимальности Беллмана. 
             Подходящая стратегия владеет этим свойством, собственно независимо от того, каким образом система оказалась в осматриваемом точном состоянии, следующие решения обязаны оформлять подходящую стратегию, привязывающуюся к данному состоянию. Математически данный принцип записывается повторяющий вид рекуррентного пропорции ДП (РДП): 
                               (1.17)

где un(Sn) - все допустимые управления при условии, что система находится в состоянии Sn;

φn(Sn, un) - эффект от принятия решения un;

fn(Sn) - эффект за оставшиеся п шагов.

    Благодаря принципу оптимальности получается при следующих переходах испытать не многие вполне вероятные варианты, а только подходящие выходы. РДП позволяют сменить сложное вычисление оптимума по N переменным в начальной задаче решением N задач, в любой из которых оптимум обретает только по одной переменной.

           Имеется огромное количество фактически главных задач, которые ставятся и находят решение как задачи ДП (задачи о смене оборудования, о портфеле, распределения ресурсов и так далее).

 

 

 

 

2. Решения задач на основе методов нелинейного программирования

2.1 Краткая характеристика предприятия «Техно-Логика»

Общество с ограниченной ответственностью  «Техно-Логика» создано  вследствие реструктуризации бизнеса компании «Техно-Проект».

Форма собственности: частная.

Время создания: Компания основана в с 2008 году.

Почтовый адрес: 423814, РТ, г. Набережные Челны, а/я 57

Юридический адрес: 423800, г. Набережные Челны, Производственный проезд, д.45, офис д201- (территория ОАО "КИП "Мастер")

            Специализирующейся на поставках алюминиевого  профиля и его механической обработке.

            ООО «Техно-Логика» производит и поставляет широкую номенклатуру продукции в самые короткие сроки и с неизменно высоким качеством:

• алюминиевый профиль из сплавов АД0, АД31, АД35, AW6060, AW6063,AW6082;
• алюминиевые радиаторы охлаждения;
• корпуса светодиодных светильников со всеми необходимыми комплектующими;
• стандартные электротехнические охладители;
• по чертежам клиентов: детали из алюминиевого профиля и листа, в том числе анодированные.

Грамотная научно-техническая проработка заявок с оптимизацией себестоимости продукта уже на стадии подготовки производства, высочайшая квалификация инженерного персонала. Существуют на рынке радиаторов охлаждения с 2008 года, располагаем уже довольно широкой линейкой открытой для независимой реализации номенклатуры впрочем собственной мощной стороной считаем работу с уникальными чертежами посетителей.  
             Поставляет алюминиевые профили в широком спектре объемов, воплощать в жизнь их механическую обработку любой ступени трудности, обеспечивая при всем этом гораздо лучшее соотношение «цена-качество», не имеющее конкурентных аналогов на рынке. При всем этом сервисы обработки профиля оказывают не только по собственной номенклатуре, но и по профилям посетителей.         

Материалы при проектировании и изготовлении изделий из алюминиевого профиля:

• Физические свойства алюминиевых сплавов;
• Механические свойства алюминиевых деф. Сплавов;
• Профили прессованные из алюминиевых сплавов для свет прозрачных алюминиевых конструкций ГОСТ-222233-2001;
• Листы из алюминия и алюминиевых сплавов ГОСТ-21631-76;
• Алюминий первичный ГОСТ-11069-2001;
• Алюминий и сплавы алюминия деформируемые ГОСТ-4784-97;
• Сплавы алюминиевые литейные ГОСТ-1583-93;
• Покрытия порошковые полимерные ГОСТ-9.410-88;
• Покрытия металлические и неметаллические органические ГОСТ-9.301-86;
• Шины прессованные ГОСТ-15176-89;
• Профили прессованные из алюминия и алюминиевых сплавов ГОСТ-8617-81.