Обзор численных методов в математическом моделировании

Для решения уравнения с помощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка.

Наиболее распространенными из численных методов, применяемых в математическом  моделировании, являются метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Алгоритмический  анализ задачи

 

2.1 Полная постановка  задачи

 

В данной курсовой работе необходимо изучить электрические процессы в цепях с реактивными элементами:

С использованием системы MathCAD

 1) Рассчитать аналитическую зависимость для заданной исходной ЭДС Е2(t).

2) Рассчитать значение функции токов в схеме при исходной Е1(t). Построить графики этих функций.

3) Для функции тока i1, полученной в п.2, найти такое значение варьируемого параметра, при котором ток пересечёт пороговое значение I=5A. Построить графики зависимости тока i1 от времени при различных значениях варьируемого параметра на одном поле.

4) Для функций токов, полученных в п.2, вычислить значения времени, при которых функции достигают своего максимального значения. Дать графическую интерпретацию результата.

 

 

2.2 Описание математической  модели

 

Рисунок 1- Исходная схема

 

Работу цепи, приведенной на рисунке, описывает система дифференциальных уравнений вида:

 

                                                                    (2.2.1)

                                                                   (2.2.2)

Вид системы после замены переменных

i1=a1

i2=a2

i3=a3

2.3 Анализ исходных  и результирующих данных

 

С – значение емкости конденсатора

R0, R1, R2 –  исходные сопротивления

L – значение индуктивности;

Е – исходная ЕДС

Т – время исследования

 

            Таблица 1 – Исходные данные

R0, ,	R1	R2	L	C	E0	tp	T	Варьируемый параметр, L Гн
24	5	75	4∙10-3	4∙10-6	210	2∙10-4	10-3	10-3-8∙10-3

 

 

 

2.4  Графические схемы  алгоритмов  реализации задачи  в MatCAD и описание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2 – Графическая схема алгоритма реализации задачи в MatCAD

 

Описание графической схемы алгоритма реализации задачи в MatCad:

1. Ввод исходных данных.
2. Решение системы ДУ методом Рунге-Кутта.
3. Нахождение значений токов по времени.
4. Построение графиков зависимостей  токов от времени.
5. Изменение варьируемого параметра (L), решение системы ДУ.
6. Построение графика зависимости  тока от времени при данном значении изменяемого параметра.
7. Построение сводного графика.
8. Поиск максимального значения тока.
9. Нахождение времени при максимальном значении тока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3 – Схема алгоритма для нахождения номера максимального тока

 

Описание графической схемы алгоритма для нахождения номера максимального тока:

1. Присваиваем конечному элементу значение 1001
2. Задаём цикл для нахождения номера максимального элемента
3. Выводим значение т. е. номер максимального тока

 

 

 

3 Описание  реализации задачи в MathCad

 

3.1 Описание реализации  базовой модели

 

Рассчитаем аналитическую зависимость для исходной ЭДС, результаты изобразим в виде графиков.

Также проведём исследования математической модели электрической цепи с варьируемым параметром L, решая дифференциальные уравнения с помощью функции rkfixed. После проведения 8 опытов, изобразим сводный график всех полученных функций в одном поле.

С помощью функции linfit проводим аппроксимацию, после чего строим графики зависимостей исходной и аппроксимирующей функций.

Далее определим время при котором ток достигает максимального значения используя программные фрагменты, полученные результаты изобразим в виде графиков.

 

 

3.2 Описание исследований

 

Найдём такое значение варьируемого параметра при котором ток пересечёт свое пороговое(максимальное) значение. Далее решаем дифференциальное уравнение с помощью функции rkfixed. Строим графики зависимости тока от времени. Находим значение индуктивности при ктором ток пересекает это значение.

 

3.3 Выводы по  результатам исследований

 

В результате  выполнения работы  для расчета токов в исследуемой цепи, мы  исследовали влияние значений изменяемого параметра. Построили сводный график всех полученных функций и получили следующий вид аппроксимирующей функции представленный на рисунке 4.

В ходе проведённых опытов было установлено, что:

При изменении значения индуктивности катушки (L) от 0.001 до 0.008, с увеличением значения индуктивности L, уменьшается максимальное значение силы тока. При убывании индуктивности L соответственно увеличивается.

Рисунок 4- Графики зависимостей исходной и аппроксимирующей функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические             цепи. Учебник для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов.- 7-е изд., перераб. И доп.- М.: Высш. школа, 1978. -528с, ил.
2. Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем, -Мн.: Дизайн ПРО, 1997.- 640с.
3. Турчак Л. И.. Основы численных методов: Учеб. пособие.- М.: Наука Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.- 320 с.

 

4. Дьяконов А. А. Справочник по Mathcad 2000. М.: Ск - пресс, 2000.-352с.