Применение дифференциальных уравнений в экономике

Откуда 

Таким образом, общее решение заданного  неоднородного уравнения есть функция

Постоянные  и определяем по начальным условиям

Для t=0 и t=1 соответственно получаем

 

Решая систему уравнений

Находим

Поэтому в итоге имеем 

 

Исходные дифференциальные уравнения во многих физических и  технических применениях решаются для случаев, когда заданы значения искомых функции и/или ее производных в различных точках интервала интегрирования и, в частности - на концах интервала. Такого рода уравнения в обыкновенных производных или системы из таких уравнений называются краевой задачей.

Общим методом решения краевой задачи является преобразование ее в систему алгебраических уравнений относительно множества неизвестных значений искомой функции, выбранных в точках, равномерно расположенных на оси абсцисс, т.е. заданных на сетке известных значений независимой переменной.

Для линейной системы уравнений  первого порядка, записанной в матричной  форме относительно вектора  как

 

,

 

обязательно задается полный набор  краевых условий  , включающий хотя бы одно значение , или набор комбинаций из значений и

Обычно задаваемое граничное значение совмещается с тем или иным n-ным сеточным значением независимой переменной. Это позволяет обходиться без преобразования граничных условий к ближайшей точке сетки. Векторы , , и матрица в общем случае приводятся к единичному интервалу изменения независимой переменной с помощью линейного преобразования , в котором с шагом по оси абсцисс равном . Благодаря этому производные в левых частях единообразно заменяются (M+1)-точечными конечно-разностными выражениями через искомые значения решения:

 

.

 

Многоточечные представления производных  получаются путем применения существующих соотношений между операторами  дифференцирования, конечных разностей  и сдвига:

 

 

Чтобы выразить значение производной порядка k в m-той точке целочисленного интервала [0, n] через ординаты функции необходимо выполнить следующие операторные преобразования:

 

 

Заменив конечно-разностные операторы  (после приравнивания нулю разностей со степенями выше n) выражениями с оператором сдвига и вспомнив, что , получим в результате для k-той производной в m-той точке взвешенную сумму из ординат искомой функции:

 

.

 

Погрешность аппроксимации  дифференциального оператора конечно-разностным оператором для центральной точки (m=n/2) пропорциональна с наименьшим коэффициентом величине и c наибольшим – для точек конца интервала.

Часто применяемые выражения конечно-разностной аппроксимации производных первого и второго порядков по трем-семи равномерно расположенным точкам приведены ниже в таблицах в виде коэффициентов, стоящих перед соответствующими ординатами функции. В левом верхнем углу таблиц записан общий множитель, а в крайней правой колонке – коэффициенты k1, k2 для формул погрешности.

Трех точечная аппроксимация  первой производной

	y(0)	y(1)	y(2)
y’(0)	-3	4	-1	2
y’(1)	-1	0	1	-1
y’(2)	1	-4	3	2

Четырех точечная аппроксимация  первой производной

	-11	18	-9	2	-3
	-2	-3	6	-1	1
	1	-6	3	2	-1
	-2	9	-18	11	3

 

Пятиточечная аппроксимация  первой производной

	-25	48	-36	16	-3	12
	-3	-10	18	-6	1	-3
	1	-8	0	8	-1	2
	-1	6	-18	10	3	-3
	3	-16	36	-48	25	12

 

Шести точечная аппроксимация  первой производной

	-137	300	-300	200	-75	12	-10
	-12	-65	120	-60	20	-3	2
	3	-30	-20	60	-15	2	-1
	-2	15	-60	20	30	-3	1
	3	-20	60	-120	65	12	-2
	-12	75	-200	300	-300	137	10

 

Семи точечная аппроксимация первой производной

	-147	360	-450	400	-225	72	-10	60
	-10	-77	150	-100	50	-15	2	-10
	2	-24	-35	80	-30	8	-1	4
	-1	9	-45	0	45	-9	1	-3
	1	-8	30	-80	35	24	-2	4
	-2	15	-50	100	-150	77	10	-10
	10	-72	225	-400	450	-360	147	60

 

Трех точечная аппроксимация  второй производной

	1	-2	1	-12 , 2
	1	-2	1	0 , -1
	1	-2	1	12 , -2

 

Четырех точечная аппроксимация  второй производной

	2	-5	4	-1	55 , -6
	1	-2	1	0	-5 , -2
	0	1	-2	1	-5 , -2
	-1	4	-5	2	55 , -6

 

Пятиточечная аппроксимация  второй производной

	35	-104	114	-56	11	-150 , 12
	11	-20	6	4	-1	15 , -3
	-1	16	-30	16	-1	0 , 2
	-1	4	6	-20	11	15 , 3
	11	-56	114	-104	35	150 , -12

 

Шести точечная аппроксимация  второй производной

	225	-770	1070	-780	305	-50
	50	-75	-20	70	-30	5
	-5	80	-150	80	-5	0
	0	-5	80	-150	80	-5
	5	-30	70	-20	-75	50
	-50	305	-780	1070	-770	225

 

Семи точечная аппроксимация  второй производной

	812	-3132	5265	-5080	2970	-972	137
	137	-147	-255	470	-285	93	-13
	-13	228	-420	200	15	-12	2
	2	-27	270	-490	270	-27	2
	2	-12	15	200	-420	228	-13
	-13	93	-285	470	-255	-147	137
	137	-972	2970	-5080	5265	-3132	812