Применение дифференциальных уравнений в экономике

 

Например, производная  первого порядка  в точках m=0, 3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:

,

.

 

Аналогично выписываются выражения и для вторых производных  в точках 0 и 2:

 

 

Таким образом, из приведенных  таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.

 

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ  СФЕРЕ

§1. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса

В экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем.

Так, модель Самуэльсона-Хикса  предполагает, что рост потребления  запаздывает от роста национального дохода , т.е. что

(1)

где - предельная склонность к потреблению при увеличении текущего дохода на единицу ( ), а - автономное потребление.

Предполагается также, что предприниматели осуществляют инвестиции после того, как убедятся в том, что приращение национального дохода устойчиво. Поэтому, принимая решение об объеме инвестиций, они ориентируются на приращение национального дохода не в текущем, а в предшествующем периоде:

(2)

Здесь - коэффициент, именуемый акселератом.

Условие равенства спроса и предложения имеет вид

(3)

Подставляя в (3) выражение  для  из (1), из (2), находим:

(4)

Уравнение (4) называется уравнением Хикса. Пусть величины , и постоянны. Тогда уравнение Хикса представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

В реальной экономике  , а . При таких значениях предельной склонности к потреблению и акселератора решение уравнения Хикса неустойчиво и носит колебательный характер: возрастание сменяется быстрым убыванием, убывание – возрастанием. Это означает, что даже при постоянном темпе капиталовложений экономика имеет неустойчивый характер (раз нарушенное равновесие больше не восстанавливается), а периоды подъема экономики чередуются с периодами спадов (кризисов).

Поясним это на числовом примере.

Пример (уравнение  Хикса). Предположим, что , , . Тогда уравнение Хикса имеет вид

(5)

Найдем частное решение. Положив  и подставив в (5) получим

,

Частное решение  . Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.

Корни характеристического  уравнения

равны .

Этим корням соответствуют  линейно независимые решения  вида

И ,

где .

После округления получим  и .

Рис.1 Модель Самуэльсона-Хикса

Таким образом, общим  решением однородного уравнения  является функция 

График этой функции  при  и изображен на рис.1,а.

Из последнего примера  наглядно видно, что решение уравнения  Хикса  очень быстро принимает неправдоподобные значения. В действительности такой сильной раскачки значений национального дохода не происходит. Размер национального дохода не может превышать величину национального дохода полной занятости. Это ограничивает амплитуду колебаний объема национального дохода сверху. С другой стороны, объем инвестирования не может быть меньше отрицательной величины амортизации и это ограничивает амплитуду колебания величины национального дохода снизу. В результате колебания размера национального дохода принимают вид, изображенный на рис.1,б. Они имеют конечную амплитуду и характеризуют экономические циклы подъема и спада производства.

 

§ 2. Модель рынка с запаздыванием  сбыта

Опишем еще одну модель, учитывающую запаздывание во времени. Эта модель позволяет исследовать  устойчивость цен и объемов товаров  на рынке.

В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства. И в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута по времени относительно цены , т.е. будем полагать, что , в то время как функция спроса одномоментно отвечает цене: . Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены:

  .(1)

Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного объемов товара: , откуда с учетом (1) имеем

 или  .

Поделив обе части  этого равенства на и переходя для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка относительно цены с постоянными коэффициентами:

.(2)

Пусть тогда .

Характеристическое уравнение  имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (2) удобно искать в виде постоянной величины:

; .

После подстановки в  это уравнение оно легко определяется:

.(3)

Величина  является равновесной ценой. Общее решение уравнения (2) определяется формулой

,(4)

где - произвольная величина.

Пусть в начальный  момент времени известна цена (задача Коши), тогда подстановкой в равенство (4) находим

 или  ,

так что в окончательном  виде получаем

 или  .(5)

Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных  параметров задачи и формул (1) динамика цены во времени может быть разной. Здесь возможны три варианта:

1) , - текущая цена расходится с равновесной ценой с увеличением размаха колебаний вокруг нее. Такие колебания с нарастающей амплитудой называются взрывными;

2) , - текущая цена стремится к равновесной цене с колебаниями около нее;

3) - две точки равновесия: в зависимости от четности t имеет место колебание от одной точки к другой. В этой ситуации говорят, что цена совершает регулярные или циклические колебания около равновесного уровня.

 

 

                                                             а

                                                             б

в

 

 

         0         1         2           3         4         

Рис. 2.

Недостатки этой модели достаточно очевидны. Во-первых, расходящиеся и циклические колебания на практике на наблюдаются, поскольку производители учатся на своих ошибках: рано или поздно они заметят, что их ожидания, основанные на сохранении цены прошлого периода, не оправдываются и они изменят процедуру определения ожидаемой цены. Например, производители могут определять предложение товара, исходя из средневзвешенных цен нескольких предшествующих периодов. Во-вторых, в модели не учтено воздействие совокупного поведения всех производителей. Представим себе, например, что речь идет о рынке картофеля и пусть в какой-то год его предложение было сравнительно небольшим, а цена – высокой. Тогда можно предположить, что отдельный фермер в этой ситуации будет расширять посадки картофеля, ожидая, что его высокая цена сохранится. Однако, если все фермеры поступят таким образом, то на следующий год под влиянием возросшего предложения цена картофеля снизится.

Наконец, совсем не обязательно  исходить из предположения гибкости цены данного товара и совпадения спроса с предложением в каждом периоде. Изменение цены может происходить и в неравновесной ситуации под влиянием избыточного спроса.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Так как мы рассмотрели  продуктивную модель межотраслевого баланса  безотносительно ко времени, т.е. все  ее компоненты полагались осредненными за некоторый временной интервал и «одномоментными». В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период , определяется не текущим выпуском, а выпуском в последующий период . Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности инерцией планирования и перенастройки, мобилизацией внутренних ресурсов и изменение транспорта сырья и т.д.

С учетом этого система  уравнений баланса, в предположении  о постоянстве доли внутреннего  потребления каждой отраслью, будет  иметь следующий вид

       (32)

Соотношения (32) составляют систему линейных разностных уравнений  первого порядка с постоянными  коэффициентами .

Как и прежде, введем вектор валового выпуска  , матрицу прямых затрат и вектор конечного потребления . Тогда систему (32) можно переписать в матричной форме:

.         (33)

Теперь задача формулируется  следующим образом: при заданном векторе конечного потребления  и матрице определить динамику (изменение во времени) вектора валового выпуска .

Одна из основных задач  прогноза с использованием динамической модели Леонтьева такова: известны динамика вектора конечного потребления и вектор валового выпуска в начальный момент времени ; требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени . Эту задачу можно решить при помощи формулы:

.        (33)

Пример 2. Обратимся к  данным табл. 1. Пусть известны продуктивная матрица  , а также заданные в момент времени векторы валового выпуска и , указанные в этой таблице:

 

Требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени , если все компоненты вектора конечного потребления увеличиваются на за каждый период.

Решение. Вектор конечного  потребления, согласно условию задачи, имеет вид

.

Применяя формулу (33), получаем   .

Теперь нужно вычислить  матрицу  изменяя состояния и вектор и подставить их в это уравнение. Выполняя указанные действия, получим решение поставленной задачи:

.Таким образом, при указанном  темпе роста продукта конечного  потребления необходимо через  два временных цикла увеличить  компоненты валового выпуска соответственно на , и по сравнению с исходными величинами на начальный момент времени.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Красс М. С. Математика для экономических специальностей: Учебник. -М.: ИНФРА-М, 1998.- 464 с.
2. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения: М.: Издательство «Мир», 1967
3. П. В. Конюховский, А. С. Налетова. Построение моделей динамики выпуска продукции фирмы на основе линейных разностных уравнений второго порядка/Вестник Санкт-Петербургского университета, 2005. Сер.5. Вып.4
4. Дыхта В. А. Динамические системы в экономике. Введение в анализ одномерных моделей. Учебное пособие. Иркутск: Издательство БГУЭП, 2003.-173с.
5. Ахтямов А. М. Математика для социологов и экономистов: Учебное пособие. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 464 с.

Размещено на Allbest.ru