Расчетно-графическое задание по курсу "Эконометрики"

Таблица 8 – Упорядоченные значения по фактору х₃:

№ п/п	y	x3
1	45,4	1,2
2	45,6	6,7
3	45,7	7
4	46,3	7,8
5	45,8	9,7
6	46,9	12,4
7	45,9	12,5
8	46,7	14,6
9	46,9	17,2
10	46,9	17,9
11	46,7	18,8
12	47	19
13	46,3	20,5
14	45,7	23,4
15	46,6	24,8
16	45,9	27,8
17	46,3	28
18	45,4	30,5
19	47,6	30,7
20	44,1	38
21	46,1	40,6
22	46,8	41,2
23	46,4	61,5
24	49,1	100,6
25	51,9	216,1

2) Исключим С центральных наблюдений, разобьем совокупность на две части: а) со значениями x ниже центральных; б) со значениями x выше центральных.

Исключение С средних наблюдений в этом упорядочении в целях построения двух независимых "частных" регрессий по данным n' = (n-с)/2 в начале выборки и по данным n' = (n - с)/2 в конце выборки

Пусть С = 5, это наблюдения с порядковыми номерами 11-15.

3) Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (10 первых наблюдений) и для третьей подвыборки (10 последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов отклонений ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке (суммы квадратов отклонений ).

4) По каждой части находим уравнение регрессии

Вывод итогов для подвыборок для фактора х₂

       

Вывод итогов для подвыборок для фактора х₃

      

5) Для сравнения соответствующих  дисперсий строится следующая F-статистика:

- для х₂:

- для х₃:

При сделанных  предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы v₁=v₂=(n-C-2m)/2. Тогда,

6) Если  , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется ( - выбранный уровень значимости).

По проведенным расчетам в обоих случаях (и для х₂, и для х₃) мы получили, что следовательно в ряду остатков обнаружена гетероскедастичность.

 

14.3. Тест ранговой корреляции Спирмена

Значения х_i и u_i ранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

где d_i - разность между рангами х_i и u_i, i = 1, 2, ..., n;

n - число наблюдений.

Рассчитаем теоретические  значения для x₂ по уравнению регрессии и найдем остатки. Ранжируем совокупность по возрастанию (Таблица 8).

№        п/п	y	x2	Теоритическое y	Остатки	Модуль остатков	Ранг x	Ранг u	d2
1	45,4	5	45,768	-0,368	0,368	1	11	100
2	44,1	5,8	45,780	-1,680	1,680	2	22	400
3	45,6	6,8	45,795	-0,195	0,195	3	6	9
4	45,8	11,5	45,864	-0,064	0,064	4	2	4
5	46,7	17,3	45,949	0,751	0,751	5	17	144
6	46,3	20,9	46,002	0,298	0,298	6	9	9
7	45,7	20,9	46,002	-0,302	0,302	6	10	16
8	45,9	24,8	46,059	-0,159	0,159	7	4	9
9	46,3	28,8	46,118	0,182	0,182	8	5	9
10	46,3	31	46,150	0,150	0,150	9	3	36
11	47	41,4	46,303	0,697	0,697	10	16	36
12	46,9	42,8	46,324	0,576	0,576	11	15	16
13	45,4	43,9	46,340	-0,940	0,940	12	20	64
14	46,4	45,4	46,362	0,038	0,038	13	1	144
15	46,8	46,8	46,383	0,417	0,417	14	13	1
16	46,9	47,5	46,393	0,507	0,507	15	14	1
17	46,7	49,3	46,419	0,281	0,281	16	8	64
18	46,1	54	46,488	-0,388	0,388	17	12	25
19	45,7	66,6	46,673	-0,973	0,973	18	21	9
20	45,9	68	46,694	-0,794	0,794	19	19	0
21	46,9	68	46,694	0,206	0,206	19	7	144
22	46,6	72,4	46,759	-0,159	0,159	20	4	256
23	47,6	78,5	46,848	0,752	0,752	21	18	9
24	51,9	218,2	48,901	2,999	2,999	22	24	4
25	49,1	356,4	50,932	-1,832	1,832	23	23	0
							Сумма:	1509

Таблица 8 – Расчетная таблица для проведения теста Спирмена для x₂

Тогда

В нашем примере статистика Стьюдента равна:

Табличное значение статистики Стьюдента составит t(0,05; 23)=2,0687.

Таким образом, мы получили, что расчетное значение больше табличного, следовательно, гипотеза о гетероскедастичности принимается на уровне значимости 5%.

Рассчитаем теоретические  значения для x₃ по уравнению регрессии и найдем остатки. Ранжируем совокупность по возрастанию (таблица 9).

№        п/п	y	x3	Теоритическое y	Остатки	Модуль остатков	Ранг x	Ранг u	d2
1	45,4	1,2	45,680	-0,280	0,280	1	9	64
2	45,6	6,7	45,831	-0,231	0,231	2	7	25
3	45,7	7	45,840	-0,140	0,140	3	6	9
4	46,3	7,8	45,862	0,438	0,438	4	11	49
5	45,8	9,7	45,914	-0,114	0,114	5	4	1
6	46,9	12,4	45,988	0,912	0,912	6	21	225
7	45,9	12,5	45,991	-0,091	0,091	6	3	9
8	46,7	14,6	46,049	0,651	0,651	7	15	64
9	46,9	17,2	46,121	0,779	0,779	8	19	121
10	46,9	17,9	46,140	0,760	0,760	9	18	81
11	46,7	18,8	46,165	0,535	0,535	10	13	9
12	47	19	46,170	0,830	0,830	11	20	81
13	46,3	20,5	46,212	0,088	0,088	12	2	100
14	45,7	23,4	46,292	-0,592	0,592	13	14	1
15	46,6	24,8	46,330	0,270	0,270	14	8	36
16	45,9	27,8	46,413	-0,513	0,513	15	12	9
17	46,3	28	46,418	-0,118	0,118	16	5	121
18	45,4	30,5	46,487	-1,087	1,087	17	23	36
19	47,6	30,7	46,493	1,107	1,107	18	24	36
20	44,1	38	46,694	-2,594	2,594	19	25	36
21	46,1	40,6	46,766	-0,666	0,666	19	16	9
22	46,8	41,2	46,782	0,018	0,018	20	1	361
23	46,4	61,5	47,342	-0,942	0,942	21	22	1
24	49,1	100,6	48,419	0,681	0,681	22	17	25
25	51,9	216,1	51,602	0,298	0,298	23	10	169
							Сумма:	1678

Таблица 9 – Расчетная таблица для проведения теста Спирмена для x₃

Тогда

В нашем примере статистика Стьюдента равна:

Табличное значение статистики Стьюдента составит t(0,05; 23)=2,0687.

Таким образом, мы получили, что расчетное значение меньше табличного, следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается  на уровне значимости 5%.

 

14.4. Тест Уайта (White test).

Тест Уайта  позволяет оценить количественно  зависимость дисперсии ошибок регрессии  от значений фактора x, используя квадратичную функцию:

,

где - нормально распределенная ошибка.

Рисунок 12 – Вывод итогов вспомогательной регрессии теста Уайта

Оцениваем вспомогательную  регрессию;

Гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается в случае незначимости регрессии в целом.

В нашем примере вспомогательная  регрессия принимает вид:

Уравнение статистически  незначимо на уровне значимости . Следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

 

15. По всем проведенным тестам можно сделать вывод о гомоскедастичности регрессионных остатков. В противном случае для устранения гетероскедастичности необходимо применить к исходным данным обобщенный метод наименьших квадратов в предположении, что .

 

Рисунок 13 – Вывод итога ОМНК

Исходное уравнение преобразуем  делением правой и левой частей на x₂: . К нему применим МНК. Полученное уравнение имеет вид:

Получены новые оценки параметров линейного уравнения, в  котором смягчена гетероскедастичность.

 

16.1. Метод рядов

Последовательно определяются знаки остатков .

Ряд определяется как непрерывная  последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.

Пусть n — объем выборки;

n₁ — общее количество знаков «+» при n наблюдениях;

n₂ — общее количество знаков «-» при n наблюдениях;

k — количество рядов.

Если при достаточно большом  количестве наблюдений (n₁>10, n₂>10) количество рядов k лежит в пределах от k₁ до k₂:

то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Рисунок 14 – Расчет характеристик метода рядов

 

Найдя знаки отклонений теоретических  уровней от фактических, мы получили, что в анализируемой выборке  содержится 15 рядов, т.е. k=15 (рисунок 11). Общее количество знаков «+» n₁=14, количество знаков «-» n₂=11.

Подставим найденные  значения в формулу, получим, что  k₁=7,509, k₂=19,131. Следовательно, гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

 

16.2. Критерий Дарбина – Уотсона

Для проверки автокорреляции первого порядка необходимо рассчитать критерий Дарбина—Уотсона. Он определяется так:

Выдвигается гипотеза Н₀ об отсутствии автокорреляции остатков. При сравнении расчетного значения статистики (DW<2) с d_l и d_u возможны следующие варианты.

1. Если DW< d_l , то гипотеза Н₀ отвергается
2. Если DW > d_u, то гипотеза Н₀ не отвергается.
3. Если d_l< DW< d_u, то нельзя сделать определенного вывода по имеющимся исходным данным (зона неопределенности).

При DW > 2, то с табличными значениями сравнивается величина (4-DW).

Рисунок 15 – Расчет критерия Дарбина – Уотсона

В результате проведенных  расчетов получено значение критерия Дарбина – Уотсона DW=2,203 (рисунок 12). Так как оно больше 2, то с критическими значением сравниваем величину 4-DW=1,797. Оно больше d_u следовательно мы не можем отвергнуть гипотезу Н₀ – в ряду остатков отсутствует автокорреляция первого порядка.

 

16.3. Q-тест Льюинга – Бокса

Использование данного теста  предполагает использование Q- статистики, значение которой определяется по формуле:

где - выборочные значения автокорреляционной функции;

- величина лага;

n – число наблюдений.

Q- статистика имеет - распределение с степенями свободы. Если Q - статистика меньше табличного , то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.

Рассчитаем для нашей  задачи Q- статистику. Для этого необходимо определить коэффициенты автокорреляции. Максимальная величина лага не должна превышать ¼ числа наблюдений, т.е. в рассматриваемом примере . Следовательно нужно определить автокорреляции до шестого порядка. (рисунок 16).

Рисунок 16 – Расчет Q-статистики Льюинга - Бокса