Автор работы: Пользователь скрыл имя, 01 Декабря 2014 в 20:40, курсовая работа
Целью курсовой работы является изучение теории массового обслуживания и принятия решений.
Исходя из цели, задачи курсовой работы:
1) рассмотрение элементов теории массового обслуживания и принятия решений;
2) проанализировать расчет основных параметров в моделях массового обслуживания
3) решить задачу «Бери и кати»
Введение………………………………………………………………………...…5
1 Элементы теории массового обслуживания и принятия решений……..…...7
1.1 Основные положения теории массового обслуживания.………………......7
1.2 Принятие решений в экономике с использованием моделей массового обслуживания………………………………………………………………….....11
2 Расчет основных параметров в моделях массового обслуживания………...14
2.1 Постановка и математические модели задач………………….…………...14
2.2 Определение основных параметров процессов…………………………....18
3 Решение задачи «Бери и кати…………………………………………….…...27
Заключение ………………………………………………………………………30
Глоссарий………………………………………………………………………...32
Список используемых источников …………………………………………….34
Формула (37) позволяет находить все интересующие числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна
, (38)
Несложные вычисления приводят к формуле
, (39)
Дисперсия величины равна
, (40)
Формула (40) даёт среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T. За время T в систему поступает требований и среднем; общая потеря ими времени па ожидание в среднем равна
(41)
Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины . При этом мы ограничиваемся случаем Т=1 и рассматриваем лишь самые малые значения т: т=1 и т=2.
При т=1 в силу (28)
, (42)
При р=0,1; 0,4; 0,6; 0,9 значение а приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,9; 8,100.
При m=2 в силу (41)
, (43)
При =0,1; 0,9; 1,3; 1,8 значение а приблизительно равно 0,00025; 0,229; 0,951; 7,674.
Приведённые данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчёте загрузки оборудования в системах массового обслуживания /12, 67 с./.
3 Решение задачи «Бери и кати»
Условие:
В полуавтоматическом бистро для автомобилистов «Бери и кати» робот-кёльнер выдает подогретый бутерброд и чашку горячего кофе за 5 минут. Оценки показывают, что поток клиентов – 20 машин/ в час. Компания хочет оценить длину очередей автомобилей к автомату, для обеспечения необходимого пространства для них.
Предполагая пуассоновский поток заявок и экспоненциальное распределение для времени обслуживания найти:
a. Долю времени, когда робот загружен;
b. Долю времени, когда он бездействует;
c. Среднее число машин у робота-кёльнера;
d. Среднее число машин в очереди у робота-кёльнера;
e. Среднее время, затрачиваемое
клиентом для получения
f. Среднее время, которое клиент проводит в очереди;
g. С какой вероятностью возле банкомата будут стоять более 3 машин.
Решение:
Определим модель системы массового обслуживания,применимую для данного случая. Наиболее важные обстоятельства в этом случае- наличие небольшего числа клиентов или ограничения на размер очереди.
Так как никаких упоминаний о подобных ограничениях в задаче нет, считаем, что имеем дело с моделью неограниченной очереди. Кроме того, речь идет только об одном роботе , т.о. в системе имеется только один сервер.
Поток клиентов λ, прибывающих на вход в систему, равен 20 машинам в час. Кроме этого известно, что на обслуживание клиента в среднем тратится 5 минуты. Это означает, что за час в среднем обслуживается 12 клиентов, т.е. поток обслуживания μ равен 12 машин в час.
Расчеты представлены на рисунке 1.
Рисунок 1 Расчеты по формулам теории СМО
Доля времени, когда банкомат загружен равна проценту загрузки каждого (в нашем случае единственного) сервера, т.е 66% всего времени работы.
Разумеется, это средняя оценка, которую можно было бы сделать по многим наблюдениям за системой. Доля времени, когда банкомат бездействует, равна времени, когда все серверы свободны – 34% рабочего времени. Среднее число машин у банкомата соответствует числу клиентов в системе –2 клиента. В это число входит и та машина, которая стоит у банкомата и те, которые ждут своей очереди на подъездной дорожке;
Средняя длина очереди – 1, 33 клиента – показывает среднее число машин в очереди у робота - кёльнер.
В среднее время, затрачиваемое клиентом для получения заказа, входит и время, затраченное на ожидание в очереди, и время, которое клиент тратит на заказ и его ожидание (2 минуты в среднем), т.е. это полное время пребывания в системе. Это время приводится в таблице в тех же единицах, для которых задан поток – в часах. Следовательно, это время равно 0.1 часа или 6 минут. Среднее время, которое клиент проводит в очереди равно 0.06 часа или 3 минуты.
В нижней части таблицы приведены вероятности нахождения в системе
заданного числа клиентов (от 1 до 20, но часть строк скрыта для экономии места).
Вероятность того, что у банкомата будет стоять не более 3 машин, т.е либо ни одной (% времени, когда все серверы свободны), либо одна, либо две, либо три машины можно легко найти, сложив соответствующие вероятности: Pn<=3 = 0,2222222+ 0,1481481+ 0,0987654+ 0,0658436= 0,5349794 или 53 %
После этого можно определить и вероятность того, что в очереди будет более трех машин Pn>3, как 1 -Pn<=3. Pn>3= 43%. Очевидно, что другой возможный путь – суммирование всех вероятностей для n>3 – гораздо менее удобен, но тоже применим, особенно если эти вероятности быстро падают до нуля. В данной задаче это не так, потому что даже вероятность того, что в системе n=20 клиентов отлична от нуля.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой работе раскрыты понятия, приводящие к системе массового обслуживания, а именно: обслуживание, обслуживает прибор система обслуживания, система массового обслуживания.
Также описаны типичные элементы, из которых состоят системы массового обслуживания (входящий поток, его описание и основные особенности, очередь и ее дисциплина, обслуживающие приборы и особенности механизма обслуживания, входящий поток).
Что касается практического задания, то рассмотренное данной задачей автозаправочная станция является СМО с ожиданием. На её примере я определила: вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную способности АЗС, среднее число машин, ожидающих заправки, среднее число машин, находящихся на АЗС (включая обслуживаемые), среднее время ожидание машины в очереди, среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).
Глоссарий
Системы массового обслуживания (СМО) |
это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания |
Дисциплина очереди |
это важный компонент системы массового обслуживания, определяющий принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания |
Механизм обслуживания |
определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы |
Абсолютная пропускная способность |
среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени |
Дисперсия |
cреднее арифметическое из квадратов отклонений величин xi от их среднего арифметического |
Интенсивность нагрузки |
показывает степень согласования входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания. |
Канал обслуживания |
Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание заявок |
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ