Временные ряды. Тренды. Автокорреляция

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ПРАВОВОЙ ИНСТИТУТ»

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

 

Наименование дисциплины: Эконометрика

Тема: «Временные ряды. Тренды. Автокорреляция»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                     Выполнил: Иноземцев А.А

                                                                                                     Гр. 2Б11-З(В)

                                                                                                     Проверил(а):

 

 

 

 

Содержание

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Эконометрика – это  наука, в которой на базе реальных статистических

данных строятся, анализируются  и совершаются математические модели

реальных экономических  явлений.

Одним из важнейших направлений  эконометрики является построение

прогнозов по различным  экономическим показателям.

Основной задачей эконометрики будем считать использование

статистических и математических методов с целью найти эмпирическое

представление результатов  экономической теории, а затем  их подтвердить

или опровергнуть.

Однако математические методы для представления результатов

экономической теории используются также в математической экономике.

 Разделение «сфер  интересов» эконометрики и математической 

экономики – это различие в критериях качества полученных моделей.

В эконометрике построенная  модель тем лучше, чем лучше

она описывает имеющиеся  эмпирические данные. В математической

экономике соответствие модели эмпирическим данным не всегда

свидетельствует о ее качестве, и наоборот, не всегда требуется  добиваться

этого соответствия.

Применение статистических методов для анализа экономических данных

имеет многовековую историю. Отмечено, что первое эмпирическое

исследование спроса (Charles Davenant, 1699) было опубликовано более 

трех столетий назад, а первое современное исследование

(Rodulfo Enini, 1907) – в начале 20 в. Мощным толчком в развитии

эконометрики стало  основание в 1930 г. эконометрического общества и

выход в январе 1933 г. первого  номера журнала Econometrica. Основной

целью деятельности Общества, как было определено в первом номере

журнала, должно было стать “…изучение возможностей объединения

теоретико-количественных и эмпирико-количественных подходов к решению

экономических задач, а  также распространения конструктивных и 

точных методов анализа, аналогичных тем, которые в настоящее 

время доминируют в естественных науках.

Однако существует несколько  видов количественного анализа  в экономике,

ни один из которых  по отдельности не должен ассоциироваться  с

эконометрикой. Так, эконометрика – это не экономическая статистика.

Эконометрика – это  и не раздел общей экономической теории, хотя

значительная часть  экономической теории определенно  имеет 

количественный характер. Слово «эконометрика» не является также  простым

эквивалентом фразы  «применение математики в экономике».

Как показывает опыт, все  три   перечисленных дисциплины, – статистика, 

экономическая теория и  математика, - необходимы, но ни одной  из них,

взятой по отдельности, не  достаточно для реального  понимания

  количественных взаимосвязей  в  современной экономической  жизни. 

Именно объединение всех этих трех  дисциплин дает к нему ключ.

 Именно объединение  их и составляет предмет   эконометрики.”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

История возникновения эконометрики как  науки

 

 

Эконометрика как наука возникла в начале XX в., хотя истоки ее 

восходят к  У.Петти (XVII в.) с его «политической арифметикой», О.Курно

 и Э.Энгелю  (XIX в.), В.Парето (на  рубеже XIX и XX вв.) и др. В XIX в.  были 

разработаны  и стали использоваться в эконометрике (эконометрии) такие 

статистические  методы, как множественная регрессия, статистическая

проверка гипотез, теория  ошибок, выборочные методы (Р.Фишер, 

К.Пирсон и др.). В первой половине  XX в. появился интерес к  моделированию 

структур спроса и потребительских расходов и их эмпирической оценке

(Р.Аллен, А.Маршалл  и др.). В этот же  период формулируется  задача

 идентификации (Е.Уоркинг),  начинается изучение  производственной 

функции Ч.Кобб, П.Дуглас), статистическое  моделирование делового цикла

(Е.Е.Слуцкий, Р. Фриш).

Макроэконометрические исследования начали Я.Тинберген и  Р. Фриш,

 ставшие первыми  в истории лауреатами Нобелевской  премии по экономике

(1968). После 2-й мировой  войны важным центром развития  эконометрики 

стала  Комиссия Коулса (США). Новый инструментарий эконометрик

 получила в  результате  разработки моделей одновременных  уравнений 

(Т.Хаавелмо,  Т.Купманс,  Г.Тейл и др.). В последние десятилетия  методы

 эконометрики  сыграли  решающую роль в освоении и  развитии автоматизации

 экономических   расчетов разного уровня и  назначения. Определенный вклад

 в развитие  эконометрики  внесли советские экономисты, в  их числе 

 Е.Е. Слуцкий (1880-1948),  Л.В. Канторович (1912-86) - лауреат Нобелевской

премии по экономике 1975, и др., несмотря на ее замалчивание и  трактовку

как буржуазной,  антимарксистской  лженауки. Большая роль в ее

реабилитации принадлежала   академику B.C.  Немчинову (1894-1964):

написанная им статья «Эконометрия»  (вышла в 1965)  открыла для

отечественных экономистов  возможности этого  направления  научной 

деятельности. Многие исследователи  способствовали развитию

эконометрики, тем более что  в последние десятилетия она  была и по

сей день  остается одной из наиболее динамично развивающихся

экономических  наук.

Временные ряды.

 

 

Обычно эконометрические модели строятся на основе двух типов  исходных

данных:

· данные, характеризующие совокупность различных объектов в

определенный момент (период) времени;

· данные, характеризующие один объект за ряд последовательных

моментов (периодов) времени.

Модели, построенные  по данным первого типа, называются

пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго

типа данных, называются моделями временных рядов.

Временной ряд – совокупность значений какого-либо показателя за

несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый

уровень  временного ряда формируется под воздействием большого числа 

факторов, которые условно  можно подразделить на три группы:

· факторы, формирующие тенденцию ряда (например, инфляция влияет

 на увеличение размера  средней заработной платы);

· факторы, формирующие циклические колебания ряда (например,

уровень безработицы в курортных  городах в зимний период выше по

сравнению с летним);

· случайные факторы.

Очевидно, что реальные данные чаще всего содержат все три  компоненты. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Если же временной ряд представлен как их произведение, то такая модель называется мультипликативной.

Под временным рядом (time series) понимается последовательность наблюдений значений некоторой переменной, произведенных через равные промежутки времени. Если принять длину такого промежутка за единицу времени (год, квартал, день и т.п.), то можно считать, что последовательные наблюдения x1, ..., xn произведены в моменты

t = 1, …, n .

Основная отличительная особенность статистического анализа временных рядов состоит в том, что последовательность наблюдений

x1, ..., xn рассматривается как реализация последовательности, вообще говоря, статистически зависимых случайных величин X1, ..., Xn , имеющих некоторое совместное распределение с функцией распределения

F(v1, v2, …, vn) = P{ X1 < v1, X2 < v2, ... , Xn < vn }.

Рассмотрим в основном временные ряды, у которых совместное распределение случайных величин X1, ..., Xn имеет совместную плотность распределения p( x1, x2, … , xn).

Чтобы сделать задачу статистического анализа временных рядов доступной для практического решения, приходится так или иначе ограничивать класс рассматриваемых моделей временных рядов, вводя те или иные предположения относительно структуры ряда и структуры его вероятностных характеристик. Одно из таких ограничений предполагает стационарность временного ряда.

Ряд xt , t = 1, …, n , называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если для любого m ( m < n) совместное распределение вероятностей случайных величин X  t1……  X tm  такое же, как и для X  t1+ш…… X tm + I  , при любых t1,…, tm и I , таких, что 1 ≤ t1, … , tm ≤ n и 1 ≤ t1+ д., … , tm+ I ≤ n.

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не изменяются при изменении начала отсчета времени. В частности, при m = 1 из предположения о строгой стационарности временного ряда xt следует, что закон распределения вероятностей случайной величины Xt не зависит от t, а значит, не зависят от t и все его основные числовые характеристики (если, конечно, они существуют), в том числе: математическое ожидание E (Xt) = M и дисперсия D(Xt)= Ớ 2.

Значение  М. определяет постоянный уровень, относительно которого колеблется анализируемый временной ряд xt, а постоянная Ớ   характеризует размах этих колебаний.

Одно из главных отличий последовательности наблюдений,образующих временной ряд, заключается в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между случайными  величинами Xt и Xt+ ô может быть измерена парным коэффициентом корреляции

 

 

где

 

 

Если ряд xt стационарный, то значение не зависит от t и является функцией только от ; мы будем использовать для него обозначение :

 

В частности,

 

Соответственно, для стационарного ряда и значение коэффициента корреляции

 

зависит только от ; мы будем использовать для него обозначение

так что

 

 

В частности,

Практическая проверка строгой стационарности ряда xt на основании наблюдения значений x1, x2, …, xn в общем случае затруднительна. В связи с этим под стационарным рядом на практике часто подразумевают временной ряд xt , у которого

 

 

 

Ряд, для которого выполнены указанные три условия, называют стационарным в широком смысле (слабо стационарным, стационарным второго порядка или  ковариационно стационарным).

Если ряд является стационарным в широком смысле, то он не обязательно является строго стационарным. В то же время, и строго стационарный ряд может не быть стационарным в широком смысле просто потому, что у него могут не существовать математическое ожидание и/или дисперсия. (В отношении последнего примером может служить случайная выборка из распределения Коши.) Кроме того, возможны ситуации, когда указанные три условия выполняются, но, например, зависит от t. Ряд xt , t = 1, …, n, называется гауссовским, если совместное распределение случайных величин X1, ... , Xn является n-мерным нормальным распределением. Для

гауссовского ряда понятия стационарности в узком и в широком смысле совпадают.

В дальнейшем, говоря о стационарности некоторого ряда xt , мы (если не

оговаривается противное) будем иметь в виду, что этот ряд стационарен в широком смысле (так что у него существуют математическое ожидание и дисперсия). Итак, пусть xt – стационарный ряд c

 

Поскольку в данном случае коэффициент измеряет корреляцию между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции (или просто автокорреляцией). По той же причине о ковариациях   говорят как об автоковариациях. При анализе изменения величины в зависимости от значения принято говорить об  автокорреляционной функции .

  Автокорреляционная функция безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения могут изменяться в пределах от .1 до +1; при этом ρ(0) = 1. Кроме того, из стационарности ряда xt следует, , так что при анализе поведения автокорреляционных функций обычно ограничиваются рассмотрением только неотрицательных значений .

График зависимости часто называют коррелограммой. Он может использоваться для характеризации некоторых свойств механизма, порождающего временной ряд. При этом заметим, что если 

xt –  стационарный временной ряд и

c – некоторая постоянная, то временные ряды

xt и (xt + c) имеют одинаковые  коррелограммы.

Если предположить, что временной ряд описывается моделью стационарного

гауссовского процесса, то полное описание совместного распределения случайных величин X 1, ..., X n требует задания n+1 параметров:   

или

Это намного меньше, чем без требования стационарности, но все же больше, чем количество наблюдений. В связи с этим, даже для стационарных

гауссовских временных рядов приходится производить дальнейшее упрощение модели с тем, чтобы ограничить количество параметров, подлежащих оцениванию по имеющимся наблюдениям. Мы переходим теперь к рассмотрению некоторых простых по структуре временных рядов, которые, в то же время, полезны для описания эволюции во времени многих реальных экономических показателей.