Временные ряды. Тренды. Автокорреляция

Последовательность  коэффициентов автокорреляции уровней  первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости  ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет  определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между  текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд  содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

рассматривается как указание на значимость корреляции с 

соответствующим лагом. 

 

  Сглаживание временных рядов

 

     Сглаживание временного ряда  используется для удаления из  него 

высокочастотных компонент (которые обычно являются

несущественными, так как вызваны случайными факторами). Один из

простейших  методов сглаживания - метод скользящих или подвижных

средних (MA в  англоязычной нотации), он является одним  из наиболее

старых и  широко известных. Этот метод основан  на переходе от

начальных значений временного ряда к их средним значениям  на

некотором заданном интервале времени (длина которого называется

шириной окна). Этот интервал времени как бы скользит вдоль ряда, с 

чем и связано  название метода. В каждый момент этого  скольжения мы

видим только часть ряда, чем и вызвана “оконная”  терминология.

     Полученный в результате такого сглаживания новый временной

ряд обычно ведет  себя более регулярно (гладко), что  связано с 

удалением в  процессе сглаживания резких случайных  отклонений,

попадающих  в окно. Сглаживание полезно применять  даже в самом 

начале исследования временного ряда, так как при этом часто

удается прояснить  вопрос о наличии и характере  тренда, а также 

выявить сезонные колебания. 

     Несколько слов нужно сказать  о сезонных колебаниях. Они 

проявляются во многих временных рядах, в частности, в экономике,

метеорологии. Сезонными колебаниями называют все такие изменени,

которые соответствуют  определенному (почти) строго периодическому

ритму (не обязательно  равному одному году, как для обычных 

сезонов), присущему  Вселенной, природе или человеческой

деятельности. Такая периодичность может ярко проявляться в 

процессах человеческой деятельности, например, в изменениях объема

перевозок местным  транспортом в последние дни  каждой недели или же

утром и вечером  в течение каждого дня, в росте ошибок при

выполнении  производственных операций по понедельникам  и др. Но

наиболее типичные сезонные колебания связаны именно со сменой

сезонов года. Они затрагивают огромное число  параметров жизни 

человека (как  современного, так и в древности). Обычно при

исследовании  временных рядов стремятся выделить сезонные колебания 

для того, чтобы  их изолировать и изучить другие, более сложные 

периодические компоненты.

     Простейшее сглаживание методом  MA с шириной окна 2m+1

производится  по следующим формулам:

  x*k=(xk-m+xk-m+1+...+xk+xk+1+...+xk+m)/2m+1.   

     Выбор ширины окна диктуется  содержательными сображениями,

связанными  с предполагаемым периодом сезонных колебаний или   

с желательным  исключением определенного рода высокочастотных 

колебаний. На практике обычно при отсутствии сезонности ширину

окна берут  равной 3, 5 или 7. Не рекомендуется брать  окно шире,

чем в четверть числа анализируемых данных. Чем  шире окно, тем 

больше колебательных  компонент будет исключено и  тем более гладкий 

вид полученного при сглаживании ряда. Однако при слишком больших

окнах полученный ряд уже значительно отличается от исходного,

теряются многие индивидуальные особенности и ряд  все более 

приближается  к постоянному. Если взять ширину окна максимально 

возможной (равной общему числу данных значений x1,x2,...), то

приходим просто к постоянной величине, равной среднему значению

всех этих xi.

     Подвижные средние могут, к  сожалению, искажать кратковременные  колебания и порождать фиктивные  гармонические  

компоненты  при гармоническом анализе временных  рядов.

     Имеются различные модификации  метода MA. В некоторых из них  

используются более сложные методы усреднения (с некоторыми весами

и др.), которые  подчеркивают большую или меньшую  значимость

отдельных слагаемых. Например, часто используемое экспоненциальное

сглаживание основано на приписывании больших весов непосредственно предшествующим значениям. Этот подход очень широко распространен в социологии, экономике и других дисциплинах. 

     В настоящее время метод MA (с  различными модификациями) 

реализован  во всех  статистических пакетах  программ, а также в 

многих специализированных программах, предназначенных для

обработки экономической  и деловой информации.

     Для случайных процессов тоже  имеются разнообразные методы 

сглаживания. Здесь число методов чрезвычайно  велико, это связано с 

тем, что усреднение может производиться с помощью интегрирования с

некоторой весовой  функцией, которую можно выбирать достаточно

произвольно. Поэтому окно здесь задается не только своей шириной,

а и видом  усредняющей функции. Правильный выбор  окна представляет  собой весьма непростую задачу, этому посвящена обширная  литература. Прямоугольное окно (используемое в классическом  варианте метода MA) имеет целый ряд недостатков, которые в  классической теории рядов Фурье связывают с явлением Гиббса, в  технике именуемом вытеканием мощности. При исследовании случайных  процессов часто говорят не о сглаживании, а о фильтрации (или о  коррекции, очистке спектра), причем в области высоких частот

говорят о применении фильтра высоких частот (ФВЧ), а  в области 

низких частот – о фильтре низких частот (ФНЧ). Такого рода

терминология  принята, в частности, в теории распознавания  сигналов

и, вообще, в  теории связи.

     Другой (терминологически, но не  по существу) подход к 

сглаживанию временных  рядов и случайных процессов  основан на

модификации спектра. Если в спектре ряда просто полностью удалить

высокочастотные компоненты, то получится новый ряд, который ведет 

себя более  регулярно. Такого рода вычисление возможны только при 

наличии компьютера и специальной программы для  работы с рядами и 

преобразованиями Фурье. Эти программы входят в состав большинства

универсальных математических пакетов (Mathcad, Matlab, Maple,

Mathematica) и многих  статистических пакетов. 

    

Заключение

 

Эконометрика  – это наука, которая дает количественное выражение

 взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эта наука возникла в  результате взаимодействия и объединения трех компонент: экономической  теории, статистических и экономических методов. Становление и развитие  эконометрики происходили на основе так называемой высшей  статистики, когда в уравнение регрессии начали включаться переменные  не только в первой, но и во второй степени. В ряде случаев это необходимо  для отражения свойства оптимальности экономических переменных, т.е.  наличия значений, при которых достигается минимальное или  максимальное воздействие на зависимую переменную. Таково, например,  влияние внесения в почву удобрений на урожайность: до определенного   уровня насыщение почвы удобрениями способствует росту  урожайности, а по достижении оптимального уровня насыщения  удобрениями его дальнейшее наращивание не приводит к росту урожайности  и даже может вызвать ее снижение.

Описание экономических  систем математическими методами, или  эконометрика, дает заключение о реальных объектах и связях по результатам выборочного обследования или моделирования. Вместе с тем, чтобы сделать вывод о том, какие из полученных результатов являются достоверными, а какие сомнительными или просто необоснованными, необходимо уметь оценивать их надежность и величину погрешности. Все перечисленные аспекты и составляют содержание эконометрики как науки.       

Таким образом, сердцевиной познания в экономике  является эксперимент, предполагающий либо непосредственное наблюдение (измерение), либо математическое моделирование.

 

 

Литература

Основная:

1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.
2. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.
3. Л.В. Луговская Эконометрика в вопросах и ответах /учебное пособие, Москва 2005 . Изд-во Проспект, 208с.
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с.
5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с.
6. Е.И. Кулинич Эконометрия / Москва «Финансы и статистика» 2001, -304с.