Картографические проекции

Введение

Развитие теории К. п., как и всей картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии, математики. Научные основы картографии были заложены в Древней Греции (6—1 вв. до н. э.). Древнейшей К. п. считается  Гномоническая проекция, примененная Фалесом Милетским к построению карт звёздного неба. После установления в 3 в. до н. э. шарообразности Земли картографические проекции стали изобретаться и использоваться при составлении географических карт (Гиппарх, Птолемей и  др.). Значительный подъём картографии в 16 в., вызванный Великими географическими открытиями, привёл к созданию ряда новых проекций; одна из них, предложенная Г.Меркатором, используется и в настоящее время. Развитие военной картографии и дальнейшее увеличение объёма топографических работ в 19 в. потребовали обеспечения математической основы крупномасштабных карт и введения системы прямоугольных координат на базе, более подходящей картографическим проекциям. Это привело К. Гаусса к разработке фундаментальной геодезической проекции. Наконец, в середине 19 в. А. Тиссо (Франция) дал общую теорию искажений проекций. Развитие теории картографических проекций в России было тесно связано с запросами практики и дало много оригинальных результатов. Сегодня можно дать такое определение картографической проекции:

картографическая проекция – это  математически определенное отображение  поверхностей Земли на плоскость  карты.. Картографическая проекция является одной из составляющих математической основы карт.

Целью данной курсовой работы является изучение этой составляющей, одного из главных свойств географической карты. В связи с выявленной целью были поставлены следующие задачи курсовой работы:

• Изучить сущность картографических проекций.
• Выявить их классификацию по ряду признаков.
• Показать, что лежит в основе выбора картографических проекций и в чем заключается их распознавание.
• Изучить методы объяснения свойств картографических проекций.

При написании курсовой работы использовался метод изучения и анализа литературы и документов. Объектом исследования является, как уже говорилось выше, составляющая математической основы карты – картографическая проекция. Предмет исследования включает в себя классификацию, критерии выбора, распознавания картографических проекций, а так же их свойства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Общие сведения о картографических проекциях

 

1. Понятие о форме и размерах Земли

 

Определение общего вида и размеров Земли – одна из основных научных задач геодезии, так как без знания размеров и формы нашей планеты нельзя точно определять на ее поверхности положение геодезических пунктов, являющихся геометрической основой топографических съемок и карт.

Необходимо помнить, что  при определении формы Земли принимается во внимание ее теоретическая поверхность, которая отличается от физической или топографической. Топографическая поверхность Земли – это поверхность земной коры на суше и на дне морей и океанов. За теоретическую поверхность Земли принимается поверхность спокойной воды Мирового океана, мысленно продолженная под материками. Фигура Земли, ограниченная этой поверхностью – геоид.

Поверхность геоида очень  сложна, поэтому в картографии  вместо нее пользуются поверхностью более простой геометрической фигуры – эллипсоида вращения, размеры  и форма которого очень близки к размерам и форме геоида. Такой эллипсоид, образуемый вращением эллипса вокруг его малой оси, называется земным эллипсоидом. Полярный радиус земного эллипсоида (малая полуось b) короче экваториального радиуса (большая полуось а) на 21,5 км. (Рис.1)

Единых, общепринятых для всех стран размеров земного эллипсоида нет. В отдельных странах пользуются своими размерами эллипсоида. Земной эллипсоид, принятый в данной стране для геодезических работ и составления карт, называют референц-эллипсоидом [3].

В России  был принят референц-эллипсоид Ф.Н.Красовского, вычисленный в 1940 г. Его параметры таковы: большая  полуось (а) – 6 378 245 м; малая полуось (в) – 6 356 863 м; сжатие α = (а-в)/а – 1: 298,3 [1].

Рис.1 Земной эллипсоид.

Сжатием эллипсоида можно  пренебречь в следующих случаях:

1. При создании мелкомасштабных обзорных карт
2. Когда при заданных величинах искажений невозможно получить непосредственно проекцию эллипсоида на плоскости.

В этих случаях прибегают  к двойным преобразованиям:

Эллипсоид               Сфера               Плоскость

 

Переход от земной поверхности со всем ее рельефом к ее изображению  на карте в математическом отношении  состоит из трех самостоятельных  частей. Сначала все точки земной поверхности проектируют по нормалям на условную поверхность земного  эллипсоида (нормаль – прямая, пересекающая эту поверхность под прямым углом). Затем эллипсоид уменьшается в требуемом масштабе, при этом получается его модель – глобус. И, наконец, от поверхности глобуса осуществляется переход к плоскости. Первая часть всего этого перехода определяется геодезической основой карты и зависит, в частности, от размеров выбранного для проектирования на его поверхность земного эллипсоида и принятого его положения по отношению к поверхности Земли. Степень уменьшения эллипсоида определяется масштабом карты, точнее, ее главным масштабом. Переход от поверхности уменьшенной модели эллипсоида к плоскости определяется картографической проекцией. Геодезическая основа, масштаб и картографическая проекция являются математическими элементами карты и в совокупности составляют ее математическую основу [2].

1.2 Понятие картографической проекции

Картографическая проекция – это математически определенное отображение поверхности эллипсоида или шара (глобуса) на плоскость карты. Проекция устанавливает однозначное соответствие между геодезическими координатами точек (широтой В и долготой L) и их прямоугольными координатами (Х и Y) на карте. Уравнения проекций в общей форме могут быть выражены двумя уравнениями вида:

Х= ƒ₁ (B, L);  Y= ƒ₂ (B, L).

Конкретные реализации функций ƒ₁ и ƒ₂ часто выражены довольно сложными математическими зависимостями, их число бесконечно, следовательно, разнообразие картографических проекций практически неограниченно.

Исходная аксиома  при изыскании  любых картографических проекций состоит в том, что сферическую поверхность земного шара (эллипсоида, глобуса) нельзя развернуть на плоскость карты без искажений. То есть при изображении земной поверхности на плоскости нарушаются свойства изображения: равномасштабность, равоугольность, равновеликость; или часть их. Сохранение одних свойств может быть достигнуто лишь за счет нарушения других. Именно поэтому на карте возникает непостоянство масштабов длин и площадей.

Иногда искажения картографических проекций очень заметны, например очертания материков выглядят непривычно вытянутыми или сплющенными, а другие части изображения становятся раздутыми. Есть карты, на которых Гренландия больше Южной Америки, хотя, в действительности, она меньше ее в восемь с лишним раз. А Антарктида иногда вообще занимает весь юг карты. Искажаются не только размеры, но и формы объектов. В картографических проекциях могут присутствовать следующие виды  искажений:

• Искажения длин – вследствие этого масштаб карты непостоянен в разных точках и по разным направлениям, а длины линий и расстояния искажены;
• Искажения площадей – масштаб площадей в разных точках карты различен, что является прямым следствием искажений длин и нарушает размеры объектов;
• Искажения углов – углы между направлениями на карте искажены относительно тех же углов на местности;
• Искажения форм – фигуры на карте деформированы и не подобны фигурам на местности, что прямо связано с искажениями углов;

Любая бесконечно малая  окружность на шаре (эллипсоиде) предстает  на карте бесконечно малым эллипсом – его называют эллипсом искажений. Для наглядности вместо бесконечно малого эллипса обычно рассматривают эллипс конечных размеров (рис.2). Его размеры и форма отражают искажения длин, площадей и углов, ориентировка большой оси относительно меридиана и параллели – направление наибольшего растяжения. Большая ось эллипса искажений характеризует наибольшее растяжение в данной точке, а малая ось – наибольшее сжатие, отрезки вдоль меридиана и параллели соответственно характеризуют частные масштабы по меридиану m и параллели n. Для наглядного показа распределения искажений на картографической сетке, кроме эллипсов искажения, строят линии, соединяющие точки с одинаковыми значениями искажений углов или площадей, так называемые изоколы [1].

Рис. 2. Эллипс искажений и его элементы.

 

 

Глава 2. Классификация картографических проекций

 

2.1 Классификация проекций по характеру искажений

 По характеру искажений  все проекции делят на равноугольные, равновеликие и промежуточные.

Равноугольные проекции оставляют без искажений углы и формы контуров, показанных на карте (ранее такие проекции называли конформными). Элементарная окружность в таких проекциях всегда остается окружностью, но размеры ее сильно меняются (рис. 3в). Такие проекции особенно удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту, поэтому их всегда используют на навигационных картах. Зато карты, составленные в равноугольных проекциях, имеют значительные искажения площадей, особенно карты больших территорий [5].

Равновеликие  проекции сохраняют пропорциональность площадей на карте соответствующим площадям на земной поверхности (сохраняют площади без искажений). Такие проекции удобны для измерения площадей объектов, однако, в них значительно нарушены углы и формы, что особенно заметно для больших территорий. Например, на карте мира (рис. 3а) приполярные области выглядят сильно сплющенными.

Среди произвольных проекций выделяют равнопромежуточные, в которых масштаб длин по одному из главных направлений постоянен и обычно равен главному масштабу карты. Соответственно различают проекции равнопромежуточные по меридианам – в них без искажений остается масштаб вдоль меридианов, и равнопромежуточные по параллелям – в них сохраняется постоянным масштаб вдоль параллелей. В таких проекциях присутствуют искажения площадей и углов, но они как бы уравновешиваются (рис 3б).

Произвольные проекции – это все  остальные виды проекций, в которых в тех или иных произвольных соотношениях искажаются и площади, и углы (формы). При их построении стремятся найти наиболее выгодное для каждого конкретного случая распределение искажений, достигая как бы некоторого компромисса. Скажем, выбирают проекции с минимальными искажениями в центральной части карты, «сбрасывая» все сжатия и растяжения к краям [1].

Следует отметить, что нет и не может быть картографических проекций, в которых бы на картах совсем не искажались длины, а также формы фигур конечной величины. Это имеет место лишь на глобусе. Конечно, на картах, охватывающих небольшие территории, например на листах топографических карт, искажения всех видов (в том числе и длин и форм) крайне невелики и обычно практически не ощущаются [7].

Рис.3. Искажения в равновеликой(а), равнопромежуточной(б) и равноугольной(в) проекциях.

 

2.2 Классификация  проекций по виду нормальной  картографической сетки

 

Вспомогательными поверхностями  при переходе от эллипсоида или шара к карте могут быть плоскость, цилиндр, конус, серия конусов и  некоторые другие геометрические фигуры. Выделяют цилиндрические проекции - вспомогательной поверхностью служит боковая поверхность цилиндра, касательного к эллипсоиду, или секущего эллипсоид; конические - вспомогательной плоскостью является боковая поверхность касательного или секущего конуса; азимутальные - вспомогательная поверхность - касательная или секущая плоскость.

Цилиндрические  проекции – проектирование шара (эллипсоида) ведется на поверхность касательного или секущего  цилиндра, а затем его боковая поверхность разворачивается в плоскость (рис.4) Если ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли, а его поверхность касается шара по экватору (или сечет его по параллелям), то проекция называется нормальной (прямой) цилиндрической. Тогда меридианы нормальной сетки предстают в виде равностоящих параллельных прямых, а параллели – в виде прямых, перпендикулярных к ним. В таких проекциях меньше всего искажений в тропических и приэкваториальных областях.

Рис. 4. Построение картографической сетки в цилиндрической проекции.

Если ось цилиндра расположена в плоскости экватора, то это – поперечная цилиндрическая проекция. Цилиндр касается шара по меридиану, искажения вдоль него отсутствуют, и следовательно, в такой проекции наиболее выгодно изображать территории, вывытянутые с севера на юг. В тех случаях, когда ось вспомогательного цилиндра расположена под углом к плоскости экватора, проекция называется косой цилиндрической. Она удобна для вытянутых территорий, ориентированных на северо-запад или северо-восток.

Конические  проекции – поверхность шара (эллипсоида) проектируется на поверхность касательного или секущего конуса, после чего она как разрезается по образующей и разворачивается в плоскость (рис.5). Как и в предыдущем случае, различают нормальную (прямую) коническую проекцию, когда ось конуса совпадает с осью вращения Земли, поперечную коническую – ось конуса лежит в плоскости экватора и косую коническую – ось конуса наклонена к плоскости экватора.

В нормальной конической проекции меридианы представляют собой  прямые, расходящиеся из точки полюса, а параллели – дуги концентрических  окружностей. Воображаемый конус касается земного шара или сечет его в районе средних широт, поэтому в такой проекции удобнее всего картографировать территории России, Канады, США,  вытянутые с запада на восток в средних широтах [1].

Рис. 5. Построение сетки в равнопромежуточной конической проекции.