Вычисление площадей землепользований и контуров угодий

2. Вычисление площади по результатам измерения линий и углов на местности

 

Для определения площадей участков по результатам измерения  линий углов на местности применяют  формулы геометрии, тригонометрии  и аналитической геометрии. Таких  формул очень много. Ниже рассмотрены  наиболее употребительные  из них.

При определении площадей участков для учета площадей, занятых  строениями, усадьбами, площадей вспашки, посева участки разбивают на простейшие геометрические фигуры, преимущественно  треугольники, прямоугольники, реже трапеции, и площади участков определяют как суммы площадей отдельных фигур, вычисляемых по линейным элементам (высотам, основаниям) по общеизвестным формулам геометрии. При учете вспашки, посева, уборки урожая площади определяют также по длине маршрута агрегата и ширине его захвата.

 Если по границам участка проложен теодолитный ход, то площадь всего  участка или части его можно  вычислить по следующим формулам.

  

   

 

 

Рис.1

          Треугольник (рис.1). Определим его площадь по сторонам и и углу , заключенному между ними. Рисунок 28 показывает, что удвоенная площадь                                                              ,          (а)

но                                                   .  (б)

           Подставив равенство (б) в (а), получаем:                (7)

Если известны координаты вершин треугольника, то по формуле (1) получаем :

.

Вычтем и прибавим одно и то же произведение тогда после преобразования получим:

.

         По этим формулам площади вычислять  лучше всего на счетных машинах  путем накапливания произведений  на результативном счетчике. Такого  же вида формулы можно получить  для любого n-угольника; только с увеличением n прогрессивно увеличивается количество слагаемых в формуле, поэтому при n>6 целесообразнее вычислять площади по приращениям координат и координатам вершин полигона.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

3. Вычисление площадей графическим способом

 

Графический способ определения  площадей состоит в том, что участки, изображение на плане, разбивают  на простейшие геометрические фигуры, преимущественно на треугольники, реже на прямоугольники и трапеции. В  каждой фигуре на плане измеряют высоту и основание, по которым вычисляют  площадь. Сумма площадей фигур дает площадь участка.

Чем больше углов имеет  граница участка, тем меньше эффекта  от применения этого способа. Следовательно, для вычисления площадей участков, имеющих большое число углов, применять этот способ нецелесообразно.

Наилучшим вариантом разбивки участка на треугольники будет тот, при котором треугольники близки к равносторонним (вернее, высоты по величине близки к основаниям).

Если высоты или основания, по которым вычисляют площади  фигур, представляют линии, измеренные на местности, например стороны теодолитного полигона, то для повышения точности определения площадей длины этих линий по плану не измеряют, а  берут величины, полученные измерением на местности. Точность вычисления площади неравностороннего треугольника будет выше в том случае, если короткое основание (или высота) измерено на местности, а длинная высота (или основание) определена по плану.

Для контроля и повышения  точности вычисления площадь каждого  треугольника определяют дважды: по двум различным основаниям и двум высотам, и если расхождение допустимо, то из двух значений площади выводят  среднее. Допустимость расхождения  между двумя значениями площади  определяют по формуле

 

в которой M – знаменатель численного масштаба плана. 

 

№ треугольников с вершинами	№ измерений	Основание, м	Высота, м	Удвоенные площади, га	Средние значения удвоенных  площадей, га
1     1 – 2 – 7           2     2 – 5 – 7           3     2 – 4 – 5           4     2 – 3 – 4           5     5 – 6 – 7           6     7 – 8 – 1	I II I II I II I II I II I II	462,7 728 458 674 284,3 571 386,4 301,6 276,1 391,9 360,0 434,8	580 369 657 448 566 281 280 361 390 275 435 360	26,84 26,86 30,09 30,20 16,09 16,05 10,82 10,89 10,77 10,78 15,66 15,65	26,85   30,14   16,07   10,86   10,78   15,66
			Итого:	220,71	110,36
P = 55,18 га

                        Таблица 3                                   

Для обеспечения контроля вычислений и повышения точности при выборе высот и оснований  не следует стремиться к тому, чтобы  в смежных треугольниках они  повторялись, так как это ведет  к зависимости результатов вычислений и может привести к грубым ошибкам.

Вычисление графическим  способом площади полигона, изображенного  на рис.2, приведено в табл.3

Рисунок 2

Если известны координаты точек по границе участка и  есть счетная машина, то целесообразное применять аналитический способ.

В настоящее время в  ВИСХАГИ, в ЦНИИГАиК и в Эстонии  исследуется возможность вычисления площади по графическим координатам (взятым с плана) точек контура (полигона) при помощи ЭВМ по формуле (1)

Координаты точек для  вычисления площади определяют и  фотограмметрическим способом.

Существует также приборы, автоматически определяющие координаты точек на плане, записывающие их на перфоленту (перфокарту), передающие в память ЭВМ, которая по алгоритму (1) вычисляет площадь контура (полигона).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Измерение площади планиметром

 

При определении площади  планиметром с положением полюса вне фигуры пользуются формулой

P = pu

в которой p – цена деления планиметра, а u – число делений, полученное в результате обвода.

Прологарифмировав это выражение, затем продифференцировав полученное и перейдя к средним квадратичным ошибкам, будем иметь:

 

Относительная средняя квадратическая ошибка определения цены деления  планиметра /P при четырехкратном обводе трех квадратов координатной сетки близка к 1:1000 и влияет на ошибку определения площади, независимо от размера обводимой фигуры и числа обводов этой фигуры.

Ошибка определения числа  делений  получается как результат влияния ошибок:

1. Отсчетов по счетному ролику
2. Обводов
3. Механических (трения)
4. Несовмещения обводного индекса с исходной точкой в начале и в конце обводов.

Средняя квадратическая ошибка отсчета составляет 0,5 деления. Для  одного обвода, получаемого как разность отсчетов, она равна 0,5 деления и не зависит от размера обводимой фигуры. Вторая и третья ошибки примерно одинаковы, и можно принять, что влияние их пропорционально корню квадратному из площади обводимой фигуры. Четвертая ошибка будет наименьшей, когда при исходном положении планиметра рычаги образуют угол, близкий к прямому; по величине она примерно вдвое меньше ошибок отсчета и также не зависти от размера обводимой фигуры.

Поэтому средняя квадратическая ошибка определения площади при  одном обводе не может быть меньше 0,7 деления планиметра и относительная  средняя квадратическая ошибка не может  быть меньше 1:1000.

Общую среднюю квадратическую ошибку для одного обвода при нормальной длине обводного рычага 150 – 170 мм можно вычислить по эмпирическим формулам: при площади до 200 на плане

 

а более 200

 

В этих формулах с увеличением  числа обводов уменьшаются пропорционально корню квадратному из числа обводов все члены, кроме последних.

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Увязка площадей

 

Площади землепользований совхозов, колхозов и др. определяют аналитическим  способом, если по границам их проложены  теодолитные ходы, а также при  помощи планиметра – способом Савича и очень редко графическим  способом.

При наличии вычислительных машин становиться целесообразным, вычислять площади землепользований по графическим (или фотограмметрическим)  координатам точек границы.

Площади контуров сельскохозяйственных угодий определяют главным образом  планиметром и лишь для определения  площадей мелких контуров (менее 1 – 2 на плане) применяют палетки.

Однако в настоящее  время существует тенденция определять площади контуров сельскохозяйственных угодий по графическим (или фотограмметрическим)  координатам точек с использованием ЭВМ.

При работе полярным планиметром  руководствуются следующим:

1. Для определения площадей по плану бумагу необходимо выпрямить на гладком столе чертежной доске и закрепить. Перед работой планиметр необходимо проверить, отъюстировать (исправить), и определить цену деления путем обвода трех квадратов координатной сетки (если не применился способ Савича), по два обвода при каждом положении полюса. Цену деления выражают четырьмя значащими цифрами.
2. Если план склеен из отдельных листов бумаги и счетному ролику при обводе приходится переходить через склейку с одного листа на другой, то нужно чтобы при переходе ролика его плоскость была перпендикулярна склейке, иначе на вращение ролика влияет не только поверхность бумаги снизу, но и ребро бумаги сбоку.
3. При выборе места для установки полюса планиметра предварительно быстро обводят фигуру, чтобы убедиться, что при обводе фигуры среднее значение угла между рычагами близко к и отклонения от него в обе стороны примерно равны и не превышает , т.е. угол между рычагами не должен оказаться меньше 30 и больше .

Это требование (чтобы при  обводе угол между рычагами в среднем  был ) основывается на формулах (1) и (2), которые показывают, что если обвод фигуры производится при одном каком – либо положении полюса, то надо стремиться к тому, чтобы отклонение угла 0 от прямого в обе стороны было примерно одинаковым, потому что в этом случае происходит значительная компенсация ошибки, проистекающей от невыполнения основного геометрического условия, равносильная компенсации ошибки при обводе фигуры с положением полюса право и полюса лево.

4. Исходную точку обвода выбирают в том месте, где вращение счетного ролика оказывается самым медленным, что достигается при взаимно перпендикулярном положении рычагов планиметра. Невыполнение этого условия обычно ведет к большим погрешностям при определении площадей; так, при тупом и особенно остром углах, образуемых рычагами планиметра, малейшее несовмещение обводного шпиля с исходной точкой в начале и конце обвода, ровное 0,1 мм (разрешающая способность глаза), может дать ошибку в 2 – 3 деления.
5. Если для повышения точности определения площадей требуется обводить фигуру при двух положениях полюса, то при перекладывании рычагов из положения полюс право в положение полюс лево плюс не перемещают, а лишь переводят рычаги.
6. При определении площадей землепользовании или секции фигуру обводят по 2 раза при каждом положении полюса (планиметром МИИЗ можно обводить по 1 разу при каждом положении полюса). Площади контуров ситуации определяют двумя обводами при одном положении полюса (при работе планиметром МИИЗ можно ограничиться одним обводом).
7. Обводной шпиль или обводное стекло ведут плавно выбирая все извилины контура. При обводе фигур, ограниченных длинными прямыми линиями, не следует пользоваться линейкой, так как это ведет к ошибку по всей линии контура в одну сторону.
8. Если расхождение между результатами обводов превышают два деления при площади 200 делений, три деления – при площади от 200 до 2000 делений и четыре деления – при площади свыше 2000 делений, то обводы повторяют.
9. Если ситуация плана изобилует мелкими контурами в несколько квадратных сантиметров, то площади их определяют способом повторений, обводя их 3 – 4 раза подряд и беря отсчеты перед первым обводом и после завершения последнего. Разность отсчетов делят на число обводов. Площади мелких контуров можно также определять, уменьшив длину обводного рычага.
10. Площади узких контуров: дорог, канав, ручьев, речек, арычной системы, полос отчуждения полезащитных лесных полос и др. вычисляют как площади прямоугольников, у которых длину определяют по плану, а ширину измеряют на местности или тоже берут с плана. Площади узких контуров определяют по шкалам, изготовляемым самим исполнителем по такому же правилу, по которому изготовляются линейный масштаб.