Зональная и условная система плоских прямоугольных координат.

 

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Магнитогорский государственный  технический университет 

им. Г. И. Носова»

(ФГБОУ ВПО «МГТУ»)

 

 

 

 

 

 

Кафедра геологии и геодезии

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа №1

По дисциплине «Геодезия»

Вариант А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент Казиканов  Н. Г.

Группа: « Открытые горные работы»

Шифр:

Курс: 1

Преподаватель: Колесатова О. С.

 

 

 

 

Магнитогорск 2011 г.

 

 

 

Задание №1

1. Зональная и условная система плоских прямоугольных координат.

Зональная прямоугольная  система координат

Как отмечалось выше, наиболее рациональна в практическом отношении  плоская прямоугольная система  координат. Однако применить её на поверхности  эллипсоида проблематично. Известно, что поверхность сфероида нельзя изобразить на плоскости без искажений, то есть невозможно соблюсти полного подобия геометрических построений на плоскости и поверхности эллипсоида. Поэтому найти такой закон изображения поверхности эллипсоида на плоскости проекции, искажения на которой были бы минимальны, является задачей первостепенной важности.

В настоящее время  в картографии законов изображения  поверхности эллипсоида на плоскости  множество, что зависит от целевого назначения проекций. В геодезии желателен такой закон изображения, который обеспечивал всю территорию страны единой системой плоскихпрямоугольных координат, что приводит к единообразию математической обработки результатов измерений и единой системе создания топографических карт. При этом искажения на плоскости проекции должны быть минимальными или искажались бы не все элементы геодезических построений, а только некоторые из них, например, длины сторон, и чтобы в пределах определённой зоны масштаб изображения можно было считать постоянным. Такими свойствами обладают конформные проекции:

а) угловые искажения  отсутствуют;

б) масштаб в данной точке одинаков по всем направлениям;

в) в пределах небольших  участков масштаб можно считать  практически постоянным;

г) изображение небольших участков подобно натуре.

Перечисленными свойствами обладает принятая в  странах СНГ система плоских прямоугольных координат в проекции Гаусса-Крюгера. Гаусс предложил и обосновал эту проекцию, а Крюгер дал рабочие формулы для вычислений в этой проекции.

Система координат Гаусса-Крюгера  определяется следующими условиями:

а) изображение на плоскости  равноугольное;

б) осевой меридиан и экватор  изображаются на плоскости проекции прямыми линиями, принимаемыми за оси  абсцисс и ординат с началом  координат в точке их пересечения;

в) масштаб вдоль осевого  меридиана постоянен и принят равным единице.

В своей проекции, которая  называется равноугольной поперечно-цилиндрической, Гаусс предложил поверхность эллипсоида делить меридианами на зоны шириной 6о по долготе (рис.5).

Здесь возникает новое  понятие меридиана – осевой, объяснение которому будет дано ниже.

Графически проекция Гаусса может быть объяснена следующим  образом (рис.6).

В цилиндр соответствующего диаметра помещается сфероид таким  образом, чтобы средний (осевой) меридиан зоны касался поверхности цилиндра, а крайние меридианы развертывались на поверхность цилиндра с минимальным искажением.

Если прокатить сфероид (шар- для лучшего понимания геометрии  проекции) по цилиндру, поворачивая  его на 6о и выделяя полученную зону на поверхности цилиндра, то после разрезания последнего вдоль полюсов и развёртки его на плоскость получим общую картину изображения эллипсоида в проекции Гаусса-Крюгера

Как видим, в каждой зоне имеются две взаимно перпендикулярные прямые линии, отвечающие условию системы плоских прямоугольных координат. В каждой зоне осевой меридиан принимается за ось абсцисс, а экватор (общий для всех зон) за ось ординат с положительным направлением соответственно на север и восток.  Линии, параллельные осевому меридиану и экватору, образуют координатную сетку. Таким образом, получена система плоских прямоугольных координат, жёстко привязанная к поверхности эллипсоида, – начало координат для каждой зоны имеет: широту В = 0,  долготу LO,N = N x  6o – 3o. Здесь N – номер зоны, Всего зон 60 и счёт их ведётся к востоку от Гринвича

Из анализа рис.6 видно, что наличие 60 зон приводит к тому, что разные точки (а, в, с, d) в разных зонах могут иметь одинаковые координаты. Чтобы избежать возникающей  неопределённости и отрицательных значений ординат, немецкий учёный Баумгард предложил к величине ординаты прибавлять 500 км и к полученному результату приписывать  номер зоны. Например, действительные координаты точки  D в четвёртой зоне (см. рис.7) равны:

Х = 6 311 524 м, У = – 182 365 м.

По предложению Баумгарда  эти координаты будут записаны:

Х = 6 311 524 м,   У =  317 635 м.

Как показали исследования, шестиградусные координатные зоны вполне удовлетворяют по точности мелкомасштабные  съёмки. В проекции Гаусса-Крюгера  искажения длин линий возрастают по мере удаления от осевого  меридиана и достигают максимальных значений на краю зоны.

Величина искажения  может быть рассчитана по формуле

где    Уср= ,  R – средний радиус кривизны, Х1 У1 и  Х2 У2 – координаты концов отрезка S.

Искажения  в длинах линий  на краю зоны достигают в относительном выражении величин   . Такие искажения недопустимы при крупномасштабных съёмках – при съёмке в масштабе 1:5000 и крупнее.

Решение  этой проблемы было предложено Баумгардом, путём применения трёхградусных координатных зон с долготой осевых меридианов

LО,n= n ●30,

где  n – номер трёхградусной зоны.

В трёхградусной зоне максимальные искажения изображений  в         4 раза меньше максимальных искажений шестиградусных зон.

В некоторых случаях  для участков, расположенных на краях зон, целесообразно применять частные системы координат, принимая за осевой меридиан, линию в середине участка. Действительно, как показал анализ влияния кривизны Земли на измерения длин линий (см. рис.2), в пределах 20 км поверхность эллипсоида можно принимать за плоскость.

При длине  d = 10 км и R = 6371 км  d = 1 см, что в относительном выражении  будет равно      .

Эта величина соответствует  максимальной точности при измерении  расстояний на земной поверхности. Отсюда следует, что в практическом отношении, особенно, на краях зоны целесообразно использовать частные плоские прямоугольные системы координат.

2. Ориентирование  линий. Азимуты, румбы, дирекционные  углы.

Ориентировать линию - значит определить ее направление относительно меридиана.

Вообразим в данной точке  земной поверхности отвесную линию; плоскость, проходящая через эту  отвесную линию и ось вращения Земли, называется плоскостью географического  или истинного меридиана в  данной точке.

Углы ориентирования

Направление истинного меридиана определяется на данной точке при помощи астрономических наблюдений, а направление магнитного меридиана - при помощи магнитной стрелки, которая устанавливается под действием земного магнетизма в направлении магнитного меридиана.

Конец стрелки, обращенный северному полюсу Земли, называют северным, а другой конец - южным. Магнитный меридиан в данной точке земной поверхности, как правило, не совпадает с истинным: угол между ними называется склонением магнитной стрелки.

Склонение называют восточным или западным, смотря по тому, отклоняется ли северный конец магнитной стрелки к востоку или к западу от географического меридиана.

Для ориентирования линий  служат углы ориентирования, называемыеазимутами, дирекционными углами и румбами.

Азимуты.

Азимутом называется горизонтальный угол, отсчитываемый  от северного направления меридиана по ходу часовой стрелки до направления данной линии;азимуты могут иметь значения от 0 до 360°. Азимут называется истинным, если он отсчитывается от истинного меридиана, и магнитным, если он отсчитывается от магнитного меридиана.

Если линия СЮ есть истинный меридиан, то и азимуты этих линий будут истинными азимутами. Если же СЮ – магнитный меридиан, то эти углы - магнитные азимуты.

Так как меридианы  в разных точках Земли не параллельны  между собой, тоазимут одной и той же линии в разных ее точках различен. Так, для линии М1М2азимут в точке М1 равен А1, в точке М2—А2; азимут А2 отличается от азимутаА1 на величину угла γ между меридианами этих точек. Этот угол γ называется сближением меридианов. Его легко представить, если провести мысленно через одну из двух данных точек направление, параллельное меридиану другой точки. На угол γ представлен как угол между меридианом С2Ю2 точки М2 и направлением С1

Если точки М1 и М2 близки, то можно принять γ=0, и тогда А2=А1, а меридианы в соответствующих точках можно рассматривать как параллельные.

Азимут данного направления называется прямым, а противоположного - обратным.

Для линии M1M2 А1 и А2—прямые азимуты этой линии в разных ее точках, А2 - обратный азимут той же линии в точке М2.

т. е. прямой и  обратный азимуты одной и той же линии в разных ее точках отличаются между собой на 180°+ γ; прямой и обратный азимуты данной линии в одной и той же точке различаются на 180°.

 

Дирекционные  углы.

Дирекционные углы применяются  в геодезии для ориентирования линий относительно осевого меридиана, или линии, ему параллельной. дирекционный угол отсчитывается от северного направления осевого меридиана или линии, ему параллельной, по ходу часовой стрелки до направления данной линии в пределах 0 - 360°.

т. е. разность между истинным азимутом и дирекционным углом какой-нибудь линии в данной на ней точке равна сближению истинного меридиана в этой точке с осевым меридианом зоны.

Но обыкновенно сближение  меридианов для точек, расположенных  к западу от осевого меридиана, выражают числом отрицательным. В отличие  от азимута Адирекционный угол а одной и той же линии в разных ее точках остается постоянным.

На небольших участках, когда по малости величиной γ  можно пренебречь и меридианы  в различных точках рассматривать  как параллельные между собой, то один из них, с которым совмещают ось абсцисс произвольной системы прямоугольных координат, принимается за осевой меридиан. В таких случаях направления линий определяются дирекционными углами.

Румбы.

Иногда на практике удобнее  определять направление линий острыми  углами. В этих

случаях пользуются румбами. Румбом, называется острый горизонтальный угол отсчитываемый от ближайшего направления меридиана (северного или южного) до данной линии. Румбы могут иметь значения только в пределах между 0 и 90°. Чтобы определить румбом направление данной линии относительно меридиана, необходимо, кроме числового значения румба, указать название той четверти, в которой проходит линия.

В зависимости от того, отсчитываются ли румбы от магнитного или истинного меридиана, их называют магнитными или истинными.

Для линий юго-восточного направления азимут и румб в сумме составляют 180°. Если линия проходит в юго-западной четверти, то ее азимут больше румба на 180°,

и, наконец, для линий  северо-западного направления азимут и румб составляют в сумме 360°. Эти соотношения позволяют переводить азимуты в румбы и обратно. Прямой и обратный румбы в одной и той же точке данной линии равны, но имеют названия противоположных четвертей. Прямой и обратный румбы одной и той же линии в разных ее точках имеют названия противоположных четвертей и отличаются на величину сближения меридианов в этих точках. Осевые прямой и обратный румбы одной и той же линии в разных ее точках имеют названия противоположных четвертей, но равны по величине.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №2

Вычисление  исходных дирекционных углов линий;

решение прямой геодезической задачи.

Задача № 1

Дано:

αАВ = 88º 39,2´

Правый угол при т. В (между сторонами АВ и  ВС) β1=189º 59,2´;

Правый угол при т. С (между сторонами ВС и  СD) β2=159º 28,0´;

Найти: дирекционные углы линии ВС и СD, если известны дирекционный угол αАВ линии АВ и измеренные по правому ходу углы β1 и β2.

Решение:

Дирекционный  угол вычисляется по правилу: дирекционный угол последующей стороны равен  дирекционному углу предыдущей стороны  плюс 180º и минус горизонтальный угол, справа по ходу лежащий

Следовательно,

αВС = αАВ +180º - β1;

αСD = αВС +180º - β2;

αВС = 88º 39,2´+ 180º - 189º 59,2´=78º40,0´

αСD = 78º 40,0´+180º - 159º 28,0´ = 99º 12,0´