Моделирование работы заправочной станции

Среди возможностей MathCAD можно выделить:

• Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами
• Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)
• Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте
• Выполнение вычислений в символьном режиме
• Выполнение операций с векторами и матрицами
• Символьное решение систем уравнений
• Аппроксимация кривых
• Выполнение подпрограмм
• Поиск корней многочленов и функций
• Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей
• Поиск собственных чисел и векторов
• Вычисления с единицами измерения

 

Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров

С помощью MathCAD инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения. 
 
 
 
 
 

-7- 

II. ЗАДАНИЕ ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ 

1.Постановка задачи.

Предприятие розничной  торговли расширяет площади магазинов по реализации товаров народного потребления. С ростом площадей растёт прибыль от реализации разнообразной продукции.  Динамика роста площадей и прибыль от реализации продукции заданы в таблице. 

х- торговые площади (тыс. м2 )	1	1.2	1.6	2	2.4	2.7	3.2	3.6	4	4.2	4.6	5
Y- прибыль от реализации продукции (млн. руб.)	1.4	2.5	2.4	4.9	5.6	6.2	7.7	11.5	10.9	11.9	13.3	13.6

 

Аппроксимировать  эту зависимость методом наименьших квадратов с помощью функций  , , . Сравнить результаты полученных вычислений и выбрать наилучшую модель по величине индекса корреляции. Результаты расчётов отобразить графически. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

-8- 

2. Кубическая парабола.

Функция:      

применяя метод наименьших квадратов, мы получим уравнение:                                                                         

Для нахождения значений неизвестных коэффициентов  a₀, a₁, a₂ , a₃ при которых функция S(a₀, a₁, a₂, a₃) была бы минимальной, необходимо приравнять частные производные по этим величинам к нулю, т.е.

Проведя соответствующие  преобразования, получим систему  нормальных уравнений:

 

Для определения  величин а₀ , а_1, а₂ , а₃ в кубической параболе необходимо вычислить следующие значения:  
 
 
 
 
 

-9- 

Расчет  параметров уравнения кубической регрессии:

 
 

 

Эту систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными можно решить методом Гаусса. Система нормальных уравнений имеет решение:

 
 
 
 

В результате расчетов получаем:  а₀=1.7533, а₁= -1.7432, а₂=1.8971, а₃= -0.2141

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:  

Y_x= 1.7533 - 1.7432*x + 1.8971*x² – 0.2141*x³ 
 
 
 
 
 
 
 
 

-10- 

Справедливость  результатов классического расчёта  коэффициентов уравнения кубической регрессии подтверждается использованием встроенной функции regress:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Квадратная парабола.

Функция:   

применяя метод  наименьших квадратов, мы получим уравнение:

Для нахождения значений неизвестных коэффициентов  a₀, a₁, a₂ при которых функция S(a₀, a₁, a₂) была бы минимальной, необходимо приравнять частные производные по этим величинам к нулю, т.е.

Получим систему нормальных уравнений:

 
 
 
 

-11- 

Все необходимые  вычисления были сделаны ранее в  кубической регрессии. Таким образом, можно сразу рассчитать  коэффициенты уравнения функцией regress:

 
 
 
 
 
 
 
 

4. Степенная функция.

Функция:   

применяя метод  наименьших квадратов, мы получим уравнение:

Для нахождения значений неизвестных коэффициентов a₀, a₁, a₂ при которых функция S(a₀, a₁, a₂) была бы минимальной, необходимо приравнять частные производные по этим величинам к нулю, т.е.

Получим систему нормальных уравнений:

 

Для определения  величин а₀ , а₂ в кубической параболе необходимо вычислить следующие значения:  
 
 
 

-12- 

Расчет  параметров уравнения регрессии:

 
 

Эту систему уравнений так же как и в случае с кубической параболой можно решить методом Гаусса. Система нормальных уравнений имеет решение:

 

На графике  показаны экспериментальные данные и уравнение степенной регрессии

 
 
 
 
 
 
 
 

-13- 

5.Коэффициент взаимной корреляции.

Обычно  коэффициент корреляции r применяется только в тех случаях, когда между данными существует линейная связь. Если же связь нелинейная, то пользуются индексом корреляции, который рассчитывается по формуле:

где y_i – экспериментальные значения, Y_i – теоретические значения (рассчитанные по подобранной МНК формуле), М_y – среднее значение y.

Индекс  корреляции по своему абсолютному значению колеблется в пределах от 0 до 1. При  наличии функциональной зависимости  индекс корреляции близок к 1. При отсутствии связи R практически равен 0. Индекс корреляции является мерой тесноты связи для нелинейных зависимостей.

С учетом вышесказанного исследователь для одной выборки  экспериментальных данных обычно создает  несколько регрессионных моделей  и по коэффициенту взаимной корреляции определяют наилучшую модель.

Вычислим коэффициенты взаимной корреляции к вышеизложенной задаче:

А)Для кубической параболы:

Рассчитаем значения функции по уравнению регрессии  в зависимости от значений элементов  вектора х

 

Определим сумму  квадратов разностей экспериментальных  значений и теоретических значения, рассчитанных по формуле. Вычислим среднее по выборке результативного признака Y. Определим сумму квадратов разностей экспериментальных значений и среднего по выборке. 

 
 
 
 
 
 

-14- 

Определяем коэффициент  взаимной корреляции

 
 
 
 
 
 
 

Б)Для квадратной параболы:

Примечание: так  же как и в случае для кубической параболы схема вычисления данных будет  такой же.

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

-15- 

В)Для степенной  функции:

Расчёты коэффициента взаимной корреляции для разнообразных  типов функций вычисляются стандартными шагами. И как в предыдущих случаях схема вычислений не изменится.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таким образом, показано, что индекс корреляции наибольший у модели кубической параболы и составляет R = 0.9894. следовательно, эта модель наилучшим образом описывает исходные данные задачи.