Применение теории вероятностей

Ранее математики чаще всего оперировали самим количеством исходов; историки полагают, что замена количества на «частоту» (то есть деление на общее количество исходов) была стимулирована статистическими соображениями: частота, в отличие от количества, обычно имеет тенденцию к стабилизации при увеличении числа наблюдений. Определение вероятности «по Бернулли» сразу стало общепринятым, его воспроизводили Абрахам де Муавр в книге «Учение о случаях» (1718) и все последующие математики. Единственное важное уточнение — о том, что все «элементарные исходы» обязаны быть равновероятны, — сделал Пьер-Симон Лаплас в 1812 году. Если для события невозможно подсчитать классическую вероятность (например, из-за отсутствия возможности выделить равновероятные исходы), то Бернулли предложил использовать статистический подход, то есть оценить вероятность по результатам наблюдений этого события или связанных с ним.

В первой части своего трактата Бернулли полностью перепечатывает книгу Гюйгенса, которой он даёт самую высокую оценку, и существенно дополняет собственными комментариями. В частности, он приводит общую «формулу Бернулли»: если вероятность события равна , то вероятность того, что в испытаниях событие случится раз, равна . Далее Бернулли подробно излагает комбинаторику и на её основе решает несколько задач со случайным выбором. В последней части книги, оставшейся недописанной, Бернулли собирался рассмотреть экономические и другие практические приложения теории вероятностей.

Огромное значение как для теории вероятностей, так и для науки в целом имел доказанный Бернулли первый вариант закона больших чисел (название закону дал позже Пуассон). Этот закон объясняет, почему статистическая частота при увеличении числа наблюдений сближается с теоретическим её значением — вероятностью, и тем самым связывает два разных определения вероятности. В дальнейшем закон больших чисел трудами многих математиков был значительно обобщён и уточнён; как оказалось, стремление статистической частоты к теоретической отличается от стремления к пределу в анализе — частота может значительно отклоняться от ожидаемого предела, и можно только утверждать, что вероятность таких отклонений с ростом числа испытаний стремится к нулю. Вместе с тем отклонения частоты от вероятности также поддаются вероятностному анализу.

XIX век

В XIX веке число работ по теории вероятностей продолжало расти, были даже компрометирующие науку попытки распространить её методы далеко за разумные пределы — например, на область морали, психологии, правоприменения и даже богословия. В частности, валлийский философ Ричард Прайс, а следом за ним и Лаплас, считали возможным рассчитать по формулам Байеса вероятность предстоящего восхода Солнца, Пуассон пытался провести вероятностный анализ справедливости судебных приговоров и достоверности показаний свидетелей[40]. Философ Дж. С. Милль в 1843 году, указав на подобные спекулятивные применения, назвал исчисление вероятностей «позором математики». Эта и другие оценки свидетельствовали о недостаточной строгости обоснования теории вероятностей.

Математический аппарат теории вероятностей тем временем продолжал совершенствоваться. Основной сферой её применения в тот период была математическая обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности, а также расчёты рисков в страховом деле и других статистических параметров. Среди главных прикладных задач теории вероятностей и математической статистики XIX века можно назвать следующие:

• найти вероятность того, что сумма независимых случайных величин с одинаковым (известным) законом распределения находится в заданных пределах. Особую важность эта проблема представляла для теории ошибок измерения, в первую очередь для оценки погрешности наблюдений;
• установление статистической значимости различия случайных значений или серий таких значений. Пример: сравнение результатов применения нового и старого видов лекарств для принятия решения о том, действительно ли новое лекарство лучше;
• исследование влияния заданного фактора на случайную величину (факторный анализ).

Уже к середине XIX века формируется вероятностная теория артиллерийской стрельбы. В большинстве крупных стран Европы были созданы национальные статистические организации. В конце века область применения вероятностных методов начала успешно распространяться на физику, биологию, экономику, социологию.

XX век

Теоретические вопросы и математические методы

В XX веке исследования Чебышёва и Маркова продолжили А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров и др. В частности, Ярл В. Линдеберг (1922) и Колмогоров (1926) нашли условия, необходимые и достаточные для выполнения закона больших чисел.

Математический аппарат теории вероятностей значительно обогатился во многих направлениях. После разработки теории меры это общее понятие оказалось удобно применить к теории вероятностей, то есть рассматривать вероятность как меру (конечного или бесконечного) множества «благоприятных событий». Такой подход позволяет описывать и исследовать свойства вероятности на хорошо разработанном языке теории множеств.

В теории динамических систем было обнаружено, что решения дифференциальных уравнений некоторых систем ведут себя как случайные процессы. Это крупное открытие привело к созданию понятия «динамический хаос» и общей «теории хаоса». Одним из примеров является «задача трёх тел» небесной механики.

До XX века использовались в основном нормальное, биномиальное и (иногда) пуассоновское распределения, однако практически полезными оказались и многие другие теоретические законы. Например, логнормальное распределение часто встречается в ситуациях, когда исследуемая величина есть произведение нескольких независимых положительных случайных величин.

Вероятностные методы оказались плодотворными во многих областях теоретической и прикладной математики, даже в таких классических, как теория чисел или логика. В свою очередь, современная теория вероятностей использует методы и подходы, разработанные в функциональном анализе, топологии и других разделах математики, появившихся в XX веке.

Случайные процессы

Понятие случайного (или стохастического) процесса(см. примечание 3), возникшее в начале XX века, стало одним из центральных, быстро развивающихся и наиболее полезных применений теории вероятностей. Случайный процесс — это переменная во времени случайная величина. Первые исследования случайных процессов касались в основном электроники и сообщений теории связи, в наши дни можно привести в качестве примеров временные ряды в экономике или медицине, регистрограммы теории механизмов, статистику жизни биологии популяций. Широкую сферу практического применения имеет теория массового обслуживания. Среди типовых задач анализа случайных процессов:

• прогнозирование развития процесса, исходя из его прошлой истории;
• надёжное выделение сигнала на фоне шумовых помех;
• оценка и оптимизация параметров (например, вероятного времени безотказной работы);
• фильтрация входного случайного процесса для получения желаемого выходного процесса.

Проведена классификация типов случайных процессов, разработаны аналитические средства их исследования (корреляционная и ковариационная функции, спектральное разложение). Для анализа процессов разработаны такие новые средства, как стохастические дифференциальные уравнения, стохастический интеграл, средства спектрального анализа и фильтрации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применение теории вероятностей

Элементы комбинаторики

В теории вероятностей часто приходится иметь дело с задачами, в которых необходимо подсчитывать число возможных способов совершения каких-либо действий. Задачи такого типа называются комбинаторными, а раздел, занимающийся решением таких задач,- комбинаторикой(см. приложение 4).

Сформулируем два универсальных правила, применяемых при решении комбинаторных задач:  
Правило произведения. Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то m действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие- n2 способами и так до m-го действия, которое можно выполнить nm способами, то все действия могут быть выполнены n1n2…nm способами.

Правило суммы. Пусть требуется выполнить одно из каких-либо m действий, взаимоисключающих друг друга. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами и так до m-го действия, которое можно выполнить nm способами, то выполнить одно из этих действий можно (n1+n2+…nm) способами.

Понятие факториала(см.приложение 5) активно используется в комбинаторике. Факториалом натурального числа n называется число

n!=n(n-1)(n-2)…3*2*1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Классическое определение вероятности

Классической вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) – вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события  равна 0;

2) Вероятность достоверного события  равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного  событию А,

Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Кроме того, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. Однако такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности.

 

 

 

 

Статистическая вероятность

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где – вероятность появления события А;

– относительная частота появления события А;

- число испытаний, в которых появилось  событие А;

- общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример: Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

.

Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

· Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

· События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

· Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

 

Аксиоматическое построение теории  вероятности

Сущность аксиоматического построения научной теории, вообще, и теории вероятностей, в частности, состоит в том, что при нем в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные предложения теории (теоремы, формулы, правила и приемы анализа) получаются как логические следствия аксиом.

Чтобы аксиоматика приводила к содержательным теоретическим построениям, формально-логические определения и аксиомы должны отражать реальные понятия и отношения между ними. При этом основной задачей теории является не выяснение содержания исходных понятий, а установление связи между вероятностями различных событий или построение законов распределения случайных величин.

Применительно к теории вероятностей аксиоматический подход в современном виде был разработан академиком А.Н. Колмогоровым в 1933 году.

При аксиоматическом построении теории вероятностей, т.е. при ее формально-логическом обосновании, понятие случайного события не является первичным, а строится из более элементарных понятий. Первичным является понятие пространства элементарных событий.

Пространством элементарных событий W называется множество всех возможных взаимоисключающих исходов эксперимента. Элементы пространства W называются элементарными (простыми, неразложимыми) событиями и обозначаются буквой w. Такие события содержат только один исход.

 

Если W - конечное или счетное множество, то пространство элементарных событий называется дискретным и записывается в виде W= {w1, w2,…, wn} или W= {w1, w2,…, wn,…}.

Случайным событием (или просто событием) называется подмножество пространства элементарных событий; любое событие А это подмножество множества W: AÌ W.

Пусть опыт состоит в подбрасывании игральной кости. Тогда пространство элементарных событий имеет вид: W= {1, 2, 3, 4, 5, 6}= {w1, w2, w3, w4, w5, w6}.

Рассмотрим события: А - выпадение четного числа очков, В - выпадение простого числа, С - выпадение пяти очков. Эти события описываются следующими подмножествами из множества W: