Применение теории вероятностей

A= {2, 4, 6}ÌW , B={1, 2, 3, 5}ÌW, C={5}ÌW.

В данном случае события А и В являются составными (разложимыми), так как появление этих событий эквивалентно выпадению одного из чисел, образующих подмножества А и В. Однако, событие С будет неразложимым, т.е. элементарным событием.

Из примера видно, что любое событие, связанное с данным опытом, должно распадаться на элементарные, т.е. представляться в виде суммы некоторого множества элементарных событий.

Рассмотрим еще пример. Пусть в урне имеется четыре шара, пронумерованных от 1 до 4. Из урны последовательно извлекаются два шара. Интересующее нас событие А - первый извлеченный шар нечетный, а второй - четный. Опишем пространство элементарных событий (всевозможные исходы) и событие А. В данном случае все возможные случаи описываются следующим множеством

W= {(1, 2), (1, 3), (1,4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.

Подмножество А имеет вид: A= {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)}.

Все правила включения, операции объединения, разности, пересечения совместно со всеми основными законами алгебры множеств применяются без изменений и к событиям.

В случае дискретного пространства элементарных событий W событием является любое подмножество из W. При этом пользуются классом всех подмножеств множества W. Для определения вероятности любого события А достаточно знать вероятности элементарных событий. Вероятность события А может быть определена как сумма вероятностей элементарных событий, образующих множество А:

Следовательно, в случае конечного пространства W задание вероятностей элементарных событий позволяет определить вероятность любого исхода эксперимента. На практике вероятности элементарных событий определяются либо из соображений, связанных с симметрией опыта, либо на основе опытных данных.

На практике часто множество W является непрерывным. Например, при измерении координат цели, напряжения, температуры, давления и других величин пространство элементарных событий является континуумом (несчетным множеством). В таких ситуациях задать вероятность на W посредством задания вероятностей элементарных событий нельзя, так как эти вероятности не могут быть отличны от нуля. Действительно, если приписать положительные вероятности элементарным событиям, образующим несчетное множество, то сумма (несчетная) этих вероятностей может быть равна только бесконечности.

При непрерывном пространстве W ограничиваются наименьшим классом событий. В качестве событий рассматриваются только такие подмножества из W, которым можно приписать вероятность, т.е. измеримые множества. При этом требуется, чтобы система F всех таких подмножеств содержала W и была замкнута относительно операций сложения, произведения и дополнения, т.е. система F подмножеств из W, рассматриваемых в качестве событий, должна удовлетворять следующим требованиям.

1. W должно быть событием, т.е. WÎF.

2. Если в систему F входят подмножества А и B, то в нее входят также множества А+B, АВ, и .

3. Если каждый элемент последовательности  событий А1, А2,...,Аn,.. принадлежит системе F, то их сумма и произведение также принадлежат этой системе.

Система множеств F, удовлетворяющая условиям 1-2, называется алгеброй, а система F, удовлетворяющая условиям 1-3 - s-алгеброй.

Таким образом, в качестве событий рассматриваются только такие подмножества из W, которые образуют алгебру или s-алгебру, т.е. подмножества, принадлежащие системе F. Если W - конечное множество, то событием является любое подмножество из W, а система F всех подмножеств образует алгебру. Если W - счетное множество, то событием также является любое подмножество из W, при этом система F всех подмножеств из W образует s-алгебру. Если W -континуум (интервал или вся числовая ось), то событиями являются лишь те подмножества из W, которые принадлежат борелевской s-алгебре, т.е. совокупность множеств, образованных из интервалов с помощью конечного или счетного числа операций объединения, пересечения и взятия дополнения.

При описании дискретных или непрерывных пространств исходов иногда встречаются соответственно названия булевское поле, борелевское поле.

Аксиометрическая теория А.Н. Колмогорова основывается на четырех аксиомах, с помощью которых вводятся понятия вероятности и некоторые их свойства как для конечного множества элементарных событий, так и для любого бесконечного множества.

Аксиома 1. Каждому событию А, принадлежащему F, ставится в соответствие неотрицательное число Р(A), которое называется вероятностью события А.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице: P(W)= 1.

Аксиома 3. (аксиома сложения вероятностей). Если А и В - несовместные события, то Р(А+B)= P(А) + Р(B).

Аксиома 4.(расширенная аксиома сложения). Если А1, А2,..., Аn,... - попарно несовместные события, то

Р(А1 + А2.+…+ Аn, + …)= P(А1) +P(А2) +...+ P(Аn)+…

Тройку (W, F, P), в которой Р удовлетворяет аксиомам 1-4, а множество F не только является алгеброй событий, но и содержит счетные суммы и произведения событий, называют вероятностным пространством.

Система аксиом 1-4 вероятностного пространства дает самую общую математическую модель случайных явлений. Аксиомы представляют абстрактные эквиваленты свойств частоты появления события при многократном повторении опыта в неизменных условиях. Аксиома 1 постулирует статистическую устойчивость частоты в длинной серии испытаний и отображает основное свойство частоты, а именно, частота случайного события есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей.

Аксиома 2 постулирует достоверность появления какого-либо результата из множества возможных. На основании правила сложения частот вводятся аксиомы 3 и 4.

Таким образом, аксиомы теории вероятностей введены так, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты. Только в таком случае данная теория будет хорошо согласовываться с опытом.

Из приведенных аксиом вытекает ряд следствий.

1. Вероятность невозможного события равна нулю: P(Æ)=0.

2. Для любого события А справедливо соотношение

3. Каково бы ни было случайное  событие А, 0£Р(А)£1.

4. Если АÌВ, то Р(А)£Р(В).

5. Если А и В - два произвольных события, то P(A+B)= P(A) + P(B) – P(AB).

6. Если А1, А2,..., Аn - произвольные события, то

P(А1 + А2 + … Аn) £ P(А1) + P(А2) +...+ P(Аn).

Аксиомы 1-4 составляют основу всей теории вероятностей. Все теоремы, правила этой теории выводятся из них формально-логическим путем. Так, например, исходя из очевидного соотношения между подмножествами и используя аксиомы 2 и 3, получаем, что .

Так как Р(A) и Р( ) неотрицательные числа, то Р(A)£1.

Этот факт не содержится непосредственно ни в одной из аксиом.

В качестве другого следствия аксиом получим формулу

 
P(A+B)= P(A) + P(B) – P(AB), (1.9.1)

где А и В - совместные события. Для этого рассмотрим следующие соотношения между событиями как между подмножествами множества W (рис.1.13):

Применяя к обоим равенствам аксиому сложения, получим два числовых равенства:

Вычитая из последнего равенства предыдущее, получим Используя выражение (1), можно получить формулу для P(A1+A2+A3). Обозначим А= А1+А2, B= А3. Тогда из (1) и формулы AB= A1A3+A2A3 следует, что

P(A1+A2+A3)= P(A1+A2) + P(A3) - P(A1A3+A2A3)= P(A1) + P(A2) - P(A1A2) + P(A3) - [P(A1A3) + P(A2A3) - P(A1A3A2A3)]= P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3).

Рассмотрим несколько примеров на построение вероятностного пространства (W, F, P), которое полностью описывает случайное явление. Для этого нужно выполнить несколько операций.

Во-первых, необходимо описать пространство элементарных событий W; во-вторых, выделить класс событий F, т.е. определить систему подмножеств из W, образующих алгебру или s-алгебру; в-третьих, каждому событию АÌW, AÎF приписать вероятность таким образом, чтобы Р(W)= 1. Выбор W и выделение алгебры или s-алгебры определяются существом задачи и природой множества W.

Пример 1.9.1. Пусть подбрасывается один раз игральная кость и требуется сформировать вероятностное пространство. Из условия видно, что W={1, 2, 3, 4, 5, 6}= {w1, w2, w3, w4, w5 , w6}. Алгебра F состоит из всех подмножеств из W, число которых равно 26= 64. В силу симметрии опыта, вероятности элементарных событий Р(wi)= 1/6, причём Тогда вероятность любого события А = {wi1, wi2, wi3, wi4, wi5, wiк}, wijÎW, AÎ F можно определить так

В данном случае вероятностное пространство образуют множества W= {w1, w2, w3,, w4, w5, w6}, алгебрa F= {Æ, {1}, {2},…,{6 }, {1, 2 },...,W} и числовая функция Р(A)= k/6, определенная на системе событий F.

В заключение подведем некоторые итоги.

1. Аксиоматическое построение теории  вероятностей это формально-логическое  ее обоснование.

2. Аксиомы теории вероятностей  вводятся так, чтобы вероятность  события обладала основными свойствами частоты.

3. Отправляясь от основных свойств  вероятности, присущих частотному  и классическому определениям, аксиоматическое  определение вероятности охватывает  эти определения как частные  случаи.

4. Формальное построение теории  вероятностей показывает, что язык этой теории есть язык теории множеств, а точнее, теории меры. Однако прикладные задачи формулируются на языке практики. Поэтому в некоторых сомнительных случаях приходится полностью описывать вероятностную задачу с указанием тройки вероятностного пространства.

Основоположник современного абстрактного построения теории вероятностей А.Н. Колмогоров неоднократно указывал на необходимость очень вдумчивого согласования абстрактной теории с прикладными вопросами. Его ученик Б.В. Гнеденко отмечает, что абстрактное изложение предмета имеет ряд преимуществ. Однако, специалистам-прикладникам трудно знакомиться с наукой по абстрактным книгам, ибо "такие книги не создадут так необходимого мостика между потребностями практики и математической теорией" [4]. Поэтому в настоящем учебнике делается попытка создать такой мостик с помощью большого количества примеров, а, с другой стороны, изложением основ аксиоматического подхода в построении теории вероятностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение случайной величины

Случайная величина – это числовая функция, значения которой заранее (до наблюдения) нельзя точно определить, то есть функция, зависящая от случайного исхода и принимающая свои значения с некоторыми вероятностями.

Примеры случайных величин:

а) число пассажиров в автобусе (конечное число значений);

б) число вызовов на телефонной станции за время Т (счетное число значений);

в) время безотказной работы прибора за время Т (несчетное число значений).

Обозначают случайные величины прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их значения соответствующими строчными буквами x, y, z,….

Пусть задано некоторое вероятностное пространство .

Определение. Функция называется случайной величиной, если для любого множество

является событием, то есть .

Смысл приведенного определения случайной величины состоит в требовании того, чтобы у подмножества была определена его вероятность при любом .

Определение. Говорят, что функция является  
-измеримой, если множество для любого .

Таким образом, случайная величина есть -измеримая функция, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу число .

Из определения случайной величины и свойств -алгебры вытекает, что событиями являются также следующие подмножества, связанные со случайной величиной :

;

;

;

,

и любые другие, получающиеся из них с помощью выполнения конечного или счетного числа операций. Другими словами, приведенное определение случайной величины эквивалентно тому, что попадание случайной величины в любое борелевское множество на числовой прямой является событием: для любого .

 

Заметим, что, если в -алгебре содержатся все подмножества (как, например, в случае конечного или счетного ), то случайной величиной является любая числовая функция . В общем случае это не так.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод

Таким образом, рассмотрев теорию вероятности, ее историю и положения и возможности, можно утверждать, что возникновение данной теории не было случайным явлением вы науке, а было вызвано необходимостью дальнейшего развития технологии и кибернетики, поскольку существующее программное управление не может помочь человеку в создании таких кибернетических машин, которые, подобно человеку, будут мыслить самостоятельно. И именно теория вероятности может способствовать появлению искусственного разума. «Процессы управления , где бы они ни протекали - живых организмах, машинах или обществе,- происходят по одним и тем же законам», - провозгласила кибернетика. А значит, и те, пусть еще не познанные до конца, процессы, что протекают в голове человека и позволяют ему гибко приспосабливаться к изменяющейся обстановке, можно воспроизвести искусственно в сложных автоматических устройствах. Важнейшим понятием математики является понятие функции, но почти всегда речь шла об однозначной функции, у которой одному значению аргумента соответствует только одно значение функции и функциональная связь между ними четко определенная. Однако в реальности происходят случайные явления, и многие события имеют не определенный характер связей. Поиск закономерностей в случайных явлениях - это задача раздела математики теория вероятности. Теория вероятности является инструментом для изучения скрытых и неоднозначных связей различных явлений во многих отраслях науки, техники и экономики.

Теория вероятности позволяет достоверно вычислить колебания спроса, предложения, цен и других экономических показателей. Также теория вероятности является основой такой науки как статистика. На формулах этого раздела математики построено так называемая теория игр.