Денежные потоки и их оценка

Рис. 4 Схема наращения элементов денежного потока пренумерандо

 

Сравнивая рис. 2. и 4., несложно понять, что различие между потоками пост- и пренумерандо заключается лишь в том, что поток пренумерандо сдвинут влево на один интервал. Это приводит к дополнительному однократному начислению процентов, а формула расчета будущей стоимости потока пренумерандо будет иметь вид (это видно из рис. 6.10)

Отсюда с очевидностью следует, что в общем случае

Итак, взаимосвязь между  стоимостными оценками потоков пост- и пренуме-

рандо выражается следующей формулой:

FVpre= FVpst(1 +r).

Иными словами, схема  потока пренумерандо более выгодна  для накопления денежных средств, нежели схема постнумерандо.

Для обратной задачи схема  дисконтирования, т. е. приведения всех элементов исходного потока в  точку 0, может быть представлена рис. 5

Рис. 5. Схема дисконтирования элементов денежного потока пренумерандо

Сравнивая рис. 5. и 3., вновь видим, что различие между потоками пост- и пренумерандо заключается лишь в том, что поток пренумерандо сдвинут влево на один интервал. Это приводит к уменьшению делителя на величину (1 + г). Действительно, элемент CF, уже находится в начале 1-го базисного интервала, т. е. в точке 0, а потому дисконтирование не требуется; элемент CF2 отдален от точки 0 на один интервал, а потому его дисконтирование сводится к делению на (1 + r), и т. д. После приведения всех элементов потока в точку 0 их можно просуммировать.

Таким образом, в общем  виде формула для исчисления дисконтированной стоимости потока пренумерандо имеет  следующее представление:

Иными словами, как и  в случае с будущей стоимостью, дисконтированная стоимость потока пренумерандо превышает дисконтированную стоимость соответствующего потока постнумерандо на величину (1 + r). Так, если в предыдущем примере предположить, что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, то его дисконтированная стоимость будет равна

PVpre = PVpst(1 + r) = 44,97* 1,12 = 50,37 млн руб.

Иными словами, как и  в случае с будущей стоимостью, дисконтированная стоимость потока пренумерандо превышает дисконтированную стоимость соответствующего потока постнумерандо на величину (1 + r). Так, если в предыдущем примере предположить, что исходный поток представляет собой поток пренумерандо, то его дисконтированная стоимость будет равна

 

PVpre    = PVpst   (1 + r) = 44,97*1,12 = 50,37 млн руб.

 

 

1.4.Понятие и оценка аннуитетов

 

Одним из ключевых понятий  в финансовых и коммерческих расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных  платежей, широко используется при  оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.

 

1) Оценка срочного аннуитета

 

Аннуитет (иногда в литературе используются термины «рента», «финансовая  рента*) представляет собой частный  случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение: элементы денежного потока одинаковы по величине. В дальнейшем изложении материала мы будем придерживаться именно второго подхода.

Любой элемент денежного  потока называется членом аннуитета (членом ренты), а величина постоянного временного интервала между двумя его  последовательными элементами называется периодом аннуитета (периодом ренты). Если каждый элемент аннуитета имеет место в конце соответствующего периода, аннуитет называется аннуитетом постнумерандо (Ordinary Annuity); если в начале периода — аннуитетом пренумерандо (Annuity Due). Аннуитет, все элементы которого равны между собой, называется постоянным; если равенства нет. аннуитет носит название переменного.

Пример аннуитета пренумерандо: накопление денег на банковском счете, когда вклады делаются, например, в  начале каждого месяца. Пример аннуитета постнумерандо: регулярное получение процентов по ценной бумаге (по вкладу) по итогам очередного месяца.

Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным; в противном  случае аннуитет носит название бессрочного. Для срочного аннуитета: CF1 = CF2 = ... = CFn = А. Графическое представление срочного аннуитета пост- и пренумерандо приведено на рис. 6. Вновь обращаем внимание читателя на то, что в обоих случаях финансовая операция, описываемая аннуитетом, начинается в точке 0 и заканчивается в точке п (грубо говоря, делая графические построения и проводя расчеты, всегда надо помнить о нехитром правиле: число стрелок и количество базисных интервалов должно совпадать).

Примером срочного аннуитета  постнумерандо могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного аннуитета пренумерандо выступает, например, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления суммы для крупной покупки.

Исторически вначале  рассматривались ежегодные денежные поступления (базисный период принимался равным одному году), что и послужило основой для поименования потока аннуитетом («год» на латинском языке — anno). В дальнейшем в качестве периода стал выступать любой промежуток времени при сохранении прежнего названия.

а) Аннуитет пренумерандо (каждый элемент привязан к началу соответствующего базисного интервала)

6) Аннуитет постнумерандо  (каждый элемент привязан к  концу соответствующего базисного  интервала)

Рис. 6. Виды срочных аннуитетов

 

Как и в случае с  нетипизированным денежным потоком  в отношении аннуитетов имеют место прямая и обратная задача Специфика аннуитета (равенство денежных поступлений) позволяет вывести стандартизованные формулы, существенно упрощающие счетные процедуры

Будущая стоимость аннуитета  постнумерандо (т е денежного  потока постну-мерандо с равными элементами) представляет собой сумму наращенные элементов потока, исчисляемую в предположении что (а) все элементы одинаковы, (б) каждый элемент потока начинается в конце соответствующего базисного интервала и (в) наращение осуществляется по схеме сложных процентов с использованием заданной процентной ставки r

Для демонстрации логики расчета можно воспользоваться графиком на рис 2 в предположении, что CFk = А = const, а горизонт планирования равен п

Итак, Вывод формулы очевиден. Действительно,

FM3(r,n) = (l + r)n-1 +(l + r)n-2 + ... +(l + r) + 1

(6.30) (6.31)

(6.32)

Домножив обе части  уравнения (6.32) на (1 + r), получим

FM3(r,n)(1 + r) = (1+ r)n +(1+ r)n-1 + ... +(1 + r)2 +(1 + r).    

(6.33) Вычтя из уравнения  (6.33) уравнение (6.32), получим

FM3(r,n)(1+ r) - FM3(r,n) = (l + r)n - 1, т. е. FM3(r,n)r = {l + r)n -1

Отсюда и следует  формула (6.31).

Экономический смысл FM3(r, n), называемого мультиплицирующим  множителем для аннуитета, заключается  в следующем. Он показывает, чему будет  равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что проводится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r, n) часто используется в финансовых вычислениях. Его значения зависят лишь от процентной ставки r и срока п действия аннуитета, причем с увеличением каждого из этих параметров величина FM3(r, n) возрастает. Значения множителя для различных сочетаний сии можно табулировать (см. Приложение 3).

Из (6.30) следует, что FM3(r, n) показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А. В связи  с этим множитель FM3(r, n) называют также  коэффициентом аккумуляции вкладов.

Заметим, что формула (6.30) охватывает и пограничные случаи. Так, при одном денежном поступлении (п = 1) FM3(r, п) = 1 и FVapst = А. Если r = 0, т.е.

не происходит наращения, из (6.30) получаем FVapst= пА; иными словами, денежные поступления попросту суммируются.

Пример

Вам предлагают слать  в аренду участок на 3 года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: (1) 100 тыс. руб. в конце каждого  года; (2) 350 тыс. руб. в конце периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Решение

Первый вариант оплаты как раз и представляет собой  аннуитет постнумеран-до при n=3 и А = 100 тыс.руб. Имеется возможность ежегодного получения арендного платежа  и инвестирования полученных сумм на условиях 20% годовых (например, вложение в банк). К концу периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии со схемой, аналогичной схеме, представленной на рис. 6.8.

FVapst =AFMЗ(20%.3)=100*3,640 = 364 тыс.руб.  Таким образом, расчет показывает, что вариант (1) более выгоден.

Будущая стоимость аннуитета пренумерандо (т. е. денежного потока пренуме-рандо с равными элементами) представляет собой сумму наращенных элементов потока, исчисляемую в предположении, что: (а) все элементы одинаковы, (б) каждый элемент потока начинается в начале соответствующего базисного интервала и (в) наращение осуществляется по схеме сложных процентов с использованием заданной процентной ставки r.

 

2) Оценка бессрочного аннуитета

 

Аннуитет называется бессрочным (Perpetual Annuity), если денежные поступления продолжаются довольно длительное время Математически это означает, что п → ∞  Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли — выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым проводят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 лет и более Бессрочный аннуитет также называют вечной рентой

В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости  аннуитета) не имеет смысла, однако обратная задача (определение дисконтированной стоимости аннуитета) имеет решение Поток платежей в постоянном бессрочном аннуитете при одном денежном поступлении А за период (например, равный году), являющийся базисным для начисления процентов по ставке r, представляет собой

бесконечно убывающую  геометрическую прогрессию с первым членом- и зна

 менателем 1/(1+r) Для  бессрочного аннуитета постнумерандо,  используя формулу

для определения суммы  бесконечно убывающей геометрической прогрессии или переходя в (6 36) к  пределу при n→ ∞, получим

(6.40)

Из формул (6.39) и (6.40) следует, что дисконтированная стоимость  бессрочного аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле

(6.41)

 

Формула (6.40) показывает, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет конечную приведенную стоимость. С финансовой точки зрения это понятно, поскольку деньги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят (а при высокой инфляции практически ничего не стоят). Эта же ситуация проявляется при сравнении коэффициентов дисконтирования бессрочного аннуитета и аннуитетов большой продолжительности. Рассмотрим значения FMA(r, n) при r = 10%.

 

Коэффициенты дисконтирования  аннуитета

Продолжительность  (л) аннуитета	40	50	60	70	90	∞
Значение множителя FM4(10%, n	9,7791	|9,9148	9,9672	9,9873	9,9981	10

 

Из таблицы видно, что  при продолжительности аннуитета, превышающей 50 базисных периодов (например, лет), коэффициенты дисконтирования  аннуитета незначительно отличаются друг от друга. Заметим также, что  с ростом процентной ставки r величина срока, начиная с которого коэффициенты FM4(r, n) перестают существенно отличаться друг от друга, уменьшается (например, при r = 15% такой срок равен уже 40 периодам). Таким образом, при больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения дисконтированной стоимости бессрочного аннуитета. Полученный приблизительный результат будет не слишком отличаться от точного значения.

Формула (6.40) используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета, если известен размер денежного поступления за период. В качестве r обычно принимается  гарантированная процентная ставка (например, процент, предлагаемый государственным банком).