Курс лекций по "Финанесовому менеджменту"

                                                                                  (3.6)

 

Таким образом, по формуле (3.6) рассчитаем среднюю норму доходности для обоих проектов:

ARR_K = (20 + 15 + 18 + 3)/4 = 19%;          ARR_L = (40 + 24 + 30 + 50)/4 = 36%.

       По формуле (3.5) найдем величину среднеквадратичного отклонения

             

            

Видим, что у проекта L средняя норма доходности выше, но при этом выше и величина s. Поэтому необходимо рассчитать коэффициент вариации CV.

По формуле (3.4) получаем:   CV_K = 2,9/19= 0,15;       CV_L = 9,9 / 36 = 0,275.

Коэффициент вариации для  проекта L выше почти в 2 раза, следовательно, вложение в этот проект почти вдвое рискованнее.

Однако данные таблицы 3.5 говорят, что минимальная доходность проекта L выше максимальной доходности проекта К. Очевидно, что вложение в проект L в любом случае более рентабельно. Полученные же значения s и CV означают не возможность получения более низкой доходности, а возможность неполучения ожидаемой доходности от проекта L.

3.4. Коэффициенты риска и коэффициенты  покрытия рисков

Пусть С – средства, которыми располагает инвестор (ЛПР), а Y – возможные убытки.   Если  Y превышает С, то возникает реальный риск разорения. Для оценки подобных ситуаций вводится в рассмотрение коэффициент риска  К₁ = Y/С, значения которого ограничивают специальным числом x₁. Операции, для которых К₁>x₁ , считают особо рискованными. Часто учитывают также вероятность р убытков Y и тогда рассматривают коэффициент риска К₂ = рY/С, который ограничивают другим числом x₂ (ясно, что x₁>x₂). В финансовом менеджменте чаще применяют обратные отношения С/Y и С/(рY), которые называют коэффициентами покрытия рисков. Коэффициенты покрытия С/Y и С/(рY) ограничиваются снизу соответственно числами 1/x₁  и  1/x₂.

Именно такой смысл имеет  так называемый коэффициент Кука, равный отношению: 

 

Коэффициент Кука используется банками и другими финансовыми компаниями. В роли весов при «взвешивании» выступают вероятности — риски потери соответствующего актива.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 4. Задачи формирования портфелей ценных  бумаг.

4.1.  Основные характеристики  портфеля ценных бумаг.

Портфель – это совокупность различных инвестиционных инструментов, которые собраны воедино для достижения конкретной инвестиционной цели вкладчика. В портфель могут входить бумаги только одного типа, например акции или облигации, или различные инвестиционные ценности, такие как акции, облигации, депозитные и сберегательные сертификаты и т. д.

Портфельный менеджмент, т. е. формирование инвестиционного портфеля ценных бумаг, берет свое начало примерно с тех времен, когда появились сами ценные бумаги. Методология же инвестиционного менеджмента начала складываться в двадцатые годы с появлением понятия <истинной> цены (fair price) акции. Задача инвестора состояла в том, чтобы приобрести недооцененные акции, чья рыночная цена на момент покупки ниже истинной, и избавиться от переоцененных бумаг и тем самым получить в перспективе максимальную прибыль. Эта цель не менее актуальна и сейчас.

Начало современной теории финансового  портфеля было заложено в статье Гарри  Марковица «Выбор портфеля» (1952). В этой статье была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг и были приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях. С вычислительной точки зрения получающаяся оптимизационная задача относится к классу задач квадратической оптимизации при линейных ограничениях. К настоящему времени вместе с задачами линейного программирования это один из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых разработано большое число достаточно эффективных алгоритмов.

затем в работах Вильяма Шарпа (1964) и Джона Литнера (1965), и было основано на понятиях систематического (рыночного) и несистематического рисков ценной бумаги.

 Риск (в литературе также  встречается термин общий риск) ценной бумаги есть неопределенность ее дохода в конце периода инвестирования. Риск измеряется дисперсией доходности ценной бумаги за фиксированный интервал времени, например, месяц, квартал, год и т. д. Данное определение риска является наиболее распространенным, хотя существуют и другие.

Главная цель в формировании портфеля состоит в достижении оптимального сочетания между риском и доходом  для инвестора, т. е. соответствующий  набор инвестиционных инструментов призван снизить до минимума риск его потерь и одновременно максимизировать его доход.

Для получения количественных характеристик  инвестиционного  портфеля могут  использоваться следующие показатели:

1. m_p- доходность портфеля ценных бумаг. Данный параметр рассчитывается как взвешенная средняя из ожидаемых доходов по каждому из компонентов

                                                      m_p =S x_i m_{i ,}                                                                                     (4. 1.)

где x_i - доли инвестиций, помещенных в каждый из видов активов (эти доли называют портфельными весами) X^T=(х_1, х_2, … х_n);

 m_i - ожидаемая ставка дохода по каждому виду активов.

2. риск портфеля - s_{p -} стандартное отклонение ставок дохода по портфелю. Стандартное отклонение  дохода представляет собой квадратный корень из дисперсии¹ портфельного дохода  (дисперсию доходности портфеля называют его вариацией V_p), которая определяется по формуле:

 

s²_p =V _p = X^T*COV*X    ,          (4.2.)

где COV- ковариационная матрица²  порядка n.

ковариация - это статистическая мера взаимодействия двух случайных  переменных, таких, например, как доходности двух ценных бумаг. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону. Ковариация между двумя акциями x и y рассчитывается следующим образом:

                                                                               (4.3)

Содержательно интерпретировать численное  значение ковариации достаточно сложно, поэтому очень часто для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая  коэффициентом корреляции ³. Этот коэффициент позволяет стандартизировать ковариацию путем деления ее на произведение соответствующих средних квадратических отклонений и привести величины к сопоставимому виду. Коэффициент корреляции между двумя переменными i и j рассчитывается следующим образом: 

                                    r_i,j = COV_i,j /s_i ´s_j,                                                        (4.4)

Знак коэффициента корреляции совпадает со знаком ковариации, поэтому положительная его величина означает однонаправленное изменение переменных, а отрицательная – их изменение в противоположных направлениях. Если значение r_i,j близко к нулю, связь между переменными слабая. Кроме того, процедура стандартизации приводит к тому, что коэффициент корреляции принадлежит интервалу от – 1.0 до +1.0. Отметим также, что формула (4.4) может использоваться для расчета ковариации: Ковариация  может быть выражена как произведение коэффициента корреляции r_i,j и двух стандартных отклонений:

COV_i,j = r_i,j ´s_i ´s_j,

 s_i - стандартное отклонение дохода по i –ому активу,

 r_ij – коэффициент корреляции доходов между i-м и j-м активом. 

        

Наличие совершенной положительной  корреляции (рис. 4.1. а) наблюдается, например, при приобретении двух видов обычных акций одной корпорации, выпущенных на одинаковых условиях. Это означает, что когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, тогда и другая ценная бумага имеет относительно высокую доходность. Стандартное отклонение ставок дохода по портфелю в этом случае рассчитывается как средневзвешенная из стандартных отклонений доходов, входящих в состав портфеля активов.

При наличии совершенной отрицательной  корреляции (рис. 4.1. б), когда при уменьшении дохода по одной акции на один пункт происходит увеличение на один пункт по другой, инвестор получает возможность уменьшить стандартное отклонение дохода по этим двум активам вместе до нуля, т.е. свести риск к минимуму.

Рассмотрим портфель, состоящий из двух видов ценных бумаг: акций с ожидаемой доходностью 12% и облигаций, доход по которым равен 5.1%. Стандартное отклонение акций 21.2%, облигаций – 8.3%.

 

Варьируя портфельные веса включенных в состав портфеля активов, можно добиться оптимального портфеля, с точки зрения применяемого типа активов. Результат такого варьирования может быть представлен в таблице 4.1.

 

Таблица 4.1. Ожидаемый доход и стандартное отклонение портфеля

Порт фель	Удельный вес актива в составе портфеля		Ожидаемый доход	Стандартное отклонение при корреляции:
	Акции	облигации		r=-1.00	r=-0.7	r=0	r=0.18	г =1,00
0	0.00	1.00	5.10	8.3	8.3	8.3	8.3	8.3
1	0.05	0.95	5.45	6.825	7.183	7.956	8.143	8.945
2	0.10	0.90	5.79	5.35	6.174	7.765	8.124	9.59
3	0.15	0.85	6.14	3.875	5.336	7.739	8.244	10.235
4	0.20	0.80	6.48	2.4	4.759	7.878	8.497	10.88
5	0.25	0.75	6.83	0.925	4.544	8.176	8.872	11.525
6	0.28	0.72	7.03	0.04			9.15	11.91
7	0.30	0.70	7.17	0.55	4.741	8.614	9.355	12.17
8	0.35	0.65	7.52	2.025	5.303	9.174	9.928	12.815
9	0.40	0.60	7.86	3.5	6.131	9.834	10.579	13.46
10	0.45	0.55	8.21	4.975	7.133	10.576	11.293	14.105
11	0.50	0.50	8.55	6.45	8.246	11.383	12.059	14.75
12	0.55	0.45	8.90	7.925	9.431	12.244	12.868	15.395
13	0.60	0.40	9.24.	9.4	10.663	13.146	13.712	16.04
14	0.65	0.35	9.59	10.875	11.928	14.083	14.586	16.685
15	0.70	0.30	9.93	12.35	13.217	15.047	15.483	17.33
16	0.75	0.25	10.28	13.825	14.523	16.035	16.401	17.975
17	0.80	0.20	10.62	15.3	15.842	17.041	17.336	18.62
18	0.85	0.15	10.97	16.775	17.172	18.063	18.285	19.265
19	0.90	0.10	11.31	18.25	18.508	19.098	19.247	19.91
20	0.95	0.05	11.66	19.725	19.852	20.144	20.219	20.555
21	1.00	0.00	12.00	21.2	21.2	21.2	21.2	21.2

 

Портфель 0 состоит только из облигаций, тогда как портфель 21 -только из акций. Портфель, состоящий только из облигаций, имеет ожидаемый доход, равный 5,1%, а стандартное отклонение портфельного дохода равно 8,3%. Портфель, состоящий только из акций, имеет ожидаемый доход в 12%, а стандартное отклонение составляет 21,2%. Портфель, состоящий на 60% из акций и на 40% из облигаций, будет иметь ожидаемый доход в 9,24%, стандартное отклонение дохода по такому портфелю составит 13,71%, если корреляция между изменениями доходов по облигациям и акциям равна (г = 0,18). Если изменения доходов по облигациям и акциям характеризуются совершенной положительной корреляцией (г = 1,00), то тогда ожидаемый доход останется прежним, а стандартное отклонение будет включать 60% разности между более высоким стандартным отклонением дохода по акциям и стандартным отклонением дохода по облигациям. В связи с тем, что корреляция между изменениями доходов по облигациям и по акциям не является совершенной, меньшими оказываются и значения стандартного отклонения портфельного дохода. Если представленные облигации могут служить идеальным средством хеджирования вложений в акции или, другими словами, корреляция между изменениями доходов по облигациям и акциям оказывается совершенной и при этом отрицательной (г = -1,00), то стандартное отклонение портфельного дохода будет равно только 9,4%. В этом случае можно сформировать портфель, состоящий на 28% из вложений в акции и на 72% - в облигации (портфель 6), у которого стандартное отклонение портфельного дохода практически равняется нулю. Это означает, что с вероятностью, равной единице, указанный портфель будет иметь совокупный доход, составляющий 7,03%.

Представим графически зависимость  величины стандартного отклонения от ожидаемого дохода (рис. 4.1) при различных коэффициентах корреляции.

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2. Зависимость стандартного отклонения дохода от ожидаемого дохода.

 

4.2. Постановка задачи об оптимальном портфеле.

В  литературе [1, 7, 8, 9] описаны подходы к формированию оптимального  портфеля с помощью моделей Блека, Марковица, Тобина. Задача оптимизации заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска соответствовали целям инвесторов. Например, целевой функцией может быть минимизация риска при заданной доходности, или максимизация дохода при риске не выше заданного. При этом на компоненты вектора Х, представляющего портфель, могут накладываться различные ограничения,  зависящие от вида сделки, типа участвующих активов, величины открываемых позиций и т. д. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка называются допустимыми.