Курс лекций по "Финанесовому менеджменту"

1. В модели Блека допустимыми являются любые портфели. Это значит, что вектор Х удовлетворяет лишь основному ограничению:

Наличие коротких позиций (отсутствие условия неотрицательности) позволяет реализовать любую, сколь угодно большую доходность, естественно за счет большого риска.

2) В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Это значит, что на вектор Х  накладываются два ограничения:

  основное           ;

            и  неотрицательности             x_i ³ 0

         для всех  i.

Портфель  называют стандартным, если инвестор по каждому активу находится в длинной (long) позиции. Длинная позиция — это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиций). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи. Допустим, что относительно некоторого актива инвестор уверен в обратном, то есть в понижении его стоимости. В этом случае он может совершить сделку, которая называется короткой продажей (short sale). Для этого он берет данный актив взаймы у другого инвестора (кредитора), сразу же продает его, а впоследствии покупает на рынке по сниженной цене и возвращает его своему кредитору.  При этом он обязан выплатить кредитору текущий доход по активу за время сделки и некоторый процент за предоставление самой возможности сделки (за кредит). На большинстве фондовых бирж короткие продажи вполне допустимы и часто используются, но ввиду их особой рискованности биржи могут вводить ограничения на общую величину коротких позиций в сделках.

Особенностью  модели Марковица является то, что  доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей  доходности  активов, из которых он построен.

3) Модель Тобина-Шарпа-Литнера. В этой модели предполагается наличие так назывемых безрисковых активов, доходность которых не зависит от состояния рынка и имеет постоянное значение.

Пример 4..1.

Сформировать  портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг -  АРТ с  эффективностью12% и риском 21.1 и ВЕРМ с эффективностью 5.1% и риском 8.3 при  условии, что обеспечивается доходность портфеля (m_p =S x_i m_i) не менее 8.9%. Коэффициент корреляции равен 0.18.

Решение.

Модель Марковица  может быть сформулирована следующим  образом.

Необходимо  найти вектор Х= (X₁, X₂), минимизирующий риск портфеля s_p.

X₁ - доля в портфеле ценных бумаг АРТ;

X₂ - доля в портфеле ценных бумаг ВЕРМ,

s_p= = =

= ® min

При ограничениях:

X₁ + X₂ =1

12´ X₁ + 5.1´ X₂   ³ 8.9

X₁,X₂ ³ 0

 

 

Графический метод решения задачи дает следующие результаты.

Рис. 4.3. Минимальный риск портфеля равный 12.88% достигается в точке пересечения линий (Х₁=0.55 и Х₂=0.45), соответствующих ограничениям  X₁ + X₂ =1 и       12´ X₁ + 5.1´ X₂   ³ 8.9 и целевой функции.

Довольно  легко  можно получить решение  задачи в среде EXCEL с помощью надстройки Поиск решения. (Рис.4.4. и табл. 4.2.).

Рис.4.4. В ячейке Е5 получено минимальное значение целевой  функции.

 

Табл. 4.2.Фрагмент отчета по результатам.

Microsoft Excel 8.0 Отчет по  результатам
Ячейка	Имя	Исходно	Результат
$E$5		0	12.8799
Ячейка	Имя	Исходно	Результат
$A$3		0	0.550
$B$3		0	0.449

 

Ответ: Минимальный  риск портфеля равный 12.88% будет достигнут, если  доля акций АРТ  составит 0.55, а доля акций ВЕРМ – 0.45.

 

Пример 4.2.

Найти оптимальный  портфель максимальной эффективности  для трех ценных бумаг REXX, SNS и LIKX с доходностью и риском:

 

	REXX	SNS	LIKX
mi (%)	12	10.5	11
si	25	10	20

Матрица коэффициентов  корреляции

	REXX	SNS	LIKX
REXX	1	0.52	0.27
SNS	0.52	1	0.75
LIKX	0.27	0.75	1

Верхняя граница  риска задана равной 16.

Решение.

Модель может  быть сформулирована следующим образом.

Необходимо  найти вектор Х= (X₁, X₂ , X₃), максимизирующий доходность портфеля m_p.

X₁ – доля в портфеле ценных бумаг REXX,

X₂ – доля в портфеле ценных бумаг SNS,

X₃ – доля в портфеле ценных бумаг LIKX.

m_p=12´X₁+7´X₂+11´X₃®max

при ограничениях

X₁ + X₂ + X₃ =1

s_p=     16

 X₁,X₂, X₃ ³ 0

 

Матрица ковариаций получена с использованием  формулы⁴

COV_i,j= r_i,j ´s_i ´s_j,.

COV=

Для решения  задачи следует воспользоваться надстройкой EXCEL Поиск решения¹⁰. В результате решения получена максимально возможная доходность портфеля 11.29 при значениях вектора Х, записанных в ячейки $G1:$I1  (Рис. 4.5.)

 

Рис. 4.5. Фрагмент листа ЕХСЕL с исходными данными и результатами (X).

 

   Ответ:  Максимальную доходность 11.324% можно получить, если доли акций REXX, SNS и LIKX составят 0.47, 0.29 и 0.25

4.3. Формирование оптимального портфеля  с помощью ведущего фактора  финансового рынка.

 

Практика показывает, что на фондовом рынке одновременно объектом купли-продажи являются акции большого числа эмитентов, имеющие разную степень доходности.

Во всех странах с развитым рынком ценных бумаг для определения общей тенденции в изменении курсов акций применяются специальные индикаторы – фондовые индексы¹¹ (индекс Доу-Джонса, Standard & Poors).

рыночная модель.

Предположим, что доходности всех ценных бумаг за определенный период времени (например, месяц) связаны с  доходностью рынка за данный период, т.е. с доходностью акции на рыночный индекс, такой, например, как индекс РТС. В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса, вероятно, будет падать и цена акции. Один из путей отражения данной взаимосвязи носит название рыночная модель (market model)[9]:

m_i=a_i+b_i´m_r+e_i                                                                                                                                  (4.5.)

где m_i  - доходность ценной бумаги i за определенный период (зависимая переменная);

m_r  - доходность на рыночный индекс за этот же период (независимая, объясняющая переменная);

a_i -   постоянная составляющая модели линейной регрессии, показывающая какая часть доходности i ценной бумаги не связана с изменением доходности на рыночный индекс,  коэффициент смещения;

b_i   -  параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i ценной бумаги к изменениям рыночной доходности, коэффициент наклона;

e_i   -     случайная погрешность.

Оценку параметров регрессионной  модели   (4.5) можно получить с помощью МНК⁵.

«Бета» - коэффициент

Отметим, что наклон в рыночной модели ценной бумаги измеряет чувствительность ее доходности к доходности на рыночный индекс. Коэффициент наклона рыночной модели часто называют «бета»- коэффициентом (beta) и вычисляют так:

  = = =    (4.6)

 

 

 

а_i =       

 

где s_ir- ковариация между доходностью акции i-ой бумаги и доходностью на рыночный индекс, а s_mr²- обозначает дисперсию доходности на индекс.

Бета-коэффициент оценивает изменения  в доходности отдельных акций  в сопоставлении с динамикой рыночного дохода. Ценные бумаги, имеющие коэффициент выше единицы, характеризуются как агрессивные и являются более рискованными, чем рынок в целом. Бета-коэффициент может быть положительным или отрицательным. Если он положителен, то доходность соответствующих ценных бумаг будет аналогична динамике рыночной доходности. При отрицательном бета - коэффициенте  эффективность данной ценной бумаги будет снижаться при возрастании эффективности рынка.

Исходя из рыночной модели (4.5),  общий риск ценной бумаги i, измеряемый  ее дисперсией  s_i²= Var(m_i), состоит из двух частей¹²: (1)  рыночный (или систематический) риск (market risk); (2) собственный  (или несистематический) риск (unique risk)⁶.

Var(m_i)= Var(a_i+b_i´m_r+e)=

=Var(a_i)+Var(b_i´m_r)+Var(e_i)=

= Var(m_r)+ Var(e_i).

Таким образом, Var(m_i)= s_i² равняется следующему выражению:

         s_i² = b_i²s_mr²+s_e²,

 

где     ,

           = ,

 

         b_is_mr   обозначает рыночный риск ценной бумаги i(измеренный в СКО), а s_e собственный риск ценной бумаги i, мерой которого является СКО случайной погрешности e_i из уравнения (4.5.).

 

Как отмечено выше, вариация доходности каждой ценной бумаги состоит из двух слагаемых: «собственной» вариации, не зависящей от рынка, и «рыночной» части вариации, определяемой случайным поведением рынка в целом. отношение  b_i²s_mr²/s_i² обозначается R_i² и называется R-squared (в регрессионном анализе R_i² называют коэффициентом детерминации)⁷. Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком. Те бумаги, для которых R-squared велико, в каком-то смысле предпочтительнее, так как их поведение более предсказуемо.

Таким образом, коэффициент регрессии β служит количественным измерителем систематического риска, не поддающегося диверсификации. Ценная бумага, имеющая β - коэффициент, равный 1, копирует поведение рынка в целом. Если значение коэффициента выше 1, реакция ценной бумаги опережает изменение рынка как в одну, так и в другую сторону. Систематический риск такого финансового актива выше среднего. Менее рисковыми являются активы, β-коэффициенты которых ниже 1 (но выше 0).

Рассмотрим в этой ситуации портфель ценных бумаг. Оказывается, доходность (рисковой части) портфеля с зафиксированными долями бумаг также линейно зависит от доходности рынка. В самом деле, пусть доля i-й ценной бумаги есть x_i, тогда доходность портфеля:

                    m_p = S x_i(a_i + b_i ´m_r + e ).                                 (4.7)

Марковиц разработал очень важное положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. С одной  стороны, это так называемый систематический риск, который нельзя исключить, и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. С другой - специфический риск для каждой конкретной ценной бумаги, который можно избежать при помощи управления портфелем ценных бумаг. При этом сумма сложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений (например, часть средств на банковском счете вводится в модель как инвестиция с нулевым риском).

Из уравнения (4.7) можно показать, что общий риск портфеля состоит  из двух компонент: рыночного риска  и собственного риска.

                                s_p² = b_p²s_mr²+s_ep²  ,                                                 (4.8.)

 

где ,

увеличение диверсификации (увеличение количества ценных бумаг в портфеле) приводит к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же.

Задача Марковица о формировании портфеля заданной эффективности с учетом ведущего фактора и минимального риска может быть сформулирована следующим образом [1, с.172]:

Необходимо  найти вектор Х= (X₁, X₂,… X_n), минимизирующий риск портфеля s_p  .

s_p =

Отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения оптимального портфеля этой задаче:

1. Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности   каждой ценной бумаги.
2. По рыночному индексу (например, АК&М) вычислить рыночные доходности r_m для того же промежутка времени.
3. Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги от рыночной доходности (от индекса рынка).