Задача формирования портфеля ценных бумаг

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное унитарное образовательное

учреждение  высшего профессионального образования

Уфимский  филиал Финансового университета при  Правительстве РФ

 

 

Кафедра «Математики и информатики»

 

 

 

 

 

 

Отчет по лабораторной работе

 

 

 

 

 

Вариант № 10

 

 

 

 

 

Выполнил(а):

факультет ФиК,

№ группы специальность финансовый менеджмент,

№ зачетки

Преподаватель:

 

 

 

 

 

 

 

Уфа – 2013

 

Лабораторная работа №1

Задача  формирования портфеля ценных бумаг

 

Цель  работы – освоение методики  формирования оптимального портфеля ценных бумаг с учетом доходностей и рисков на примере конкретных типовых задач.

Краткие теоретические сведения

Каждая ценная бумага содержит две  основные характеристики: доходность и риск. Причем, как правило, чем  выше доходность, тем выше риск. Формирование портфеля состоит в распределении  инвестиционного капитала в определенную совокупность ценных бумаг. Главная  цель при формировании портфеля состоит  в определении оптимального сочетания  между риском и доходностью.

Для получения  количественных характеристик  инвестиционного  портфеля могут использоваться следующие  показатели: доходность портфеля и риска портфеля .

Для расчета  доходности портфеля используется формула

,              (1)

где - доля инвестиций, помещенных в каждый из видов активов, а - доходность i-го актива.

Параметры являются управляемыми инвестором параметрами при формировании портфеля.

Доходность (ожидаемая доходность) активов, чаще всего вычисляется как статистическая средняя, а ожидаемая доходность как прогнозное значение.

Для оценки риска портфеля, как и оценка риска  отдельных активов могут быть использованы разные показатели. Наибольшее распространение получила оценка риска через стандартное отклонение ставок доходности по портфелю. Стандартное отклонение вычисляется по формуле:

          (2)

где - вариация портфеля, - ковариация, а - коэффициент корреляции i – ой и j – ой ценных бумаг, - стандартное отклонение (риск) i – ой ценной бумаги.

Пусть по i –ой и j- ой ценным бумагам имеется статистические данные по уровню их доходности.

t	1	2	…	N
			…
			…

 

Тогда параметры  вычисляются по следующим формулам:

            (3)

           (4)

В частности, вариация i – ой ценной бумаги находится по формуле

           (5)

Тогда

.                      (6)

Задача  оптимизации заключается в том, чтобы определить, какая доля капитала должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска соответствовали  целям инвестора. Например, если целью  является минимизация риска с  условием обеспечения доходности не ниже заданного уровня, то математическая формулировка такой задачи имеет  следующий вид:

          (7)

Решение такой задачи можно получить в  среде Excel с помощью надстройки «Поиск решения». Более подробно это будет рассмотрено на примере.

В случае если инвестор имеет дело с большим числом ценных бумаг вычисление всех ковариаций становится трудноразрешимой задачей. Для преодоления этих трудностей используется линейная регрессионная модель

          (8)

где - доходность ценной бумаги; - доходность рынка (индекс рынка), - случайная погрешность, - расчетная (по линейной модели) доходность i-ой ценной бумаги.

Обозначим через 

            (9)

Тогда, используя  модель (8), можно убедиться, что полная вариация i – ой ценной бумаги равна

           (10)

Здесь - рыночная часть вариации, а - собственная часть вариации, где .

Используя модель (8) и соотношение (10) получим, что

а ,

поэтому задачу (7) можно записать в виде

         (11)

Задача.

 

 В Таблице 1 приведена информация о доходности акций по 2-м ценным бумагам и индекс рынка на протяжении пятнадцати кварталов.

 

Требуется:

1. определить характеристики каждой ценной бумаги: а₀, β, рыночный (или систематический) риск, собственный (или несистематический) риск, R², α;
2. сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг при условии, что обеспечивается доходность портфеля (m_p) не менее чем по безрисковым ценным бумагам (облигациям) с учетом индекса рынка.
3. построить линию рынка капитала (CML);
4. построить линию рынка ценных бумаг (SML).

Таблица 1.

Время, t	Индекс, mr	Облигации, m0	1-я бумага	2-я бумага
1	5		6	5
2	0	1,8	10	4
3	12	1	7	7
4	5	4	6	12
5	-4,6	3	-9	-2
6	-8,9	2,1	-12	-5
7	12	3,5	16	8
8	5	4	3	7
9	6	3,2	9	9
10	4	3	2	1
11	-3	1,9	-7	5
12	-7	3,2	8	-8
13	4	1,6	9	6
14	6,5	3	7	-5
15	9	2,9	14	4

 

Решение:

Сначала вводим всю информацию в Microsoft Excel.

 

Найдем  параметры модели с помощью инструмента Регрессия Пакет анализа Excel.

Для этого  предварительно установим Сервис Надстройки Пакет анализа:

 

 

 

 

А затем Сервис Анализ данных Регрессия:

В результате получим следующие данные:

По первой бумаге:

По второй ценной бумаге:

Отсюда, а₁=1,8644645; β₁=0,9118452; R²₁=0,523397; =5,800074²=33,64085812 (за .приближенно можно взять стандартную ошибку).

Наша  модель для первой ценной бумаги будет  иметь вид:

.

а₂=1,453869; β₂=0,582044; R²₂=0,415993; =4,59697²=21,13207352.

Модель  для второй ценной бумаги будет иметь  вид:

.

Рыночная  часть вариации i-ой ценной бумаги определяется по формуле , а собственная часть вариации - . Соответствующие риски определяются как корни из вариаций, т.е. рыночный риск , а собственный риск .

Таким образом, Бумага недооценена.

Таким образом, Бумага недооценена.

Найдем  средние значения доходностей по рынку, облигациям и ценным бумагам.

Также найдем вариацию рынка по формуле:

.

В нашем  случае

После нахождения характеристик приступим к задаче оптимизации.

где m₀ – доходность по облигациям.

Для этого  опять воспользуемся электронными таблицами Excel.

Внесем  все формулы:

Заметим, что х₁, х₂ всегда соответствуют ячейкам В26, С26, а целевая функция – ячейке D26.

Если  Вы все правильно заполнили, то получим  следующее:

Решим данную оптимизационную задачу, воспользовавшись инструментом Поиск решения Пакет анализа Excel.

Получим следующие результаты:

Таким образом, оптимальные значения будут следующими:

х₁=0.233; х₂=0.767 при m_p=5.566.

Коэффициент детерминации портфеля вычисляется  по следующей формуле:

 где  ,

- рыночная часть вариации  портфеля

- собственная часть вариации  портфеля

Этот  коэффициент указывает на то, насколько  процентов вариация портфеля объясняется  вариацией рынка.

Линия рынка  капитала – это линейная модель, связывающая доходность портфеля с  риском портфеля. Она имеет следующий  вид:

,

где - средняя доходность (индекс) рынка;

- средняя доходность облигации; 

- доходность портфеля;

- риск портфеля;

Линия рынка  капитала (CML) в нашем случае будет иметь вид:

Линия рынка  капитала графически будет иметь  следующий вид:

Также построим линию рынка ценных бумаг (SML).

.

В нашем  случае:

.

 

 

Лабораторная  работа № 2

Динамические  модели планирования финансов

 

Цель  работы – освоение методики динамического управления финансовыми ресурсами с использованием моделей прогнозирования доходности и рисков ценных бумаг.

Краткие теоретические сведения.

Классические  методы формирования оптимальных портфелей  Марковица являются стационарными, т.е. не учитывают тенденцию изменения цены активов. Однако на практике чаще используются динамические (активные) инвестиционные стратегии. Суть которых, состоит в том, что комбинация активов постоянно пересматривается. Благодаря чему удается извлекать дополнительный доход, используя прогноз ожидаемой доходности и рисков различных активов. Располагая прогнозными значениями доходности и рисками активов, а также коэффициентами корреляции между ними можно рассчитать ожидаемую доходность и риск портфеля при оптимальных долях распределение капитала по отдельным активам.

Если  имеется конечный набор альтернатив  по размещению капитала (как это  имеет место в приведенном  ниже примере), то рассчитываются и  сравниваются все альтернативы. Если же выбор долей распределения  капитали находится в полном распоряжении инвестора, то для формирования портфеля можно использовать различные критерии, сочетающие ожидаемую доходность и  ожидаемый риск.

Описанная выше стратегия состоит из следующих  этапов.

1 этап. Вычисление  корреляционной матрицы

,

2 этап. Построение  модели регрессии для каждого  актива