Исследование операций в производственном менеджменте

Пример.

  Предприятие  производит  два  вида  продукции А1, А2 , используя сырье  трех  типов: S1, S2, S3. Нормы расхода сырья каждого типа на единицу продукции,  их  наличие  в  распоряжении предприятия,  а также прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице 1. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от ее реализации является максимальной.

Таблица 1

Вид	Норма расхода сырья  на  единицу продукции		Наличие
сырья	А1	А2	сырья
S1	1	1	5
S2	2	1	9
S3	1	2	7
Прибыль от единицы продукции	3	4

Математическая модель данной задачи может  быть  записана следующим образом. Определить объемы производства продукции вида А1 и А2, при которых достигается максимум целевой функции

F( )= 3×X1 + 4×X2

при ограниченияхX1 + X2  5

2×X1 + X2  9

X1 + 2×X2 7

X1,X2 0   ,

где X1 и X2 - количество единиц продукции вида А1 и А2.

С формальных   позиций   данная  модель  является  линейной потому, что все входящие в нее функции линейные. Так как модель  содержит  только  две  переменные,  задачу  можно решить графически.

Первый шаг, при использовании графического метода, заключается в геометрическом представлении  допустимых  решений, т.е.  построении области, в которой одновременно выполняются все ограничения  модели.  Искомая  область  (пространство)  решений показана на рис. 1.

 
Рис. 1.еометрическая интерпретация задачи производственного планирования

 

Пространство решений  содержит  бесконечное  число  точек. Известно,  что  направление  возрастания  целевой функции модели определяется вектором-градиентом,  т.е.  вектором с координатами (3;4) – [ = {3, 4}]. На рис.1  это направление показано стрелкой. Чтобы найти оптимальное решение,  следует перемещать прямую  характеризующую прибыль   (линию   уровня   целевой   функции)   в   направлении вектора-градиента до тех пор,  пока она не сместится  в  область недопустимых  решений.  Из  рис.1 видно, что оптимальному решению соответствует точка С с координатами (3;2).  Полученное  решение означает,   что  объем  производства  продукции  А1  равен  трем единицам,  а  продукции  А2  равен  двум  единицам.  Прибыль  от реализации составит 17 денежных единиц. Заметим, что оптимальному решению   всегда  может  быть поставлена в  соответствие  одна  из  допустимых  угловых  точек  пространства решений  (на  рис.1 это точки А,B,С,D,Е).  Какая из этих точек окажется оптимальной, зависит от наклона линии уровня целевой функции, т.е. от коэффициентов целевой функции.