Свойства функций полезности

Содержание

Свойства функций полезности………………………………………………….………..…2

Задача 1……………………………………………………………………………………………….….5

Задача 2………………………………………………………………………………………………….9

Задача 3………………………………………………………………………………….………..…..11

Задача 4……………………………………………………………………………………..………..14

Литература………………………………………………………………………………….……….16

 

 

Свойства функций полезности

Функции полезности имеют пять основных свойств:

1. Функции полезности инвариантны  относительно положительных линейных  преобразований. Так, функция предпочтения  полезности ln х, приведет к выбору  тех же инвестиций, что и функции  полезности 25 + ln х, 7 * ln x или (ln х)/1,453456. То  есть функция полезности, подвергнутая  воздействию положительной константы (прибавлением, вычитанием, умножением  или делением), приведет к выбору  тех же самых инвестиций. Другими  словами, она приведет к тому  же набору инвестиций, максимизирующих  полезность, что и до воздействия  на нее положительной константой.

2. Большее предпочтительнее меньшего. В экономической литературе это  часто называется ненасыщением. Другими словами, функция полезности  никогда не приведет к предпочтению  меньшего капитала большему при  достоверных исходах или равенстве  их вероятностей. Поскольку при  росте капитала должна расти  и полезность, то первая производная  от полезности как функции  капитала должна быть положительной. То есть:

Если полезность измерять по вертикальной оси, а капитал – по горизонтальной, то у кривой полезности никогда не будет отрицательного наклона.

Первой производной функции полезности ln x будет х-1.

Мешки для строительного мусора здесь Подробная информация мешки для строительного мусора здесь. www.mirpack.ru

Multiboard.com.ua Квн природа smart интерактивная доскаmultiboard.com.ua. www.multiboard.com.ua

 

3. Предполагается три возможных  типа отношения инвестора к  риску, называемых также нерасположенностью  к риску. Он может либо уклоняться  от риска, либо быть нейтральным  к нему, либо жаждать риска. Все  эти категории могут быть описаны  в терминах справедливой азартной  игры. Если взять справедливую  игру, такую, как подкидывание монеты, с выигрышем одного доллара  на орлах и проигрышем одного  доллара на решках, то мы обнаружим, что математическое ожидание  капитала равно нулю. Уклоняющийся  от риска индивидуум отверг  бы такое пари, тогда как жаждущий риска его бы принял. Инвестор, который нейтрален к риску, был бы индифферентен к этому пари.

Неприятие риска характеризуется второй производной функции предпочтения полезности U"(x). У индивидуума, уклоняющегося от риска, вторая производная отрицательна, у склонного к риску – положительна, а у нейтрального к риску – вторая производная функции предпочтения риска нулевая.

На рис. 2.4 изображены три основных типа функций предпочтения полезности в зависимости от U"(x), или степени неприятия риска инвестора. Функция предпочтения полезности, равная ln х, демонстрирует нейтральное отношение к риску. Инвестор индифферентен к справедливой азартной игре. Для логарифмической функции предпочтения полезности вторая производная будет равна –х-2.

4. Четвертое свойство функций  предпочтения полезности касается  того, как изменяется степень  неприятия риска инвестора при  изменении капитала. При этом  говорят об абсолютной величине  нерасположенности к риску. Здесь  вновь имеются три категории. К первой относятся индивидуумы, которые проявляют возрастающее  абсолютное неприятие риска. По  мере роста капитала они держат  все меньше средств в рискованных  активах. Следующими идут индивидуумы  с постоянным абсолютным неприятием  риска. С ростом капитала они  сохраняют те же денежные вложения  в рискованные активы. Последними  идут те, кому свойственно понижение  абсолютного неприятия риска. С  ростом капитала они готовы  держать больше денег в рискованных  активах.

Математически абсолютное неприятие риска А(х) выражается следующим образом:

Если нам нужно узнать, как изменяется абсолютное неприятие риска с изменением капитала, то мы берем первую производную от А(х) по х (капитал) – А'(х). При этом у индивидуума с возрастающим абсолютным неприятием риска было бы А'(х) > 0, при постоянном абсолютном неприятии риска было бы А'(х) = 0, а при понижающемся абсолютном неприятии риска было бы А'(х) < 0.

В случае логарифмической функции предпочтения полезности имеет место понижающееся абсолютное неприятие риска. Для ln х имеем:

5. Пятое свойство функций предпочтения  полезности касается того, как  изменяется доля средств, инвестированных  в рискованные активы, с изменением  капитала. При этом говорят об  относительной величине нерасположенности  к риску. Другими словами, это  касается того, как изменяется  доля, а не денежная величина  средств, инвестированных в рискованные  активы, в зависимости от изменения  капитала. Здесь вновь имеются  три возможные категории: возрастающее, постоянное и убывающее относительное  неприятие риска, где доля инвестиций  в рискованные активы возрастает, постоянна или убывает, соответственно.

Математически относительное неприятие риска R(x) выражается следующим образом:

Отсюда R'(х), первая производная относительного избегания риска, будет характеризовать, как изменяется относительное неприятие риска в зависимости от изменений капитала. Поэтому индивидуумам, которым свойственно возрастание, постоянство и понижение относительного неприятия риска, будут отвечать положительная, нулевая и отрицательная R'(х), соответственно.

В случае логарифмической функции предпочтения полезности имеет место постоянное относительное неприятие риска. Для ln х имеем:

 

 

Задача 1. (для всех студентов одинаковая)

Опишите процесс моделирования в принятии управленческого решения из опыта вашей деятельности (производственной или по управлению домашним хозяйством), отмечая отдельные этапы и выделив критерии отбора оптимального решения. Выделите экзогенные и эндогенные переменные модели.

 

Пример (рассмотрим постановку задачи планирования выпуска при ограниченных ресурсах из курса линейного программирования).

Проблема. Руководители фирмы, производящей несколько видов продукции, хотят выяснить, каким должен быть план выпуска по каждому виду продукции, чтобы предприятие  работало наиболее  эффективно.

Постановка задачи: Имеется фирма, производящая несколько видов продукции. Определить объемы производства с целью максимизации прибыли.

Анализ ситуации: Для того чтобы решить задачу, необходимо выделить наиболее существенные элементы и отбросить незначительные, то есть нужно построить модель, доступную с точки зрения расчета и в то же время отражающую самые главные свойства процесса. Анализ производится с учетом реальной ситуации. Решение о том, какие факторы будут выбраны как существенные, во многом субъективно, то есть зависит от способностей, личной заинтересованности и компетентности модельера.

Будем считать, что из анализа ситуации мы узнали следующее. В процессе производства используется три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; ресурсы однородны; количества их известны и в данном  производственном цикле увеличены быть не могут. Известен расход каждого из ресурсов, а также прибыль на единицу продукции каждого вида.

Что мы не учли при постановке?

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение. В действительности, по крайней мере:

1. ресурсы могут быть взаимозаменяемы;

2. затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (постоянные и переменные);

3. объемы ресурсов не строго фиксированы, так могут продаваться, покупаться, сдаваться в аренду;

4. ресурсы неоднородны и разные их составляющие по разному влияют на выпуск;

5. цена продукта может зависеть от объема реализации (неконкурентный рынок), то же - и цена ресурса;

6. фирма может использовать не одну, а выбирать из нескольких технологий, характеризующихся определенными сочетаниями ресурсов;

7. размер прибыли может быть оценен по-разному, это, например, зависит от налоговой системы;

8. предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, значит, целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

9. реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени,  важны динамические взаимосвязи;

10. на ситуацию могут оказать влияние случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Построение гипотезы: Построение модели в рамках  линейного программирования (формулирование целевой функции, ограничений и граничных условий), несмотря на  простоту модели, даст решение, приемлемое в реальной обстановке.

Формализация (построение  математической модели – в виде формул  или алгоритмов): включает в себя выбор переменных и установление связей между ними.  В нашем случае это три неравенства, ограничивающие затраты ресурсов и выражение для расчета прибыли в качестве целевой функции.

Введем обозначения для эндогенных переменных – тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не известны заранее. В нашем случае – это неизвестные  объемы производства x1, ... , xn.

Опишем экзогенные переменные (заданные вне модели, то есть известные заранее). В задаче заданы количества К - капитал, L - труд и количество сырья R, а также коэффициенты их расхода на единицу продукции каждого вида: кi, li, ri.

 Для каждого вида  продукции, расходов ресурсов на  единицу продукции и для прибыли  на единицу рi мы  ввели индекс i, он меняется от 1 до n. Индексы позволяют нам записать связи в наиболее компактной, удобной для восприятия форме.

Закончив описание переменных и параметров, переходим к установлению связей между переменными задачи.

Совокупный расход каждого вида ресурса не должен превышать допустимое значение:

x1×k1+ x2×k2+…+ xn×kn<= K ü

x1×l1+ x2×l2+ …+xn×ln<= L ý- ограничения по ресурсам

x1×r1+ x2×r2+…+ xn×rn<= R þ

x1×p1+ x2×p2+…+ xn×pn®max        - целевая функция (размер прибыли)

 Мы сформулировали  задачу линейного программирования  – по известному математическому  методу. Далее пользуясь методом  и подставляя реальные значения, мы можем дать руководителям фирмы вполне конкретные рекомендации по плану выпуска продукции.  Следует отметить, что не всегда задача сводится к известным математическим приемам, она может потребовать разработки и нового способа решения.

Анализ адекватности модели - последний этап моделирования. Здесь, например, можно принять во внимание, что расходы ресурсов на единицу продукции, и другие экзогенные переменные являются случайными величинами. Поэтому достижение максимальной прибыли возможно лишь с вероятностью, определение которой и даст ответ на вопрос о приемлемости решения.

 

 

Для примера, опишем модель производства скамеек, столов, полок. Здесь применяется относительно однородное сырье – доска.

Пусть:

x1 – количество скамеек, x2 – количество столов, x3 – количество полок,