Регулирование иностранных инвестиций в РФ

 

Переплаты за кредит без учета дисконтирования равны соответственно

1)  G= 6,88396;  2)  G= 8,23396; 3)  G= 14,98396; 4)  G= 16,33396.

Эффективные ставки кредита для рассмотренных случаев соответственно равны:

1)  r= 19,80225%; 2)  r= 24,38239%; 3)  r= 46,50731% 4)  r= 52,24515%.

Во всех случаях, кроме 1), эффективные ставки кредита существенно выше декларируемой банком процентной ставки в 18% годовых.

 

Дифференцированная схема погашения кредита рассчитывается следующим способом: выплата состоит из двух частей - суммы кредита деленной на количество выплат плюс процентные деньги, начисляемые на остаток суммы.

В таблице 2 представлен расчет в Excel эффективной ставки кредита для рассмотренных четырех случаев

Таблица 2

Дифференцированная схема погашения кредита
					Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
№	Даты платежей ti	Постоя. платеж	Остаток	% платеж	Платежи Ci	Платежи Ci	Платежи Ci	Платежи Ci
0	10.02.2011				-90	-88,65	-90	-88,65
1	10.03.2011	10	90	1,35	11,35	11,35	12,25	12,25
2	10.04.2011	10	80	1,2	11,2	11,2	12,1	12,1
3	10.05.2011	10	70	1,05	11,05	11,05	11,95	11,95
4	10.06.2011	10	60	0,9	10,9	10,9	11,8	11,8
5	10.07.2011	10	50	0,75	10,75	10,75	11,65	11,65
6	10.08.2011	10	40	0,6	10,6	10,6	11,5	11,5
7	10.09.2011	10	30	0,45	10,45	10,45	11,35	11,35
8	10.10.2011	10	20	0,3	10,3	10,3	11,2	11,2
9	10.11.2011	10	10	0,15	10,15	10,15	11,05	11,05
Переплата (тыс. руб.)					6,75	8,1	14,85	16,2
Эффективная ставка кредита					19,80949%	24,48205%	47,06237%	52,93352%

 

Переплаты за кредит равны соответственно

1)  G= 6,75;   2)  G= 8,1;   3)  G= 14,85;  4)  G= 16,2.

Эффективные ставки кредита для рассмотренных случаев соответственно равны:

1)  r= 19,80949%; 2)  r= 24,48205%;  3)  r= 47,06237%; 4)  r= 52,93352%.

Во всех случаях, кроме 1), эффективные ставки кредита существенно выше декларируемой банком процентной ставки в 18% годовых.

Парадокс эффективной процентной ставки. Сравним аннуитетную и дифференцированную схему погашения кредита. Сведем полученные выше переплаты за кредит G (процентные деньги) и эффективные ставки r аннуитетной и дифференцированной схемы погашения кредита для всех трех вариантов договора по выплате кредита в таблицу 3.

Таблица 3

	Аннуитетная схема		Дифференцированная схема
	Переплата G тыс. руб.	Эффективная ставка r	Переплата G тыс. руб.	Эффективная ставка r
Вариант 1	6,88396	19,80225%	6,75	19,80949%
Вариант 2	8,23396	24,38239%	8,1	24,48205%
Вариант 3	14,98396	46,50731%	14,85	47,06237%
Вариант 4	16,33396	52,24515%	16,2	52,93352%

 

Из таблицы 3 видно, что во всех четырех вариантах договора о выплате кредита процентные деньги G по аннуитетной схеме всегда больше, чем по дифференцированной схеме погашения кредита. Казалось бы, для клиента банка более выгодна дифференцированная схема погашения кредита. Однако, эффективная ставка дает противоположный результат: она всегда больше по схеме дифференцированного погашения кредита, чем по аннуитетной схеме. Тогда, судя по эффективной процентной ставке, для клиента банка более выгодна аннуитетная схема погашения кредита. Возникает противоречие. Но, это противоречие кажущееся.

Действительно, переплаты за кредит G (процентные деньги) определяются без дисконтирования, без учета временной зависимости денег, без учета того, что сумма, выплачиваемая раньше, стоит дороже той же суммы, выплачиваемой позже. В отличие от процентных денег эффективная процентная ставка вычисляется по потоку платежей, с учетом, как  получаемых сумм, так моментов их поступления. По аннуитетной схеме кредит погашается равными суммами. При дифференцированной схеме погашения кредита последовательность погасительных сумм убывает – сначала платятся большие суммы, а затем меньшие. Но чем раньше выплачиваются деньги, тем они дороже. Именно поэтому эффективная ставка для дифференцированной схемы погашения кредита всегда больше эффективной ставки для аннуитетной схемы.

Таким образом, эффективная ставка более точно оценивает выгодность кредитных операций.

 

3. Расчет бета вклада ценной бумаги относительно оптимального портфеля

В таблице 4 приведены эффективности R₁, R₂, R₃ трех ценных бумаг (акций). Требуется найти статистические характеристики эффективностей акций необходимые для построения оптимального портфеля ценных бумаг, т.е. оценить математическое ожидание доходности акций m₁, m₂, m₃; ковариационную v_ij матрицу связи ценных бумаг. Построить оптимальный портфель ценных бумаг (задача Д. Тобина) в предположении, что в него включена государственная ценная бумага с нулевым риском и ожидаемой доходностью r₀ = 10. Рассчитать тремя способами β_j – вклада ценной бумаги относительно оптимального портфеля. Убедится в эквивалентности этих способов расчета β_j – вклада ценной  бумаги.

Таблица 4. Эффективности ценных бумаг R₁, R₂, R₃  
и оптимального портфеля R⁺

№	R1	R2	R3	R+
1	6,7780	16,2549	20,1685	9,6144
2	8,6428	17,9098	22,6762	10,9657
3	7,7704	17,4948	22,9011	10,6300
4	7,6929	18,2310	20,2599	10,3818
5	6,7298	15,2218	20,6247	9,4230
6	8,2135	14,8073	22,9792	10,1413
7	9,7281	18,2161	19,5794	10,9080
8	7,4997	13,6535	23,8152	9,7718
9	8,4328	18,1370	16,6676	10,0468
10	8,4626	18,1134	22,2758	10,8976
11	9,0183	15,6835	23,3393	10,6539
12	6,6477	14,9362	20,4104	9,2973
13	8,0287	14,7436	17,0336	9,1707
14	8,9540	16,3126	17,4749	9,8975
15	6,4968	16,1779	16,9278	9,0192
16	7,5359	16,3194	21,0772	10,0025
17	7,2833	16,8327	21,3909	10,0933
18	6,9083	16,1263	22,6546	9,9999
19	8,2580	17,8745	17,0619	9,9897
20	9,6979	18,2079	17,7998	10,6278
21	8,1243	14,9456	17,0463	9,2503
22	9,0196	13,6378	17,5761	9,2979
23	8,6143	15,4727	23,4501	10,4950
24	8,5697	13,5812	20,5312	9,5911
25	8,1987	18,2559	23,0982	10,9736
26	7,5959	14,9773	20,2356	9,5753
27	7,9315	15,5394	16,7382	9,2848

 

РЕШЕНИЕ.

Воспользовавшись программой СРЗНАЧ() в Excel, найдем ожидаемые доходности акций

m₁= 8,03087, m₂ = 16,20978, m₃ = 20,21458.

Далее, с помощью программы КОВАР() найдем ковариационную матрицу.

Ковариационная матрица равна

Используя полученные значения ожидаемых доходностей портфеля m₁, m₂, m₃ и ковариационную матрицу V, построим оптимальный портфель Д. Тобина, включающий кроме акций государственную ценную бумагу с нулевым риском и доходом r₀ = 10. Для этого воспользуемся программой Поиск решения в Excel. При вычислении риска портфеля x^*V x, где х – вектор столбец средств, вкладываемых в акции, можно использовать функцию Excel для умножения матриц МУМНОЖ().

Решение задачи Д. Тобина, в Excel дает следующую структуру оптимального портфеля ценных бумаг

x₀⁺ = 0,300703,  x₁⁺ = 0,310773, x₂⁺ = 0,237473, x₃⁺ = 0,151051.

где x₀⁺ – доля средств выделяемых на покупку государственной ценной бумаги,

x₁⁺, x₂⁺, x₃⁺  - доли средств выделяемых на покупку акций.

Эффективность оптимального портфеля является случайной величиной равной (2)

(2)

где R^* = (R₁, R₂, R₃) - случайный вектор, составленный из случайных эффективностей трех акций,

Х₀⁺, Х⁺ = (Х₁⁺ , Х₂⁺ , Х₃⁺) - вычисленная структура оптимального портфеля ценных бумаг.

В таблице 4 столбец R⁺ соответствует оптимальному портфелю.

Риск портфеля при этом будет равен

0,361216.

Вычислим величину βj, именуемую «бета вклада j-ой ценной бумаги относительно оптимального портфеля» по формуле (3)

 (3)

где - ковариация эффективности j-ой ценной бумаги и эффективности оптимального портфеля.

 - дисперсия оптимального портфеля.

Коэффициенты β_j – «бета вклад j-ой ценной бумаги относительно оптимального портфеля» называют также коэффициентами Шарпа.

Вычислив ковариации между парами столбцов (R₁, R⁺), (R₂, R⁺), (R₃, R⁺) в таблице 4 и поделив её на дисперсию оптимального портфеля, получим бета вклада j-ой ценной бумаги относительно оптимального портфеля:

β₁ = 0,7539,  β₂ = 1,7762,  β₃ = 2,2768.

С другой стороны, для β_j можно дать следующее эквивалентное определение: β_j – является коэффициентом в линейной регрессии (4)

 (4)

Найдем параметры линейной регрессии β_j и а_j методом наименьших квадратов, используя в Excel функцию ЛИНЕЙН() для построения линейной регрессии между столбцами R₁, R₂, R₃, и R⁺. Получим соответственно:

β₁ = 0,7539,  a₁ =    0,4923

β₂ = 1,7762,  a₂ = - 1,5525

β₃ = 2,2768   a₃ = - 2,5536

На рисунках 2 – 4 проиллюстрирована линейная регрессия пар эффективностей ценных бумаг и эффективности оптимального портфеля.

Рисунок 2. Линейная регрессия эффективностей первой ЦБ и  
оптимального портфеля

Рисунок 3. Линейная регрессия эффективностей второй ЦБ и  
оптимального портфеля

Рисунок 4. Линейная регрессия эффективностей третьей ЦБ и  
оптимального портфеля

С третьей точки зрения экономический смысл β_j следующий. Коэффициент β_j равен отношению разности доходности акции и государственной ценной бумаги к разности доходности оптимального портфеля и государственной ценной бумаги (см. формулы (5) и (6)):

 (5)

 (6)

Таким образом, премия за риск любой ценной бумаги, включенной в оптимальный портфель, пропорциональна премии за риск, связанный с оптимальным портфелем в целом, при этом коэффициент пропорциональности равен β_j.

Расчет по формуле (5) дает следующие значения для β_j – вклада ценной бумаги

Очевидно, что во всех трех случаях расчета β₁ , β₂ , β₃ – вклада ценной бумаги получаются одинаковые значения.