Характеристики и методы анализа одноканальных систем массового обслуживания

Заявка, поступившая в  СМО в момент времени, когда все  каналы заняты, получает отказ, и, следовательно, время ее «ожидания» в СМО равно  нулю. Это приводит в общем случае (при р ≠ 1) к уменьшению Т_оч ростом λ, поскольку доля таких заявок с ростом λ увеличивается.

Если отказаться от ограничения  на длину очереди, т.е. устремить  m —> →∞, то случаи р < 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду р₀=1-р

р₁ =р*(1-р)

p₂=p²(1-p)

p_k=р^k *(1 - р)

При достаточно большом к вероятность p_k стремится к нулю. Поэтому относительная пропускная способность будет Q = 1, а абсолютная пропускная способность станет равной А —λ Q — λ следовательно, обслуживаются все поступившие заявки, причем средняя длина очереди окажется равной:

L_оч = p² 1-p

а среднее время ожидания по формуле Литтла

Т_оч = L_оч/А

 

В пределе р << 1 получаем Т_оч = ρ / μ т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q = 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

В качестве одной из характеристик  СМО используют среднее время  Т_смо пребывания заявки в СМО, включающее среднее время пребывания в очереди и среднее время обслуживания. Эта величина вычисляется по формулам Литтла: если длина очереди ограничена — среднее число заявок, находящихся в очереди, равно:

L_смо= m+1 ;2

Т_смо= Lсмо; при p ≠1

A тогда среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания (как в очереди, так и под обслуживанием) равно:

Т_смо= m+1 при p ≠1 2μ

 

 

 

 

 

 

 

3.Одноканальная СМО с неограниченной очередью

 

В коммерческой деятельности в качестве одноканальной СМО  с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку  он, как правило, вынужден выполнять  обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи  и беседы с подчиненными, представителями  налоговой инспекции, милиции, товароведами, маркетологами, поставщиками продукции  и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с  обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы.

В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу).

Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных  для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих  товары. Если количество товаров, предназначенных  для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем  СМО с ожиданием.

Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ и интенсивностью обслуживания µ.

Причем заявка, поступившая  в момент, когда канал занят  обслуживанием, ставится в очередь  и ожидает обслуживания.

Размеченный граф состояний  такой системы приведен на рис. 3.5

Количество возможных  состояний ее бесконечно:

- канал свободен, очереди нет, ;

- канал занят обслуживанием,  очереди нет, ;

- канал занят, одна заявка в  очереди, ;

- канал занят  , заявка в очереди.

Модели оценки вероятности  состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выделенных для СМО с неограниченной очередью, путем перехода к пределу  при m→∞:

 

Рис. 3.5 Граф состояний одноканальной  СМО с неограниченной очередью.

 

 

Следует заметить, что для  СМО с ограниченной длиной очереди  в формуле

 

имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем . Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при . Эта сумма сходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при , что определяет установившийся режим работы СМО, с при очередь при с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой  СМО ограничение на длину очереди  отсутствует, то любая заявка может  быть обслужена, поэтому  , следовательно, относительная пропускная способность , соответственно , а абсолютная пропускная способность

.

Вероятность пребывания в  очереди k заявок равна:

;

 

Среднее число заявок в  очереди – ;

 

Среднее число заявок в  системе – ;

 

Среднее время пребывания заявки в системе –

;

 

Среднее время пребывания заявки с системе –

.

 

Если в одноканальной  СМО с ожиданием интенсивность  поступления заявок больше интенсивности  обслуживания , то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

 

Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебн. пособие.- М.: финансы и статистика,2002.-386с.