Контрольная работа по "Эконометрике"

Задача №1.

 

Исследовать причинно – следственную связь между такими экономическими явлениями, как себестоимость единицы  продукции y (руб.) и объем производственной продукции x (тыс. шт.). Данные представлены по 24 предприятиям:

 

Предприятие	Выпуск, тыс. шт.	Себестоимость, руб.	Предприятие	Выпуск, тыс. шт.	Себестоимость, руб.
1	2	8,00	13	8	5,00
2	3	9,00	14	9	3,00
3	3	10,00	15	9	2,00
4	4	7,00	16	10	2,00
5	4	6,00	17	11	2,00
6	5	5,00	18	12	1,00
7	6	5,00	19	13	1,00
8	6	4,00	20	14	1,00
9	6	3,00	21	14	2,00
10	7	3,00	22	15	1,00
11	7	4,00	23	16	0,98
12	7	5,00	24	17	0,80

 

Задания:

1. Построить линейную модель y = b₀ + b₁x, параметры которой оценить методом наименьших квадратов.
2. Оценить тесноту и направление связи между переменными с помощью коэффициента корреляции, найти коэффициент детерминации и пояснить его смысл.
3. Проверить значимость уравнения регрессии на 5 %-м уровне по F-критерию, проверить значимость коэффициента регрессии по t-статистике.

 

Решение:

1. Используя ППП Excel с помощью функции регрессия находим линейную регрессию:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,8807
R-квадрат	0,7756
Нормированный R-квадрат	0,7654
Стандартная ошибка	2,1504
Наблюдения	24,0000

 

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1,0000	351,6013	351,6013	76,0354	0,0000
Остаток	22,0000	101,7320	4,6242
Итого	23,0000	453,3333

 

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	14,1514	0,7670	18,4500	0,0000
Переменная X 1	-1,4500	0,1663	-8,7198	0,0000

 

	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	12,5607	15,7421	12,5607	15,7421
Переменная X1	-1,7949	-1,1052	-1,7949	-1,1052

 

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	2,5512	-0,5512
2	1,1012	1,8988
3	-0,3488	3,3488
4	4,0012	-0,0012
5	5,4512	-1,4512
6	6,9013	-1,9013
7	6,9013	-0,9013
8	8,3513	-2,3513
9	9,8013	-3,8013
10	9,8013	-2,8013
11	8,3513	-1,3513
12	6,9013	0,0987
13	6,9013	1,0987
14	9,8013	-0,8013
15	11,2513	-2,2513
16	11,2513	-1,2513
17	11,2513	-0,2513
18	12,7014	-0,7014
19	12,7014	0,2986
20	12,7014	1,2986
21	11,2513	2,7487
22	12,7014	2,2986
23	12,7304	3,2696
24	12,9914	4,0086

 

2. Коэффициент корреляции r =0,8806 , R² =0,7756 . Так как показатели тесноты связи близки к 1, что характеризует тесную положительную корреляционную зависимость между себестоимостью единицы продукции y (руб.) и объемом производственной продукции x (тыс. шт.).

При этом R² =0,7756 показывает что 80 % общего рассеивания результативного признака определяется влияние факторного. А 20 % общего рассеивания – влиянием прочих неутонченных факторов.

 

3. Значимость уравнения регрессии проверяем по критерию Фишера F, при этом проверяется гипотеза H₀:b₀=b₁=0.

F_расчет = 76,0354. F_табл находим по распределению Фишера при числе степеней свободы

 

 

Сравнивая F_расчет  и F_табл находим что F_расчет  > F_табл, следовательно H₀:b₀=b₁=0 отвергается и принятая регрессионная модель значима, т. е. адекватна опытным данным.

4. Значимость коэффициента регрессии определяем по критерию Стюдента t.

t_расчет = 8,7198. t_табл находим по распределению Стюдента при числе степеней свободы k=n-2 и уровню доверительной вероятности = 0,95.   t_расчет = 2,07

Сравнивая t_расчет  и t_табл делаем заключение о статистической значимости коэффициента регрессии, так как t_расчет  > t_табл, то H₀:b₁=0 отвергается и коэффициент регрессии b₁ значим.

 

Вывод: на основании выборочных наблюдений о себестоимости единицы продукции y (руб.) и объеме производственной продукции x (тыс. шт.) для 24 предприятий построена регрессионная модель у = 14,15 + 1,45, параметры которой определены.

 

 

Задача №2.

 

По совокупности 40 предприятий  торговли изучается линейная зависимость между ценой товара А (тыс. руб.) х и прибылью торгового предприятия (млн. руб.) у.

При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные  результаты:

- остаточная сумма квадратов  отклонения,

 

- полная сумма квадратов отклонения.

 

Задания:

1. Пояснить, какой показатель корреляции можно определить по вышеприведенным данным.
2. Построить таблицу дисперсионного анализа для расчета значения F-критерия Фишера.
3. Сравнить фактическое значение F-критерия с табличным. Сделать выводы.

 

Решение:

1. у_j – опытное значение результативного признака – прибыль торговых предприятий

y_x – теоретическое значение результативного признака

у – среднее значение прибыли

- остаточная дисперсия

- полная дисперсия

 

- полная сумма

 

Индекс корреляции:

Коэффициент детерминации =0,8474 показывает полную долю в общем рассеивании и определяет влияние факторного принципа.

2. Строим таблицу дисперсионного анализа:

Компонент дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на 1 число степеней свободы	Fрасчет
Объясняющая	161000	m-1=1	161000	5,55
Остаточная	29000	n-m=38	763,158	-
Общая	190000	n-1=39	-	-

 

3. По статистическим таблицам, представленным в прил. 1, найдем F_табл = 4,08. Так как наблюдаемое значение статистики Фишера F_расчет больше табличного, то полученная модель является адекватной.

 

 

Задача №3.

 

По 20 машиностроительным заводам строилась  линейная модель зависимости рентабельности продукции (%) у, от производительности труда (ед, в день) х.

 

Для первых 8 заводов (заводы проранжированы по х) результаты оказались следующими:

у = 5,56 + 0,733х;

R² = 0,653;

F= 11,3.

 

х	7	8	9	9	10	11	12	15
у	2	6	3	3	5	6	8	8

 

Для последних 8 заводов результаты следующие:

у =-19+0,892х;

R²=0,763;

F= 19,3.

 

х	23	22	24	25	27	31	33	35
у	14	16	16	17	17	18	18	19

 

Задания: С помощью теста Гольдфельда-Квандта исследовать гетероскедастичность остатков. Сделать выводы.

 

Решение: С помощью теста Гольдфельда-Квандта необходимо найти для 1ой и 2ой группы заводов сумму квадратов случайных ошибок.

 

 

F_0,05;6;6=4.28 (по таблице Фишера)

 

Строим таблицу значений S₁ и S₂

 

N	x	y	f=y=5,56 + 0,733х	e=y-f	e2
1	7	2	10,691	-8,691	75,53348
2	8	6	11,424	-5,424	29,41978
3	9	3	12,157	-9,157	83,85065
4	9	3	12,157	-9,157	83,85065
5	10	5	12,89	-7,89	62,2521
6	11	6	13,623	-7,623	58,11013
7	12	8	14,356	-6,356	40,39874
8	15	8	16,555	-8,555	73,18803
				S1	506,6035
N	x	y	f=y=-19+0,892х	e=y-f	e2
1	23	14	1,516	12,484	155,8503
2	22	16	0,624	15,376	236,4214
3	24	16	2,408	13,592	184,7425
4	25	17	3,3	13,7	187,69
5	27	17	5,084	11,916	141,9911
6	31	18	8,652	9,348	87,3851
7	33	18	10,436	7,564	57,2141
8	35	19	12,22	6,78	45,9684
				S2	1097,263