Контрольная работа по "Эконометрике"

 

1.1 Определите, на каком рисунке показаны временные данные,

а на каком  пространственные:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Структура использования денежных средств в 2009 году

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Структура использования  денежных средств 

в декабре 2009 года.

 

1.2. Определите  виды регрессий:  y= 47,5-1,04х1 + 5х2-2,9х3+е,

у=1/(11+10,45х1-38,44х2+3,33х3-1,37х4+е), у =е45,54+100х+е   покажите , где здесь результирующая  и объясняющие переменные. Что обозначает  е  в уравнениях регрессии ?

Ответ:

Прогнозы  часто осуществляются на основе некоторых статистических показателей, которые изменяются во времени. Если эти показатели имеют значения на определенные промежутки времени, следующие друг за другом, то образуются некоторые ряды данных с определенными тенденциями. Ряд расположенных в хронологической последовательности значений статистических показателей, представляют собой временной (динамический) ряд.

Динамическим  рядом называется ряд чисел или  ряд однородных статистических величин, показывающих изменения размеров какого-либо явления или признака во времени.

Каждый  временной ряд состоит из двух элементов: отрезки времени (периоды), в рамках которых был зафиксирован определенный статистический показатель и статистические показатели, характеризующие  объект исследования (уровни ряда). Эти данные представлены на рис. 1.

На  рис. 2 представлены пространственные данные, т.е. совокупность каких-либо параметров (в данном случае структуры денежных расходов) за один временной период (за декабрь).

2. Определите виды регрессий:

y = 47,5 – 1,04 x1 + 5 x2 – 2.9 x3 + e

y = 1/ (11+10,.45x1 – 38,44x2 + 3.33 x3 – 1.37x4 + e)

y = e45.45+100x + e

Покажите, где здесь результирующая, а где объясняющие переменные. Что обозначает е в уравнениях регрессии?

Виды регрессии обычно называются по типу аппроксимирующих функций: полиномиальная, экспоненциальная, логарифмическая и т.п.

Таким образом, можно говорить о  том, что

y = 47,5 – 1,04 x1 + 5 x2 – 2.9 x3 + e – это полиномиальная регрессия

y – результирующая переменная

x1, x2, x3 - объясняющие переменные

e – ошибка регрессии

y = 1/ (11+10,.45x1 – 38,44x2 + 3.33 x3 – 1.37x4 + e)- это гипербола

y – результирующая переменная

x1, x2, x3, х4 - объясняющие переменные

e – ошибка регрессии

y = e45.45+100x + e – это экспоненциальная  регрессия

y – результирующая переменная

x - объясняющая переменные

e – ошибка регрессии

2.1. Для чего  используется средняя ошибка  аппроксимации? 

2.2. По Российской  Федерации за 2009 год известны  значения 

двух признаков (табл. 1).

 

Таблица 1

Месяцы	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Средний денежный оход на душу населения, р., х
Январь	69	1964,7
Февраль	65,6	2292,0
Март	60,7	2545,8
Апрель	…	…
Май	…	…
Июнь	…	…
Июль	…	…
Август	…	…
Сентябрь	…	…
Октябрь	53,3	3042,8
Ноябрь	50,9	3107,2
Декабрь	47,5	4024,7

 

Для оценки зависимости  у от х построена парная линейная рег-

рессионная  модель  с  помощью  метода  наименьших  квадратов    у=a+bх+е , где а=а/4,b=-1/а. Парный коэффициент корреляции rxy =1/-220*78. Средняя ошибка аппроксимации      А=220/46+4,6. Известно, что Fтабл = 4,96, а Fфакт =а/2+ 5. Определите коэффициент детерминации. Оцените линейную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

 

 

Для оценки зависимости y от x построена  парная линейная регрессионная модель с помощью метода наименьших квадратов

y = a + bx + e, где а = 220/4, b = 1/220

Парный коэффициент корреляции rxy = 1/ (-220) * 78

Средняя ошибка аппроксимации: А = 220/46 + 4,6

Известно, что Fтабл. = 4,96, а Fфакт = 220/2 + 5

Определите коэффициент детерминации. Определите линейную модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Решение:

Найдем коэффициенты парной линейной регрессионной модели:

а = 196/4 = 55

b = 1/196 = 0,0045

Получим уравнение регрессии:

y = 55 + 0,0045x + e,

Значит, с увеличением среднего денежного дохода на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,0045 %.

Линейный коэффициент парной корреляции

rxy = 1/ (-220) * 78 = -0,35

(связь умеренная, обратная)

Найдем коэффициент детерминации

rxy2 = (-0,35)2 = 0,122 Вариация результата  на 12,2 % объясняется вариацией фактора  x.

Средняя ошибка аппроксимации А = 220/46 + 4,6 = 9,38, что говорит о высокой  ошибке аппроксимации (недопустимые пределы). В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 9,38 %.

Проверяем F-критерий Фишера. Для этого  сравним Fтабл. и Fфакт.

Fтабл. = 4,96

Fфакт.=115

Fтабл. < Fфакт. (4,96<115), значит гипотеза  о случайной природе оцениваемых  характеристик отклоняется и  признается их статистическая  значимость и надежность с вероятностью 0,95.

Вывод: линейная парная модель плохо  описывает изучаемую закономерность.

3.1. В табл. 2. приведены данные, формирующие цену на строя-

щиеся квартиры в двух различных районах.

Таблица 2

Номер района a/б	Жилая площадь	Площадь кухни	Этаж  средние/ крайние	Дом кирп/па	Срок сдачи, через месс.	Стоимость квартиры, тыс. долл.
1	17,5	8	1	1	6	17,7
1	20	8,2	1	2	1	31,2
2	23,5	11,5	2	2	9	13,6
...	...	...	...	..	...	...
1	77	17	2	1	1	56,6
2	150,5	30	2	2	2	139,2
2	167	31	2	1	5	141,5

 

Имеем следующие  шесть факторов, которые могут  оказыв

влияние на цену строящегося жилья: 

• район, где расположена строящаяся квартира (а или б)
• жилая площадь квартиры;
• площадь кухни;
• этаж (средний или крайний);
• тип дома (панельный или кирпичный);
• срок сдачи квартиры (через сколько месяцев).

Определите  минимальный объём выборки nmin  для построения

линейной  множественной  регрессии.  Какие переменные  являются фиктивными. Для оценки зависимости у от х построена линейная множественная регрессионная модель с помощью метода наименьших  квадратов 

у=а0+а1х1+а2х2+а3х3+а4х4+а5х5+а6х6+е,  где а0=-220/11,5, а1=-220/8-10,

а2=1/220+0,79, а3=0,1-1/220, а4=220/5-16, а5=0,12*220, а6=1/220-0,4.

Дайте экономическую  интерпретацию полученной модели.

 

3.2. Имеем следующие  пять факторов, которые могут оказывать влияние на цену строящегося жилья у: 

•   х1 – район, где расположена строящаяся квартира(а или б);  
•   х2 – общая площадь квартиры;
•   х3 – жилая площадь квартиры;
•   х4 – площадь кухни;
•    х5 – срок сдачи квартиры (через сколько месяцев).

 

Дана матрица  коэффициентов частной корреляции:

	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	У
Х1	1
Х2	0,6+(5/ 220)	1
Х3	– 0,0952	-0,89	1
Х4	– 0,336	0,8018	0,8035	1
Х5	0,027	0,44	0,0468	0,4+(5/ 220)	1
У	– 0,2415	0,9043	-0,81	0,693	0,04	1

 

Проверьте факторы  на мультиколлинеарность и устраните  её.

Решение:1

Найдем  минимальный объем выборки Nmin. Число  факторов, включаемых в модель, m = 6, а число свободных членов в  уравнении n = 1.

Nmin. = 5 (6+1) = 35

Найдем коэффициенты линейной множественной модели:

a1 = -220/8-10 = -37,5

a2 = 1/220+0,79 = 0,79

a3 = 0,1-1/220= 0,096

a4 = 220/5 – 16 = 28

a5 = 0,12*220 = 26,4

a6 = 1/220-0,4 = -0,40

Получили уравнение регрессии:

y = a0 – 37,5x1 + 0,79x2 + 0,096x3 + 28x4 + 26,4x5 -0,40x3 + e

Экономическая интерпретация полученной модели: квартиры в районе а стоят  на 37,5% дешевле, чем в районе b. При  увеличении жилой площади на 0,79 % стоимость квартиры возрастает на 0,096 %. Квартиры на средних этажах стоят  на 0,096 % дороже, чем на крайних. Квартиры в кирпичных домах стоят на 28, % дороже, чем в панельных. При увеличении срока сдачи дома на 1 % стоимость квартиры уменьшается на 0,40%.

Фиктивные переменные – это район (принимает значения а или б), этаж (средний или крайний); тип дома (панельный или кирпичный).

Решение:2

 

 

 

 

4.1. Приведите  примеры факторов, формирующих трендовую,

сезонную и  случайную компоненту.

4.2. Построить  модель сезонных колебаний дохода  торгового

предприятия, используя первую гармонику ряда Фурье по данным, приведенным в табл. 3. Изобразите графически.

 Таблица 3

Месяц	Доход, тыс. р.
Январь	58,33 + 112 · (1/ 220)=58,83
Февраль	52 + 112 ·(1/ 220) =52,51
Март	43,67 + 112 ·(1/220 )=44,18
Апрель	41,02 + 112 · (1/ 220)=41,53
Май	42,77 + 112 · (1/ 220)=43,28
Июнь	50,01 + 112 · (1/ 220)=50,52
Июль	56,6 + 112 · (1/ 220)=57,11
Август	64,74 + 112 · (1/ 220)=65,25
Сентябрь	71,04 + 112 · (1/ 220)=71,55
Октябрь	73,54 + 112 · (1/220 )=74,05
Ноябрь	72,16 + 112 · (1/ 220)=72,63
Декабрь	66,3 + 112 · (1/ 220)=66,81

Воспользуйтесь вспомогательной табл. 4 

Таблица 4

t	cos t	sin t
0	1,00	0,00
0,523599	0,87	0,50
1,047198	0,50	0,87
1,570796	0,00	1,00
2,094395	-0,50	0,87
2,617994	-0,87	0,50
3,141593	-1,00	0,00
3,665191	-0,87	– 0,50
4,18879	-0,50	– 0,87
4,712389	0,00	– 1,00
5,235988	0,50	– 0,87