Контрольная работа по "Эконометрике"

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

НОУ ВПО “УРАЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ БИЗНЕСА”

 

Кафедра

Прикладной Информатики

 

Оценка работы____________________

 

 

 

По дисциплине

Эконометрика

 

 

 

Студент						Е.М. Пермякова
Группа	2009СБ			(подпись)		(инициалы, фамилия)
Руководитель
						О.В.Быстрых
(уч. степень, звание)				(подпись)		(инициалы, фамилия)

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург

2012

   Содержание

   Теоретический вопрос……………………………………………………….3

    1. Задача №1…………………………………………………………….……7

    2. Задача №2……………………….………………………………………...11

    3. Задача №3………………………………………………..………………..12

    4. Задача №4………………………………………………..………………..13

    5. Задача №5………………………………………………..………………..15

    6. Задача №6………………………………………………..………………..18

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Ковариация и корреляция

 

Выборочной ковариацией двух переменных х, у называется средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних, т. е.

 или 

где , — выборочные средние переменных х, у.

Ковариацию можно вычислить  с помощью функции Excel КОВАР(массив1; массив2), где Массив 1 и 2 ¾ это значения x и y.

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.

Пусть данные наблюдений переменных х, у представлены в виде точечного графика – диаграммы рассеяния наблюдений

Точка на диаграмме является центром рассеяния переменных   х, у.

Вертикальная и горизонтальная прямые, проведенные через точку    , разделяют диаграмму рассеяния на четыре области.

Наблюдения в областях I, III дают положительный вклад в ковариацию, а в областях II, IV — отрицательный.

Если положительные вклады преобладают над отрицательными, то ковариация будет положительной, в противном случае она будет отрицательной. Положительной ковариации отвечает положительная связь, а отрицательной — отрицательная.

При положительной (прямой) связи с увеличением одной  переменной другая переменная в среднем  также увеличивается, и наоборот при отрицательной (обратной) связи.

Заметим, что 

Свойства ковариации:

1. ;
2. , где а – константа;
3. , где а – константа;

Пусть выборка извлечена  из нормальной генеральной совокупности и отражает ее свойства.

Если случайные величины X, У независимы, то ковариация равна нулю и выборочные точки на диаграмме рассеяния наблюдений можно заключить в окружность с центром в точке .

Если X, У зависимы, то ковариация отлична от нуля и выборочные точки можно заключить в эллипс с центром в точке , при этом положение большей полуоси эллипса будет указывать направление связи (положительная или отрицательная).

Более точной мерой зависимости  между величинами является коэффициент  корреляции.

Выборочный коэффициент  корреляции определяется выражением

, где ¾1 £ r £ 1,

он является безразмерной величиной и показывает степень линейной связи двух переменных.

Коэффициент корреляции можно  вычислить с помощью функции  Excel КОРРЕЛ(массив1; массив2), где Массив 1 и 2 ¾ это значения x и y.

 

На рисунках отражен геометрический смысл коэффициента корреляции. На рисунках а и б случайные величины X, У коррелированы (r > 0 или r < 0), на рисунках в и г — некоррелированы (r  = 0). Если r = 0, случайные величины могут быть как зависимыми (см. рис. в), так и независимыми(см. рис. г).

Выборочный коэффициент  корреляции является случайной величиной.

Проверка гипотезы о корреляции случайных величин. Пусть по данным выборки объема п получен выборочный коэффициент корреляции r ¹ 0. Требуется проверить гипотезу о равенстве нулю истинного значения коэффициента корреляции r, т.е,

Статистика определяется по формуле 

.

Граничная точка  определяется с помощью функции    пакета Exel: СТЬЮДРАСПОБР(1 ¾ p; n ¾ 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       Задача №1.

 Пусть в результате исследования некоторой выборки появились следующие значения признака Х: 3,1.3,1,3,5,1,5,5,1,1,3,3,1,5,5,5,1,1,3,3,7,1,1,3,1,1,7,5,3,1,1,1,3,7,1,3 Провести ранжирование, построить вариационный и интервальный ряды.

        Решение. Сгруппируем значения признака:1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1.1,1,1,1;3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3;5,5,5,5,5,5,5;7,7,7. Вариационный ряд будет следующим:

X	1	3	5	7
N	16	11	7	3

 

Для построения интервального  ряда, вычислим объем выборки n, количество интервалов k, длину одного интервала D: , , .

Получаем интервальный ряд:

X	0,5;1,5	1,5;2,5	2,5;3,5	3,5;4,5	4,5;5,5	5,5;6,5	6,5;7,5
N	16	0	11	0	7	0	3

 

Данные, собранные в таблицу  часто трудно воспринимать, они нуждаются  в наглядном представлении. Для  этого используются различные формы  геометрического изображения: полигон, гистограмма, кумулянта.

 

Полигон для вариационного  ряда:

X	1	3	5	7
N	16	11	7	3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полигон для интервально  ряда:

X	0,5;1,5	1,5;2,5	2,5;3,5	3,5;4,5	4,5;5,5	5,5;6,5	6,5;7,5
N	16	0	11	0	7	0	3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гистограмма для вариационного  ряда:

X	1	3	5	7
N	16	11	7	3

 

 

 

Гистограмма для интервального  ряда:

X	0,5;1,5	1,5;2,5	2,5;3,5	3,5;4,5	4,5;5,5	5,5;6,5	6,5;7,5
N	16	0	11	0	7	0	3

 

 

Кумулянта для вариационного ряда:

X	1	3	5	7
N	16	27	34	37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кумулянта для интервального ряда:

X	0,5;1,5	1,5;2,5	2,5;3,5	3,5;4,5	4,5;5,5	5,5;6,5	6,5;7,5
N	16	0	11	0	7	0	3

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №2.

Результаты исследования некоторого признака приведены в  таблице.

	103	104	117	119	120
	0,14	0,47	0,3	0,01	?

 

 

 

Найти размах вариации, частоты, моду, медиану, выборочную среднюю, дисперсию  и среднее квадратичное отклонение. Объем выборки 45.

Решение. Размах вариации равен . Теперь найдем неизвестное значение p₂. Используем для того свойство частости: . Получим: p₂ = 1 – (0,14 + 0,47 + 0,3+0,01) = 0,08

Итак, вариационный ряд имеет  вид

	103	104	117	119	120
	0,14	0,47	0,3	0,01	0,08

 

 

 

Для вычисления частот воспользуемся  формулой , откуда .

Получим, что n₁ = 0,14×45 = 6,3; n₂ = 0,47×45 = 21,15; n₃ = 0,3×45 = 13,5; n₄ = 0,01×45 = 0,45; n₅₌0,08×45 = 3,6. Нужно заметить, что n_i — это частота появления признака и, следовательно, всегда целое число. Поэтому полученные в результате вычислений дроби, нужно округлить до целых чисел.

Получили вариационный ряд

х	103	104	117	119	120
n	6	21	13	1	4

 

Воспользуемся функциями  Excel для получения нужных нам функций. Получаем следующее значения:

, , , .

Среднее квадратичное отклонение равно   .

 

Задача №3.

Станок, работающий со стандартным  отклонением  мм, производит детали средней длины мм. В случайной выборке объема деталей средняя длина мм. Правильно ли настроен станок? Доверительная вероятность .

H₀ : для нормальной совокупности генеральная средняя

 г;

H₁ : г.

Проведем двустороннюю проверку.

; вычисляем  с помощью функции НОРМСТОБР(1¾0,005), получаем . Следовательно, граничные точки .

Вычисляем статистику.

Отклонение H₀, принятие H₁

         0,5%

Принятие H₀

99%

¾ 2,57

Отклонение H₀, принятие H₁

0,5%

2,57

3,95

Отметим значения на числовой оси

 

 

 

 

 

Отклоняем гипотезу  H₀ и принимаем гипотезу H₁ на уровне значимости 1%. Автомат нужно отрегулировать.

Задача №4.

Вычислить коэффициент корреляции между х и у. Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции.