Контрольная работа по "Прогнозированию"

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

Имеются данные численности наличного населения  города Б за 2001–2009 гг. (на начало года), тыс. чел.

2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
51,3	50,8	50,7	50,7	49,9	49,3	48,7	48,5	48,2

 

1. Постройте прогноз численности наличного населения города  Б на 2010-2011 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.

2. Постройте  график фактического и расчетных  показателей.

3. Рассчитайте  ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.

4. Сравните  полученные результаты, сделайте  вывод.

 

 

Решение:

Метод скользящей средней

1. Определим величину  интервала сглаживания, например  равную 3 (n=3)

2. Рассчитаем скользящую  среднюю для первых трех периодов:

M₂₀₀₂ = (у₂₀₀₁+у₂₀₀₂+у₂₀₀₃) : 3 = (51,3 +50,8 + 50,7) :3 = 50,93

Полученное значение заносим в  таблицу в середину взятого периода. Далее рассчитываем m для следующих периодов:

M₂₀₀₃ = (у₂₀₀₂+у₂₀₀₃+у₂₀₀₄) : 3 = (50,8 + 50,7+50,7) :3 = 50,73

M₂₀₀₄= (у₂₀₀₃+у₂₀₀₄+у₂₀₀₅) : 3 = (50,7+50,7+ 49,9) :3 = 50,43

m₂₀₀₅ = (у₂₀₀₄+у₂₀₀₅+у₂₀₀₆) : 3 = (50,7+ 49,9 + 49,3) :3 = 49,97

m₂₀₀₆ = (у₂₀₀₅+у₂₀₀₆+у₂₀₀₇) : 3 = (49,9 + 49,3 + 48,7) :3 = 49,30

m₂₀₀₇ = (у₂₀₀₆+у₂₀₀₇+у₂₀₀₈) : 3 = (49,3 + 48,7 + 48,5) :3 = 48,83

m₂₀₀₈ = (у₂₀₀₇+у₂₀₀₈+у₂₀₀₉) : 3 = (48,7 + 48,5+ 48,2) :3 = 48,47

 

 

 

Для решения задачи составим таблицу:

Годы	Численность населения, тыс. чел.	Скользящая средняя	Расчет средней относительной  ошибки
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009	51,3 50,8 50,7 50,7 49,9 49,3 48,7 48,5 48,2	- 50,93 50,73 50,43 49,97 49,3 48,83 48,47 -	- 0,256 0,059 0,533 0,140 0 0,267 0,062
Итого			1,317
Прогноз 2010 2011	48,36 48,37

 

3. Рассчитав скользящую среднюю  для всех периодов, строим прогноз  на 2010-2011 годы:

У₂₀₁₀ = 48,47 +1/3 × (48,2 – 48,5) = 48,37

Определяем скользящую среднюю m для 2010 г:

m₂₀₁₀ = (48,5 + 48,2 +48,37) :3 = 48,36

Строим прогноз на 2011 год:

У₂₀₁₁= 48,37 +1/3 × (48,37 – 48,2) = 48,54

Определяем скользящую среднюю  m для 2013 г:

m₂₀₁₁ = (48,2 +48,37 +48,54) :3 = 48,37

Заносим полученные результаты в таблицу.

Рассчитываем среднюю  относительную ошибку:

ε  = 1,317 :7 = 0,188 %

 

Метод экспоненциального сглаживания

Определяем значение параметра сглаживания:   2/(n +1) = 2/(9+1) = 0,2

Определяем начальное значение U₀ двумя способами:

1 способ (средняя арифметическая): U₀ = 448,1 : 9 = 49,79

2 способ (принимаем первое  значение базы прогноза) : U₀ = 51,3

Составим таблицу:

Годы	Численность населения, тыс. чел.	Экспоненциально взвешенная средняя Ut		Расчет средней относительной ошибки
		1 способ	2 способ	1 способ	2 способ
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009	51,3 50,8 50,7 50,7 49,9 49,3 48,7 48,5 48,2	49,79 50,09 50,23 50,32 50,39 50,29 50,09 49,81 49,49	51,3 51,3 51,2 51,1 51,02 50,79 50,49 50,13 49,74	2,94 1,40 0,93 0,75 0,98 2,01 2,85 2,70 2,68	0 0,98 0,99 0,79 2,24 3,02 3,68 3,36 3,20
Итого	448,1	-	-	17,24	18,26
Прогноз 2010		49,23	49,43

Рассчитываем экспоненциально  взвешенную среднюю для каждого  года:

1 способ:

U₂₀₀₂ = 51,3 × 0,2 +(1 – 0,2) × 49,79 = 50,09

U₂₀₀₃ = 50,8 × 0,2 + (1 – 0,2) × 50,09 = 50,23

U₂₀₀₄ = 50,7 × 0,2 + (1 – 0,2) × 50,23 = 50,32

U₂₀₀₅= 50,7 × 0,2 + (1 – 0,2) × 50,32 = 50,39

U₂₀₀₆= 49,9 × 0,2 + (1 – 0,2) × 50,39 = 50,29

U₂₀₀₇ = 49,3 × 0,2 + (1 – 0,2) × 50,29 = 50,09

U₂₀₀₈ = 48,7 × 0,2 + (1 – 0,2) × 50,09 = 49,81

U₂₀₀₉= 48,5 × 0,2 + (1 – 0,2) × 49,81 = 49,49

2 способ:

U₂₀₀₂ = 51,3 × 0,2 +(1 – 0,2) × 51,3 = 51,3

U₂₀₀₃= 50,8 × 0,2 + (1 – 0,2) × 51,3 = 51,2

U₂₀₀₄ = 50,7 × 0,2 + (1 – 0,2) × 51,2 = 51,1

U₂₀₀₅ = 50,7 × 0,2 + (1 – 0,2) × 51,1 = 51,02

U₂₀₀₆ = 49,9 × 0,2 + (1 – 0,2) × 51,02 = 50,79

U₂₀₀₇ = 49,3 × 0,2 + (1 – 0,2) × 50,79 = 50,49

U₂₀₀₈= 48,7 × 0,2 + (1 – 0,2) × 50,49 = 50,13

U₂₀₀₉= 48,5 × 0,2 + (1 – 0,2) × 50,13 = 49,74

Рассчитываем прогнозные значения:

1 способ:

U₂₀₁₀= 48,2 × 0,2 +(1 – 0,2) × 49,49 = 49,23

2 способ:

U₂₀₁₁= 48,2 × 0,2 +(1 – 0,2) × 49,74 = 49,43

Средняя относительная  ошибка:

1 способ: ε = 17,240 : 9 = 1,91 %

2 способ: ε  = 18,260 : 9 = 2,03%

 

 

 

 

Метод наименьших квадратов

Для решения используем следующую таблицу:

Годы	Численность населения, тыс. чел. уф	Условное обозначение  времени Х	уф×Х	Х2	ур	Расчет средней относительной  ошибки
1	2	3	4	5	6	7
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009	51,3 50,8 50,7 50,7 49,9 49,3 48,7 48,5 48,2	1 2 3 4 5 6 7 8 9	51,3 101,6 152,1 202,8 249,5 295,8 340,9 388 433,8	1 4 9 16 25 36 49 64 81	51,39 50,98 50,57 50,16 49,75 49,34 48,93 48,52 48,11	0,18 0,35 0,26 1,07 0,30 0,08 0,47 0,04 0,19
Итого	448,1	45	2215,8	285	-	2,94
Прогноз 2010 2011		10 11			47,7 47,29

 

Определим условное обозначение  времени как последовательную нумерацию  периодов базы прогноза. Рассчитаем графы 4 и 5.

у_р определяем по формуле:

у_t+1=a×X+ b

коэффициенты a и b по формулам:

= = -0,41

= = 51,8

У₂₀₀₁= -0,41×1 + 51,8 = 51,39

У₂₀₀₂= -0,41×2 + 51,8 = 50,98

У₂₀₀₃= -0,41×3 + 51,8 = 50,57

У₂₀₀₄= -0,41×4 + 51,8 = 50,16

У₂₀₀₅= -0,41×5 + 51,8 = 49,75

У₂₀₀₆=-0,41×6 + 51,8 = 49,34

У₂₀₀₇= -0,41×7 + 51,8 = 48,93

У₂₀₀₈= -0,41×8 + 51,8 = 48,52

У₂₀₀₉= -0,41×9 + 51,8= 48,11

Заносим полученные результаты в таблицу. Определяем прогнозные значения.

У₂₀₁₀= -0,41×10 + 51,8= 47,7

У₂₀₁₁= -0,41×11 + 51,8= 47,29

Рассчитываем среднюю  относительную ошибку:

ε  = 2,94 : 9 = 0,33 %

 

 

 

 

 

Сравнив полученные результаты, мы можем сделать вывод, что наиболее достоверный прогноз получен методом скользящей средней, так как доля ошибки при прогнозировании этим методом всего 0,188%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

Объемы продажи  картофеля в области по кварталам

за 2008-2011 гг. (тыс.тонн)

 

Квартал	2008	2009	2010	2011
1-й	17,4	18,8	19,3	18,0
2-й	15,5	13,9	18,0	13,0
3-й	23,5	22,4	29,7	24,0
4-й	19,9	19,1	26,7	20,0

 

1. Постройте  график исходных данных и определите  наличие сезонных колебаний.

2. Постройте  прогноз объема продажи картофеля  в области на 2012–2013 гг. с разбивкой по кварталам.

3. Рассчитайте  ошибку и доверительный интервал  прогноза.

Решение:

1. Представим исходные  данные графически. По оси Х  отложим параметр времени (годы  и кварталы), а по оси У –  объем продаж картофеля. Определим наличие сезонных колебаний.

Как мы видим из диаграммы, объем продаж картофеля достигает максимальных значений в 3 квартале каждого года. Следовательно, присутствуют сезонные колебания.

 

2. Составим таблицу.

Год	Квартал	Объем продаж картофеля, тыс.т	Показатели сезонности				Условное обозна-чение времени, Х	Х2	уф×Х	ур	Расчет средней относит. ошибки
			4-квартальные суммы	4-квартальные средние	Центрированные средние	Показатели сезон-ности
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2008       2009       2010       2011	1-й 2-й 3-й 4-й 1-й 2-й 3-й 4-й 1-й 2-й 3-й 4-й 1-й 2-й	17,4 15,5 23,5 19,9 18,8 13,9 22,4 19,1 19,3 18,0 29,7 26,7 18,0 13,0	- - - 76,3 77,7 76,1 75 74,2 74,7 78,8 86,1 93,7 92,4 87,4	19,08 19,43 19,03 18,75 18,55 18,68 19,70 21,53 23,43 23,10 21,85 20,43	- - 19,25 19,23 18,89 18,65 18,61 19,19 20,61 22,48 23,26 22,48 21,14 19,59	- - 122,08 103,51 99,54 74,53 120,35 99,54 93,63 80,09 127,67 118,80 85,16 66,37	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	2 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196	17,4 31,0 70,5 79,6 94,0 83,4 156,8 152,8 173,7 180,0 326,7 320,4 234,0 182,0	21,90 22,11 22,31 22,51 22,72 22,92 23,12 23,32 23,53 23,73 23,93 24,14 24,34 24,54	25,88 42,62 5,07 13,13 20,82 64,88 3,22 22,12 21,9 31,83 19,42 9,6 35,22 88,78
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	3-й 4-й	24,0 20,0	81,7 75	18,75 -	- -	- -	15 16	225 256	360,0 320,0	24,75 24,95	3,1 24,74
Итого		319,2	-	-	-	-	136	1497	2782,3	-	432,33
Прогноз 2012	1-й 2-й 3-й 4-й	27,11 18,67 31,53 27,63					17 18 19 20
2013	1-й 2-й 3-й 4-й	27,98 19,12 32,53 28,50					21 22 23 24